Course Syllabus
Obiettivi formativi
Il corso mira a fornire agli studenti una solida base matematica, indispensabile per affrontare con successo corsi avanzati in economia, finanza, econometria e altre discipline quantitative.
Al termine del corso, gli studenti dovranno aver compreso il concetto di funzione reale di una o due variabili e saperne analizzare le proprietà fondamentali (insieme di esistenza, segno, simmetrie, limiti, asintoti, monotonia, concavità, derivabilità, ecc.). L'analisi e l'interpretazione di queste funzioni e delle loro proprietà sono fondamentali per comprendere i modelli matematici ampiamente utilizzati in economia e finanza.
Alcuni esempi di applicazioni includono i modelli per i tassi di interesse, e per il prezzo dei titoli azionari e dei derivati di un mercato finanziario; l'uso delle funzioni di utilità per descrivere le preferenze di un agente; l'utilizzo di funzioni a una o più variabili per descrivere le funzioni di costo e di produzione di un'impresa e i relativi problemi di ottimizzazione. Inoltre, le funzioni possono essere utilizzate per descrivere la probabilità di occorrenza di eventi futuri, essenziale per la gestione dei rischi finanziari.
Più in generale, il corso si propone di migliorare le capacità di pensiero critico e analitico degli studenti attraverso la risoluzione di problemi matematici.
Contenuti sintetici
Studio di funzioni reali di variabile reale: dominio, segno, intersezioni con gli assi, limiti di funzioni, punti estremanti, monotonia di una funzione, concavità, punti di flesso, continuità e derivabilotà di una funzione. Cenni alle successioni e alle funzioni a due variabili.
Programma esteso
UNITA' 1 - Funzioni reali di una variabile reale:
Insiemi N,Z,Q, R. Insieme superiormente/inferiormente limitato; intervalli; estremo superiore/inferiore/massimo/minimo di un insieme.
Definizione di funzione e di successione; calcolo del campo di esistenza; definizione di immagine, insieme immagine, controimmagine, insieme
controimmagine, grafico; uso dell'espressione analitica di una funzione e di una successione. Uso del grafico di una funzione; funzione iniettiva, suriettiva, biettiva; funzioni inferiormente/superiormente limitate; estremo inferiore/superiore di una funzione; minimo/massimo, punto di
minimo/massimo di una funzione; funzione pari/dispari; monotonia di una funzione e di una successione. Operazioni con funzioni, composizione,
inversione. Trasformazioni semplici di grafici. Traslazioni orizzontali/verticali, riflessioni orizzontali/verticali; riflessioni parziali
orizzontali/verticali; riscalamenti. Trasformazioni composte di grafici.
UNITA' 2 - Limiti:
Retta reale estesa e intorni; definizione di punto interno, esterno, di frontiera, isolato, di accumulazione; definizione
di limite di funzioni e successioni; limite destro/sinistro, limite per eccesso/per difetto; lettura di limiti dal grafico. Teorema di unicità del limite
(con dim.), teorema di permanenza del segno (con dim.), teorema del confronto (con dim.). Calcolo di limiti per funzioni e successioni.
Continuità. Algebra in R esteso, forme determinate, limiti di funzioni esponenziali, logaritmiche,
arcotangente. Forme indeterminate, tecniche per risolvere alcune forme indeterminate (funzioni
razionali/irrazionali). Equivalenza asintotica e proprietà. Ordini di infinito, gerarchie di infiniti. Funzione trascurabile
(o-piccolo). Limiti notevoli e relative equivalenze asintotiche. Forme indeterminate di tipo esponenziale e tecniche
di soluzione. Ordini di infinitesimo, gerarchia degli infinitesimi, o-piccoli. Continuità (da destra/sinistra) e
discontinuità. Classificazione delle discontinuità. Riconoscimento delle discontinuità dal grafico e dall'espressione
analitica. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Teorema di Weierstrass con controesempi, teorema dei valor
intermedi con controesempi, teorema degli zeri con controesempi.
UNITA' 3 - Derivate:
Rapporto incrementale e derivata di una funzione in un punto; funzione derivata; derivate di funzioni elementari;
calcolo di derivate. Equazione della retta tangente; legame continuità-derivabilità, punto di flesso a tangente
verticale, di cuspide, angoloso. Regola di de L'Hopital; Teorema di Rolle (con dim.) e controesempi; Teorema di
Lagrange (con dim.) e controesempi; Derivata della funzione inversa. Test di monotonia (con dim.) e controesempi;
definzione di estremi relativi; punto stazionario; Teorema di Fermat (con dim.); definizione di punto critico; Test
della derivata prima per estremi interni. Studio della montonia di una successione. Criterio delle derivate successive;
Test della derivata prima per estremi alla frontiera; definizione di funzione concava/convessa;
Test del primo ordine per la concavità; Test del secondo ordine per la concavità; definizione di punto di flesso.
Polinomi di Taylor e McLaurin; Resto di Peano; uso del polinomio di Taylor per il calcolo di limiti.
