Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso mira a fornire agli studenti una solida base matematica, indispensabile per affrontare con successo corsi avanzati in economia, finanza, econometria e altre discipline quantitative.
Al termine del corso, gli studenti dovranno aver compreso il concetto di funzione reale di una o due variabili reali e saperne analizzare le proprietà fondamentali (insieme di esistenza, segno, simmetrie, limiti, asintoti, monotonia, concavità, derivabilità, ecc.). L'analisi e l'interpretazione di queste funzioni e delle loro proprietà sono fondamentali per comprendere i modelli matematici ampiamente utilizzati in economia e finanza.
Alcuni esempi di applicazioni includono i modelli per i tassi di interesse, e per il prezzo dei titoli azionari e dei derivati di un mercato finanziario; l'uso delle funzioni di utilità per descrivere le preferenze di un agente; l'utilizzo di funzioni a una o più variabili per descrivere le funzioni di costo e di produzione di un'impresa e i relativi problemi di ottimizzazione. Inoltre, le funzioni possono essere utilizzate per descrivere la probabilità di occorrenza di eventi futuri, essenziale per la gestione dei rischi finanziari.
Più in generale, il corso si propone di migliorare le capacità di pensiero critico e analitico degli studenti attraverso la risoluzione di problemi matematici.
Contenuti sintetici
Funzioni reali di variabile reale e cenni alle funzioni reali di due variabili
Programma esteso
UNITA' 1 - Funzioni reali di una variabile reale.
Insiemi N,Z,Q, R. Insieme superiormente/inferiormente limitato; intervalli; estremo superiore/inferiore/massimo/minimo di un insieme.
Definizione di funzione e di successione; calcolo del campo di esistenza; definizione di immagine, insieme immagine, controimmagine, insieme controimmagine, grafico; uso dell'espressione analitica di una funzione e di una successione. Uso del grafico di una funzione; funzione iniettiva, suriettiva, biettiva; funzioni inferiormente/superiormente limitate; estremo inferiore/superiore di una funzione; minimo/massimo, punto di minimo/massimo di una funzione; funzione pari/dispari; monotonia di una funzione e di una successione. Operazioni con funzioni, composizione, inversione. Trasformazioni semplici di grafici. Traslazioni orizzontali/verticali, riflessioni orizzontali/verticali; riflessioni parziali orizzontali/verticali; riscalamenti. Trasformazioni composte di grafici.
UNITA' 2 - Limiti:
Retta reale estesa e intorni; definizione di punto interno, esterno, di frontiera, isolato, diaccumulazione; definizione di limite di funzioni e successioni; limite destro/sinistro, limite per eccesso/per difetto; lettura di limiti dal grafico. Teorema di unicità del limite (con dim.), teorema di permanenza del segno (con dim.), teorema del confronto (con dim.). Calcolodi limiti per funzioni e successioni.
Continuità. Algebra in R esteso, forme determinate, limiti di funzioni esponenziali, logaritmiche, arcotangente. Forme indeterminate, tecniche per risolvere alcune forme indeterminate (funzioni razionali/irrazionali). Equivalenza asintotica e proprietà. Ordini di infinito, gerarchie di infiniti.
Funzione trascurabile(o-piccolo). Limiti notevoli e relative equivalenze asintotiche. Forme indeterminate di tipo esponenziale e tecniche di soluzione. Ordini di infinitesimo, gerarchia degli infinitesimi, o-piccoli. Continuità (da destra/sinistra) e discontinuità. Classificazione delle discontinuità. Riconoscimento delle discontinuità dal grafico e dall'espressione analitica. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Teorema di Weierstrass con controesempi, teorema dei valor intermedi con controesempi, teorema degli zeri con controesempi.
UNITA' 3 - Derivate:
Rapporto incrementale e derivata di una funzione in un punto; funzione derivata; derivate di funzioni elementari; calcolo di derivate. Equazione della retta tangente; legame continuità-derivabilità, punto di flesso a tangente verticale, di cuspide, angoloso. Regola di de L'Hopital; Teorema di Rolle (con dim.) e controesempi; Teorema di Lagrange (con dim.) e controesempi; derivata della funzione inversa. Test di monotonia (con dim.)e controesempi;
definzione di estremi relativi; punto stazionario; Teorema di Fermat (con dim.); definizione di punto critico; test della derivata prima per estremi interni. Studio della montonia di una successione. Criterio delle derivate successive;test della derivata prima per estremi alla frontiera; definizione di funzione concava/convessa; test del primo ordine per la concavità; test del secondo ordine per la concavità; definizione di punto di flesso.
