Course Syllabus
Obiettivi formativi
Lo scopo del corso è di introdurre gli studenti ai modelli finanziari in tempo continuo ed agli strumenti matematici necessari a tale fine.
Contenuti sintetici
Teoria dei processi stocastici in tempo continuo e applicazioni ai modelli finanziari
Programma esteso
- Richiami di probabilità:
(a) spazi di probabilità,
(b) proprietà del valore atteso,
(c) costruzione e proprietà del valore ateso condizionato; - Processi a variazione finta:
(a) definizione e proprietà;
(b) l'integrale stocastico rispetto a un processo VF; - Martingale:
(a) definizione e principali proprietà;
(b) il moto Browniano e le sue proprietà;
(c) la variazione quadratica di una martingala; - Integrale di Ito:
(a) l'integrale elementare;
(b) il teorema di estensione di Ito;
(c) propretà dell'integrale stocastico rispetto ad una martingala; - Lemma di Ito e martingala esponenziale:
(a) l'espansione di Ito;
(b) il suo uso nella risoluzione di alcune equazioni differenziali stocastiche; - Formula di Tanaka e cambiamento di probabilità:
(a) l'integrazione per parti e la variazioni delle caratteristiche di un processo di Ito al cambiare della probabilità sottostante; - Modello di Black & Scholes:
(a) caratteristiche struttturali;
(b) la PDE di Black & Scholes;
(c) la misura equivalente; - Teorema fondamentale dell'Asset Pricing:
(a) l'esistenza delle probabilità neutrali al rischio e la loro applicazione nell'asset pricing; - Modelli a volatilità stocastica:
(a) le componenti stocastiche dela volatilità e la completezza dei mercati;
(b) Il modello di Hull-White;
(c) il modello di Heston.
Prerequisiti
Corsi di probabilità , statistica e metodi matematici.
Metodi didattici
Lezioni frontali erogative (42 ore) ed esercitazioni (on-line)
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame scritto in forma di esercizi volti ad accertare l'acquisizione degli strumenti matematici e la comprensione di alcuni semplici modelli finanziari in tempo continuo.
Testi di riferimento
S. Shreve, Stochastic Calculus for Finance, Springer, 2004.
Appunti predisposti dal docente.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano (Inglese)
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The aim of the course is to introduce students to continuous time financial models and the necessary mathematical tools.
Contents
Continuous time stochastic processes and applications to financial modeling
Detailed program
- Probability essentials: probability spaces, properties of the expected value, construction of the conditional expected value;
- Finite variation processes: definition and properties. The stochastic integral with respect to a finite variazion process;
- Martingales: definition and main properties. Brownian motion and its properties. The quadratic variation of a martingale;
- Ito integral: the elementary stocahstic integral; Ito extension theorem; properties of the stochastic integral with respect to a martingale;
- Ito's Lemma and exponential martingale: Ito's expansion and its use in the solution of some stochatsic differential equations;
- Tanaka's formula and change of measure: integration by parts formula and the change in process charateristics arising from a change of the underlying probability;
- Black & Scholes: main strictural characteristics; Black & Scholes PDE; the equivalent martingale measure approach
- Fundamental Theorem of Asset Pricing: the existence of risk neutral measures and their applciation to asset pricing;
- Stochastic volatility models: stochastic components of volatility and market completeness; Hull and White model; Heston model..
Prerequisites
Probabiltiy, statistics and mathematical methods.
Teaching methods
Lectures (42 hours) and classes (on-line)
Assessment methods
Written exam with exercises aiming at verifying the knowledge of the mathematical tools as well as of some simple financial models in continuous time.
Textbooks and Reading Materials
S. Shreve, Stochastic Calculus for Finance, Springer, 2004.
Lecture Notes
Semester
First semester
Teaching language
Italian (English)
Sustainable Development Goals
Staff
-
Gianluca Cassese