UNITA' 4 - Studio completo di funzione e funzioni a due variabili:
Schema generale per lo studio di funzione. Domini analitici e grafici per funzioni reali di due variabili reali; curve di
livello; derivate parziali, gradiente, punti stazionari
Prerequisiti
Teoria degli insiemi. Potenze, logaritmi, esponenziali e loro proprietà.
Disequazioni di primo e secondo grado, disequazioni razionali, disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Equazioni cartesiana della retta, della circonferenza, della parabola, equazione della retta passante per due punti. Cenni di trigonometria.
Metodi didattici
Si utilizza un approccio didattico ibrido che combina didattica erogativa (DE) e didattica interattiva (DI). La DE include la presentazione e spiegazione dettagliata dei contenuti teorici che solitamente avviene nella prima parte della lezione. La DI prevede interventi attivi degli studenti tramite risposte a domande e problemi posti dal docente, brevi interventi, discussioni collettive e solitamente viene svolta nella seconda parte della lezione. Non è possibile stabilire precisamente a priori il numero di ore dedicate alla DE e alla DI, poiché le modalità si intrecciano in modo dinamico per adattarsi alle esigenze del corso e favorire un apprendimento partecipativo e integrato, combinando teoria e pratica.
Nello specifico:
-36 ore saranno svolte in presenza con una didattica ibrida come illustrata sopra
-4 ore saranno svolte da remoto (asincrono), e consisteranno di brevi video che riassumono i concetti chiave per svolgere l'esame.
-12 ore di esercitazioni verranno svolte in presenza in modalità interattiva.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento.
L'esame scritto dura due ore e consiste in: 5 esercizi e 3 domande aperte di teoria.
Le domande aperte valutano la capacità dello studente di utilizzare un corretto linguaggio matematico; la sua comprensione dei teoremi e delle dimostrazioni viste a lezioni e dei passaggi logici utilizzati
Lo schema degli esercizi è il seguente:
Esercizio 1: Trasformazioni di grafici di funzioni elementari; questo esercizio serve per valutare la capacità dello studente di disegnare il grafico di una funzione a partire dai grafici delle funzioni elementari;
Esercizio 2: Limiti; per valutare l'abilità dello studente nel determinare la miglior tecnica di risoluzione dei limiti da adottare.
Esercizio 3: Vario; per valutare la capacità dello studente di applicare i teoremi o le metodologie studiati nel corso non strettamente ricollegabili allo studio di funzione.
Esercizio 4: Funzioni a due variabili; per valutare la capacità dello studente di lavorare con funzioni a più variabili.
Esercizio 5: Studio completo di funzione. Per valutare l'abilità dello studente di analizzare e comprendere le proprietà di una funzione.
La prova scritta valuta la correttezza formale dei passaggi, l'adeguatezza del linguaggio matematico adottato, le competenze e le conoscenze acquisite durante il corso.
Una volta superato l'esame scritto, il professore o lo studente possono richiedere un esame orale integrativo. L'orale verte su tutto il programma del corso e può contribuire sia in maniera positiva sia in maniera negativa al voto finale.
Il corso non prevede il frazionamento dell'esame in prove intermedie.
Testi di riferimento
Libri di testo
Guerraggio, A. Matematica 4/Ed. • con MyLab. Pearson.
Ulteriori testi a cui far eventuale riferimento
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Monti, G., Pini, R.: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D
Ulteriore materiale didattico
Dispense e appunti dei docenti (disponibili sulla piattaforma di e-learning).
Testi e soluzioni dei temi delle prova scritta degli anni precedenti (disponibili sulla piattaforma e-learning).
Elenco delle dimostrazioni che possono essere richieste ed esempi di domande di teoria (disponibili sulla piattaforma e-learning).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre, primo anno.
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course aims to provide students with a solid mathematical foundation essential for successfully tackling advanced courses in economics, finance, econometrics, and other quantitative disciplines. By the end of the course, students should have understood the concept of real functions of one or two variables and be able to study their fundamental properties (domain of existence, sign, symmetries, limits, asymptotes, monotonicity, concavity, differentiability, etc.). Analyzing and interpreting these functions and their properties is crucial for understanding the mathematical models widely used in economics and finance.
Some examples of applications include models for interest rates, for the pricing of stocks and derivatives in a financial market; the use of utility functions to describe an agent's preferences; the use of functions of one or more variables to describe an enterprise's cost and production functions and the related optimization problems. Additionally, functions can be used to describe the probability of future events occurring, which is essential for managing financial and non-financial risks.
More generally, the course aims to enhance students' critical and analytical thinking skills through the resolution of mathematical problems.
Contents
Study of real functions of a real variable: domain, sign, intersections with the axes, limits of functions, extremum points, monotonicity of a function, concavity, inflection points, continuity, and differentiability of a function. Introduction to sequences and functions of two variables.
Detailed program
UNIT 1 - Real functions of a real variable:
Sets N, Z, Q, R. Upper / lower bounded set; intervals; infimum / supremum / maximum / minimum extremum of a set.