Polinomi di Taylor e McLaurin; Resto di Peano; uso del polinomio di Taylor per il calcolo di limiti.
UNITA' 4 - Studio completo di funzione e funzioni a due variabili:
Schema generale per lo studio di funzione. Domini analitici e grafici per funzioni reali di due variabili reali; curve di livello; derivate parziali, gradiente, punti stazionari.
Prerequisiti
Teoria degli insiemi. Potenze, logaritmi, esponenziali e loro proprietà.
Disequazioni di primo e secondo grado, disequazioni razionali, disequazioni logaritmiche ed
esponenziali. Equazioni cartesiana della retta, della circonferenza, della parabola, equazione della
retta passante per due punti. Cenni di trigonometria.
Metodi didattici
Si utilizza un approccio didattico ibrido che combina didattica erogativa (DE) e didattica interattiva (DI). La DE include la presentazione e spiegazione dettagliata dei contenuti teorici che solitamente avviene nella prima parte della lezione. La DI prevede interventi attivi degli studenti tramite risposte a domande e problemi posti dal docente, brevi interventi, discussioni collettive e solitamente viene svolta nella seconda parte della lezione. Non è possibile stabilire precisamente a priori il numero di ore dedicate alla DE e alla DI, poiché le modalità si intrecciano in modo dinamico per adattarsi alle esigenze del corso e favorire un apprendimento partecipativo e integrato, combinando teoria e pratica.
Nello specifico:
-40 ore di lezione saranno svolte in presenza con una didattica ibrida come illustrata sopra
-12 ore di esercitazioni verranno svolte in presenza in modalità interattiva.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame scritto con 5 esercizi e 3 domande di teoria. Lo schema degli esercizi è il seguente:
Esercizio 1: Trasformazioni di grafici di funzioni elementari;
Esercizio 2: Limiti;
Esercizio 3: Vario;
Esercizio 4: Funzioni a due variabili;
Esercizio 5: Studio completo di funzione.
La prova scritta valuta la correttezza formale dei passaggi, l'adeguatezza del linguaggio matematico adottato, le competenze e le conoscenze acquisite durante il corso.
Una volta superato l'esame scritto, il professore o lo studente possono richiedere un esame orale integrativo. L'orale verte su tutto il programma del corso e può contribuire sia in maniera positiva sia in maniera negativa al voto finale.
Il corso non prevede il frazionamento dell';esame in prove intermedie.
Testi di riferimento
Libri di testo
Guerraggio, A. Matematica 4/Ed. • con MyLab. Pearson.
Ulteriori testi a cui far eventuale riferimento
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Monti, G., Pini, R.: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.
Ulteriore materiale didattico
Dispense e appunti dei docenti (disponibili sulla piattaforma di e-learning).
Testi e soluzioni dei temi delle prova scritta degli anni precedenti (disponibili sulla piattaforma e-learning).
Elenco delle dimostrazioni che possono essere richieste ed esempi di domande di teoria (disponibili sulla piattaforma e-learning).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre, primo anno.
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course aims to provide students with a solid mathematical foundation essential for successfully tackling advanced courses in economics, finance, econometrics, and other quantitative disciplines. By the end of the course, students should have understood the concept of real functions of one or two real variables and be able to study their fundamental properties (domain of existence, sign, symmetries, limits, asymptotes, monotonicity, concavity, differentiability, etc.). Analyzing and interpreting these functions and their properties is crucial for understanding the mathematical models widely used in economics and finance.
Some examples of applications include models for interest rates, for the pricing of stocks and derivatives in a financial market; the use of utility functions to describe an agent's preferences; the use of functions of one or more variables to describe an enterprise's cost and production functions and the related optimization problems. Additionally, functions can be used to describe the probability of future events occurring, which is essential for managing financial and non-financial risks.
More generally, the course aims to enhance students' critical and analytical thinking skills through the resolution of mathematical problems.
Contents
Real functions of real variables and outlines of real functions of two real variables.
Detailed program
UNIT 1 - Real functions of one real variable.
Sets N, Z, Q, R. Sets bounded from above and from belowo; intervals; upper / lower extreme and maximum / minimum of a set.
Definition of function and sequence; calculation of the field of existence; definition of image, image set, reverse image, reverse image set, graph; use of the analytic expression of a function and a sequence. Use of the graph of a function; injective, surjective, bijective functions; functions bopunded from below and from above; lower / upper bound of a function; minimum / maximum, minimum / maximum point of a function; even / odd function; monotonicity of a function and a sequence. Operations with functions, composition, inversion. Simple transformations of graphs. Horizontal / vertical translations, horizontal / vertical reflections; partial horizontal / vertical reflections; rescaling. Composed transformations of graphs.
