Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso intende presentare i risultati di base dell'algebra lineare che sono basilari e propedeutici per altri insegnamenti di questo corso di laurea.
Conoscenza e comprensione
Questo insegnamento fornirà conoscenze e capacità di comprensione relativamente a:
- Rappresentazione di spazi vettoriali, sistemi di generatori e basi
- Applicazioni lineari e loro relazione con matrici e sistemi lineari
- Numeri complessi
- Proiezioni ortogonali
- Ruolo degli autovalori e autovettori di una matrice
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Alla fine dell'insegnamento gli studenti saranno in grado di:
- Studiare applicazioni lineari mediante la teoria delle matrici e dei sistemi lineari
- Determinare la miglior approssimazione di un elemento di uno spazio vettoriale tra gli elementi di un suo sottospazio
- Applicare la procedura di diagonalizzazione di matrici
L'insegnamento consente allo studente di acquisire solide basi nell'uso della algebra lineare necessarie in qualsiasi contesto lavorativo e che rappresentano una base imprescindibile per il proseguimento del percorso universitario
Contenuti sintetici
- Sistemi di equazioni lineari.
- Matrici e operazioni tra matrici.
- Spazi vettoriali.
- Trasformazioni lineari.
- Spazi vettoriali con prodotto scalare interno.
- Numeri complessi e teorema fondamentale dell'algebra.
- Lo spettro di una applicazione lineare.
- Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari.
- Forme quadratiche e segnatura.
Programma esteso
Operazioni di somma e prodotto per scalari di vettori di R^n e tra matrici. Moltiplicazione tra matrici. Sistemi di equazioni lineari, numero di soluzioni, metodo di risoluzione di Gauss, matrice completa e incompleta associata ad un sistema lineare. Sistemi lineari omogenei e sistemi lineari non omogenei. Definizione astratta di spazio vettoriale. Definizione di sottospazio vettoriale. Intersezione di sottospazi vettoriali e somma di sottospazi vettoriali. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Vettori generatori. Definizione di base e poi di dimensione di uno spazio vettoriale. Teoremi fondamentali su basi, vettori generatori e vettori linearmente indipendenti. Definizione di sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori e descrizione esplicita nel caso in cui l'insieme dei vettori sia finito. Determinante di una matrice. Definizione di applicazione lineare e sue proprieta' di base. Nucleo e immagine di una funzione lineare, teorema di nullita' + rango. Matrice associata ad applicazioni lineari, esempi, e proprieta' di base della matrice associata ad applicazioni lineari. Discussione tra nucleo di un'applicazione lineare e nucleo della matrice associata all'applicazione lineare. Discussione tra immagine di un'applicazione lineare e lo span delle colonne della matrice associata all'applicazione lineare. Discussione della relazione tra rango di una matrice e dimensione dello span delle righe, e dimensione dello span delle colonne. Formula del cambiamento di basi per una applicazione lineare (soltanto il caso in cui il dominio coincide con il codominio). Metodo di Gauss per il calcolo della matrice inversa. Endomorfismi. Autovalori e autovettori per endomorfismi. Spettro di matrici e di applicazioni lineari. Diagonalizzazione di matrici e di applicazioni lineari. Classificazione delle forme quadratiche. Elementi sui numeri complessi.
Prerequisiti
Non sono previsti prerequisiti.
Metodi didattici
42 ore di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza (6 cfu). Lezioni frontali classiche, dedicate in parte agli aspetti teorici del corso, e in parte allo svolgimento di esercizi pratici, che consentono allo studente di acquisire un metodo e un'impostazione logica nella risoluzione dei problemi. Per fare esercizi a casa e ad esame verrà usata una piattaforma informatizzata.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta informatizzata più una eventuale prova orale. La prova d'esame consiste sia di esercizi simili a quelli visti nella piattaforma online di esercizi a casa, sia di quesiti a contenuto più teorico. La prova è informatizzata, ma la risposta ad alcune tipologie di domande/esercizi può essere richiesta anche su carta. La durata della prova è di 2 ore e durante non è consentito l'utilizzo di libri di testo o appunti e dispense. L'uso di calcolatrici programmabili non è consentito.
La prova orale non è obbligatoria per tutti.
- Gli studenti che ottengano nella prova scritta una votazione di 16 o meno dovranno tornare ad un appello successivo.
- La prova orale è obbligatoria per coloro che ottengano nella prova scritta una votazione compresa tra 17 e 19 (estremi inclusi).
- La prova orale è facoltativa per chi ottenga un voto nella prova scritta maggiore o uguale a 27: questi studenti possono scegliere se accettare una votazione di 27 oppure sostenere una prova orale al fine di ottenere una votazione maggiore (fermo restando che la prova orale, se insoddisfacente, può portare ad un abbassamento della votazione finale o ad una insufficienza). In pratica se uno studente ottiene 28 nella prova scritta può decidere di verbalizzare il voto senza sostenere la prova orale: in tal caso verrà registrato il voto 27. Altrimenti, lo studente può decidere di sostenere una prova orale: a seconda dell'andamento della prova orale il voto 28 può essere abbassato (fino ad una eventuale insufficienza), confermato, o alzato.
- Per chi prenda almeno 17 nella prova scritta: la prova orale deve essere sostenuta in tutti quei casi che venga richiesta o dal docente o dallo studente (che intenda migliorare il voto dello scritto). Ad esempio, uno studente prende 24 nella prova scritta e potrebbe quindi saltare la prova orale, ma decide di farla per migliorare il proprio voto.
- La prova orale, ove prevista, va sostenuta nello stesso appello della prova scritta. In ogni caso l’esame finisce nell’appello in cui venga svolta la prova scritta.