Definition of functions and sequences; field of existence; definition of image, image set, counter-image,
counter-image set, graph; use of the analytical expression of a function a a sequence. Use of the graph of a function; injective, surjective bijective function; lower / upper bounded functions; infimum / supremum of a function; minimum / maximum, point of
minimum / maximum of a function; even / odd function; monotonicity of a function and of a sequence. Operations with functions, composition,
inversion. Simple transformations of graphs. Horizontal / vertical translations, horizontal / vertical reflections; partial reflections
horizontal / vertical; rescaling. Composed transformations of graphs.
UNIT 2 - Limits:
Extended real line and neighborhood; definition of internal, external, frontier, isolated, accumulation point; definition of
limit for functions and sequences, right / left limit, limit from above/below; reading limits from the graph. Uniqueness of the limit theorem
(with proof), theorem of permanence of the sign (with proof), squeeze theorem (with proof). Limit computation.
Continuity. Algebra in R*, determined forms, limits of exponential, logarithmic functions,
arctangent. Indeterminate forms, techniques for solving some indeterminate forms (functions
rational / irrational). Asymptotic equivalence and properties. Infinity orders, infinity hierarchies. Negligible function
(little-o). Fundamental limits and relative asymptotic equivalences. Indeterminate forms of exponential type and techniques
of solution. Orders of infinitesimal, hierarchy of infinitesimal, little-o. Continuity (from right / left) and
discontinuity. Classification of discontinuities. Indentification of discontinuities from the graph. Horizontal, vertical, oblique asymptotes. Weierstrass theorem with counterexamples, intermediate value theorem with counterexamples, zeros theorem with counterexamples.
UNIT 3 - Derivatives:
Newton difference quotien of a function at a point; derivative function; derivatives of elementary functions;
computation of derivatives. Tangent line equation; continuity-differentiability link, vertical tangent inflection point, cusp, kink. de L'Hopital's rule; Rolle's theorem (with proof) and counterexamples; Lagrange's theorem (with proof) and counterexamples; derivative of the inverse function. Monotonicity test (with proof) and counterexamples; definition of local extrema; stationary point; Fermat's theorem (with proof); definition of critical point; first derivative test for internal extrema. Monotonicity study for sequences. Subsequent derivatives test; first derivative test for boundary extrema; concave / convex function definition; first order test for concavity; second order order for concavity; inflection point. Taylor and McLaurin polynomials; use of Taylor polynomial for limit computation.
UNIT 4- Complete function study and two variables-functions:
General scheme for the study of a function. Analytical and graphical domains for real functions of two real variables;
level curves; partial derivatives, gradient, stationary points
Prerequisites
Set theory. Powers, logarithms, exponentials and their properties.
First and second degree inequalities, rational inequalities, logarithmic and exponential inequalities. Cartesian equations of the line, of the circumference, of the parabola, equation of the line passing through two points. Elements of trigonometry.
Teaching methods
A hybrid teaching approach is used, combining lecture-based (DE) and interactive teaching (DI) methods. The DE includes the presentation and detailed explanation of theoretical content, typically occurring in the first part of the lesson. The DI involves active student participation through answering questions and problems posed by the instructor, short presentations, and group discussions, usually conducted in the second part of the lesson. The exact number of hours dedicated to DE and DI cannot be predetermined, as the methods intertwine dynamically to adapt to the course needs, fostering participatory and integrated learning by combining theory and practice.
Specifically:
36 hours will be conducted in person with the hybrid teaching method described above.
4 hours will be delivered remotely (asynchronously) through short videos summarizing the key concepts needed for the exam.
12 hours of exercises will be conducted in person in an interactive manner.
Assessment methods
Assessment Methods
The written exam lasts two hours and consists of 5 exercises and 3 open theoretical questions.
The open questions evaluate the student's ability to use correct mathematical language, understand the theorems and proofs discussed in class, and apply the logical steps used in these proofs.
The structure of the exercises is as follows:
Exercise 1: Transformations of Graphs of Elementary Functions
This exercise assesses the student's ability to draw the graph of a function based on the graphs of elementary functions.
Exercise 2: Limits
This exercise evaluates the student's ability to determine the best technique for solving limits.
Exercise 3: Various
This exercise assesses the student's ability to apply theorems or methodologies studied in the course that are not strictly related to the study of functions.
Exercise 4: Functions of Two Variables
This exercise evaluates the student's ability to work with functions of multiple variables.
Exercise 5: Complete Study of a Function
This exercise assesses the student's ability to analyze and understand the properties of a function.
The written exam evaluates the formal correctness of the steps, the appropriateness of the mathematical language used, and the skills and knowledge acquired during the course.
After passing the written exam, either the professor or the student may request an additional oral exam. The oral exam covers the entire course content and can positively or negatively affect the final grade.
The course does not include splitting the exam into intermediate tests.
Textbooks and Reading Materials
Textbooks
Guerraggio, A. Matematica 4/Ed. • con MyLab. Pearson.
Additional textbooks
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Monti, G., Pini, R.: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.
Further learning material
Lecture notes (available on the e-learning platform).
Texts and solutions of past written exams (available on the e-learning platform).
List of demonstrations that can be requested and examples of theory questions (available on the e-learning platform).
Semester
First term, first year
Teaching language
Italian