UNIT 2 - Limits:
Real extended line and neighborhoods; definition of internal, external, border, isolated, accumulation point; definition of limit of functions and sequences; right / left limit, limit by excess/ defect; reading limits from the graph. Uniqueness of the limit theorem(with dim.), sign permanence theorem (with proof), comparison theorem (with proof). Calculation of limits for functions and sequences.
Continuity. Algebra in extended R, determined forms, limits of exponential and logarithmic functions, arctangent. Indeterminate forms, techniques for solving some indeterminate forms (rational / irrational functions). Asymptotic equivalence and properties. Orders of infinity, hierarchies of infinities.
Negligible function (o-small). Remarkable limits and relative asymptotic equivalences. Indeterminate forms of exponential type and techniques of solution. Orders of infinitesimal, hierarchy of infinitesimal, o-small. Continuity (from right / left) and discontinuity. Classification of discontinuities. Recognition of discontinuities from the graph and from the analytical expression. Horizontal, vertical, oblique asymptotes. Weierstrass theorem with counterexamples, intermediate value theorem with counterexamples, zero theorem with counterexamples.
UNIT 3 - Derivates:
Incremental ratio and derivative of a function at a point; derivative function; derivatives of elementary functions; calculation of derivatives. Equation of the tangent line; continuity-derivability link, point of inflection to vertical tangent, of cusp, angular. Rule of de L'Hopital; Rolle's theorem (with proof) and counterexamples; Lagrange's theorem (with proof) and counterexamples; derivative of the inverse function. Monotony test (with dim.) And counterexamples; definition of relative extremes; stationary point; Fermat's theorem (with proof); definition of critical point; test of the first derivative for internal extremes. Study of the montonicity of a sequence. Criterion of successive derivatives; test of the first derivative for boundary extremes; definition of concave / convex function; first order test for concavity; second order test for concavity; definition of inflection point.
Taylor and McLaurin polynomials; reminder of Peano; use of the Taylor polynomial for the computation of limits.
UNIT 4 -Complete study of a functions and functions of two variables
General scheme for the study of function. Analytic and graphical domains for real functions of two real variables; level curves; partial derivatives, gradient, stationary points.
Prerequisites
Set theory. Powers, logarithms, exponentials and their properties.
First and second degree inequalities, rational inequalities, logarithmic and exponentials inequalities. Cartesian equations of the line, of the circumference, of the parabola, equation of straight line passing through two points. Basics of trigonometry.
Teaching methods
A hybrid teaching approach is used, combining lecture-based (DE) and interactive teaching (DI) methods. The DE includes the presentation and detailed explanation of theoretical content, typically occurring in the first part of the lesson. The DI involves active student participation through answering questions and problems posed by the instructor, short presentations, and group discussions, usually conducted in the second part of the lesson. The exact number of hours dedicated to DE and DI cannot be predetermined, as the methods intertwine dynamically to adapt to the course needs, fostering participatory and integrated learning by combining theory and practice.
Specifically:
-40 hours of lectures will be conducted in person with the hybrid teaching method described above.
-12 hours of exercises will be conducted in person in an interactive manner
Assessment methods
Written exam with 5 exercises and 3 theory questions. The outline of the exercises is as follows:
Exercise 1: Transformations of graphs of elementary functions;
Exercise 2: Limits;
Exercise 3: Various;
Exercise 4: Two-variable functions;
Exercise 5: Full Function Study.
The written test evaluates the formal correctness of the passages, the adequacy of the mathematical language adopted, the skills and knowledge acquired during the course.
Once the written exam has been passed, the professor or student can request a supplementary oral exam. The oral exam focuses on the entire program of the course and can contribute both positively and negatively to the final grade.
The course does not include the splitting of the exam into intermediate tests.
Textbooks and Reading Materials
Textbooks
Guerraggio, A. Matematica 4/Ed. • con MyLab. Pearson.
Additional texts to which reference may be made
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Monti, G., Pini, R.: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.
Additional teaching material
Course notes and teaching material provided (available on the e-learning platform)
Texts with detailed solutions of previous years (available on the e-learning platform)
List of the proofs that the students sre supposed to know and examples of theopry questions (available on the e-learning platform)
Semester
First semester, first year
Teaching language
Italian