Durante il periodo del corso sara' possibile gli studenti potranno fare pratica sul sistema informatizzato da casa propria e, nel caso che svolgano tutti gli esercizi nel periodo previsto, potranno accumulare fino a 2 punti di bonus. Questo bonus si aggiungera' al voto dell'esame scritto, permettendo agli studenti di avere un voto migliorato nello scritto.
Testi di riferimento
- Schlesinger E., Algebra Lineare e Geometria, Zanichelli, 2017 (seconda edizione)
- Fioresi R.,Morigi M., Introduzione all'Algebra Lineare, Casa Editrice Ambrosiana, 2021 (seconda edizione)
- Appunti delle lezioni disponibili sul sito di elearning del corso.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre (Marzo-Aprile)
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course plans to introduce foundations of linear algebra required for other courses in this degree.
Knowledge and understanding
This course will provide knowledge and understanding in relation to:
- Representation of vector spaces and systems of generators and bases
- Linear applications and their relationship with matrices and linear systems
- Complex numbers
- Orthogonal projections
- Role of eigenvalues and eigenvectors of a matrix
Ability to apply knowledge and understanding
At the end of the course the students will be able to:
- Study linear applications through the theory of matrices and linear systems
- Determine the best approximation of an element of a vector space among the elements of a subspace
- Apply the procedure of diagonalization of matrices
The course allows the student to acquire a solid foundation in the use of linear algebra necessary in any work context and representing an essential basis for the continuation of the university studies.
Contents
- Systems of linear equations
- Matrices and their operations
- Vector Spaces
- Linear Maps
- Inner product spaces
- Complex Numbers and the fundamental Theorem of Algebra
- Spectrum of a linear map
- Diagonalization of matrices and of linear maps
- Quadratic Forms and signature
Detailed program
Sum and product by scalars for vectors in R ^ n and between matrices. Multiplication between matrices. Systems of linear equations, number of solutions, Gauss resolution method, complete and incomplete matrix associated to a linear system. Homogeneous linear systems and non-homogeneous linear systems. Abstract definition of vector space. Definition of vector subspace. Intersection of vector subspaces and sum of vector subspaces. Linearly dependent and linearly independent vectors. Generator Vectors. Basic definition and then dimension of a vector space. Fundamental theorems on bases, generators vectors and linearly independent vectors. Definition of vector subspace generated by a set of vectors and explicit description in case the set of vectors is finished. Determinant of a matrix. Definition of linear application and its basic properties. Core and image of a linear function, nullity theorem + rank. Matrix associated with linear applications, examples, and basic properties of the matrix associated with linear applications. Discussion between the nucleus of a linear application and the nucleus of the matrix associated to the linear application. Discussion between the image of a linear application and the span of the columns of the matrix associated with the linear application. Discussion of the relationship between the rank of a matrix and the size of the span of the rows, and the size of the span of the columns. Fundamental change formula for a linear application (only in the case where the domain coincides with the codomain). Gauss method for the calculation of the inverse matrix. Endomorphisms. Eigenvalues and eigenvectors for endomorphisms. Spectrum of matrices and linear applications. Diagonalization of matrices and linear applications. Classification of quadratic forms. Elements on complex numbers.
Prerequisites
No prerequisites are required.
Teaching methods
42 hours of in-person, lecture-based teaching (6 ECTS). Classic frontal lessons, partly devoted to the theoretical aspects of the course, and partly to the resolution of practical exercises, which allow the student to acquire a method and a logical approach in solving problems. To practice problems at home and during exams we will make use of a online platform of exercises.
Assessment methods
The exam consists of a computerized written test plus a possible oral exam. The exam consists of exercises similar to those seen in the online platform of exercises accissible from home, and questions with more theoretical content. The test is computerized, but the answer to some types of questions / exercises can also be requested on paper. The duration of the test is 2 hours and during the use of textbooks or notes and handouts is not allowed. The use of programmable calculators is not allowed.
The oral part of the exam is not mandatory for everyone.
-Students whose grade for the written exam is 16 or less will have to take the exam again at a later time.
-The oral part of the exam is mandatory for everyone whose grade for the written exam is either 17, 18 or 19.
-The oral part of the exam is elective for those attaining a grade is greater or equal to 27 in the written exam: such students can choose to either accept a final grade of 27 or take the oral part of the exam to achieve an even better grade (it being understood that if the oral part of the exam is unsatisfactory it can lead to a worsening of the grade and even to a failure of the whole exam). To be clear: a student achieving a 28 in the written part of the exam can choose to register a final grade of 27 (and not take the oral part of the exam) or to take the oral part of the exam: depending on the oral part of the exam the 28 can either be lowered (even to a possible failure of the exam), confirmed or improved.
- To those whose grade for the written part of the test is at least 17: the oral part of the exam must be taken in all cases that either the instructor or the student requests it be taken (if a student wants to improve the grade of the written part of the exam). For example, a student who got 24 in the written test might want to skip the oral part, but also take it to improve the grade.
- The oral part of the exam, when mandated, needs to be taken in the same round (appello) of the written part of the exam. In all cases, the exam ends in the same round of a written part.
During the course of the lectures students will be allowed to practice solving problems on the computerized system from their homes and, in case they work on all the problems during the required time frame, they can gain up to 2 extra points. The bonus points will be added to the grade of the written exam, allowing them to have an improved grade for the written part of the exam.
Textbooks and Reading Materials
- Schlesinger E., Algebra Lineare e Geometria, Zanichelli, 2017 (second edition)
- Fioresi R.,Morigi M., Introduzione all'Algebra Lineare, Casa Editrice Ambrosiana, 2021 (second edition)
- Notes of Lecures available on this platform.
Semester
Second semester (March-April)
Teaching language
Italian
Sustainable Development Goals
Staff
-
Francesco Matucci
-
Andrea Previtali
-
Paolo Casati
