Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso tratta dei principali strumenti matematici relativi alle assicurazioni sulla vita. In particolare, insegna a utilizzare gli strumenti della Matematica Finanziaria e del Calcolo delle Probabilità per risolvere problemi tipici quali
- la costruzione di un modello della mortalità e la determinazione delle probabilità di vita e di morte
- il calcolo del premio equo di una polizza
- il calcolo della riserva matematica associata a una polizza.
Il corso si pone anche l'obiettivo di illustrare i collegamenti tra i concetti della Matematica Attuariale e quelli della teoria della utilità attesa e della teoria del rischio che verranno sinteticamente richiamati.
Contenuti sintetici
1) La modellizzazione della durata della vita umana: le tavole di mortalità e il modello probabilistico
2) Il calcolo del valore attuariale
3) Il calcolo del premio equo
4) Riserva matematica, equazioni ricorsive, scomposizione del premio, determinazione dell'utile
5) Teoria della utilità attesa e trasformazione di Esscher
Programma esteso
1) La modellizzazione della durata della vita umana: le tavole di mortalità e il modello probabilistico
Funzione di sopravvivenza, funzione di sopravvivenza condizionata, forza di mortalità, legame tra la forza di mortalità e la funzione di sopravvivenza, legge di Gompertz, legge di Makeham, aspettativa di vita completa e incompleta, relazione tra aspettativa di vita completa e incompleta
Tavole di mortalità, probabilità di vita, probabilità di morte, probabilità di morte differite e relative notazioni attuariali.
2) Il calcolo del valore attuariale
Concetto di valore attuariale, basi tecniche, calcolo del valore attuariale per prestazioni di capitale differito, coperture temporanee caso morte, coperture temporanee caso morte con capitale assicurato variabile, coperture miste, coperture a vita intera, rendite vitalizie temporanee e perpetue, relative notazioni attuariali. Relazioni ricorsive.
3) Il calcolo del premio equo
Definizione di premio equo. Premi unici, premi periodici, premi naturali. Esempi di calcolo.
4) Riserva matematica, equazioni ricorsive, scomposizione del premio, determinazione dell'utile
Definizione di riserva matematica. Esempi di calcolo. Equazione di Fouret e sua interpretazione. Decomposizione del premio in premio di rischio e premio di risparmio. Decomposizione dell'utile in utile finanziario e in utile da mortalità. Formula di Homans.
5) Teoria della utilità e principi generali di calcolo del premio
Richiami sulla teoria della utilità attesa. Definizione di premio di indifferenza. Legame tra premio di indifferenza e premio equo. Richiami sulle funzioni convesse e disuguaglianza di Jensen. Premio esponenziale ed esempi di calcolo.
Definizione di trasformazione di Esscher e di premio di Esscher. Il caso delle variabili casuali discrete, della normale, della esponenziale e della gamma.
Prerequisiti
Nel corso verranno utilizzati molti concetti di Matematica Finanziaria e di Calcolo delle Probabilità studiati nei corsi di Matematica per la Finanza e Statistica per la Finanza, che verranno comunque richiamati.
Metodi didattici
Le lezioni si svolgono in presenza. In caso di particolari difficoltà potranno essere trasmesse in streaming.
I materiali didattici sono messi a disposizione degli studenti prima della lezione.
Didattica interattiva
Le lezioni si svolgono in gruppi di tre ore consecutive. Due lezioni si svolgeranno in remoto e saranno dedicate all'apprendimento del software R, che ciascuno studente installerà sul proprio device. Durante le altre lezioni, un tempo variabile tra 15 e 45 minuti è dedicato ad attività interattive quali:
i) discussione di problemi assegnati a casa nelle lezioni precedenti
ii) quesiti posti individualmente o in gruppo agli studenti
iii) sperimentazione critica collettiva di strumenti di AI quali ChatGPT o Perplexity
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame è scritto con domande a risposta aperta ed orale facoltativo ed è volto sia a verificare la conoscenza e la comprensione dei concetti teorici spiegati a lezione, sia a verificare la capacità di applicare i concetti alla soluzione di semplici esercizi simili a quelli assegnati di compito e risolti autonomamente dagli studenti durante il corso.
Testi di riferimento
- Slides fornite dal docente
Per approfondimenti
- Introduction to Insurance Mathematics, A. Olivieri, E. Pitacco, Springer 2011.
Per una introduzione a R suggerisco di leggere la prima parte di
- The Book of R, di T. Davies
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
The course covers the main mathematical tools related to life insurance. In particular, it teaches how to use the tools of Financial Mathematics and Probability to solve typical problems such as
- the construction of a mortality model and the determination of life and death probabilities
- the calculation of the fair premium of a policy
- the calculation of the mathematical reserve associated with a policy.
The course also aims to illustrate the links between the concepts of actuarial mathematics and those of expected utility theory and risk theory, which will be briefly recalled.
Contents
1) The modelling of the duration of human life: mortality tables and the probabilistic model
2) The calculation of actuarial values
3) The calculation of the fair insurance premium
4) Mathematical reserve, recursive equations, premium decomposition, profit determination
5) Expected utility theory and Esscher transforms
Detailed program
1) The modelling of the duration of human life: mortality tables and the probabilistic model
Survival function, conditional survival function, mortality force, link between mortality force and survival function, Gompertz's law, Makeham's law, complete and incomplete life expectancy, relationship between complete and incomplete life expectancy
Mortality tables, probability of life, probability of death, deferred probability of death and related actuarial notations.
2) The calculation of actuarial value
Concept of actuarial value, technical bases, calculation of actuarial value for deferred lump sum benefits, temporary mortality covers, temporary mortality covers with variable insured capital, mixed covers, whole life covers, temporary and perpetual life annuities, related actuarial notations. Recursive relationships.
3) The calculation of the fair premium
Definition of equitable premium. Single premiums, periodic premiums, natural premiums. Calculation examples.
4) Mathematical reserve, recursive equations, premium decomposition, profit determination.
Definition of mathematical reserve. Calculation examples. Fouret equation and its interpretation. Decomposition of premium into risk premium and savings premium. Decomposition of profit into financial profit and mortality profit. Homans' formula.
5) Utility theory and general principles of premium calculation.
Recalls on expected utility theory. Definition of indifference premium. Link between indifference premium and fair premium. Recalls on convex functions and Jensen's inequality. Exponential premium and calculation examples.
Definition of Esscher transformation and Esscher premium. The case of discrete random variables, the normal, the exponential and the gamma.
Prerequisites
Some concepts of Mathematics, Financial Mathematics and Statistics studied in the propedeutic courses of Matematica Generale, Matematica per la Finanza and Statistica per la Finanza will be used in the course. In particular:
- elementary functions, limits, derivatives, integrals, convexity and concavity
- concept of random variable, distribution function, density function, mean, variance, moment generating function
- discrete and continuous random variables: binomial, Poisson, normal, exponential, gamma
- choice under uncertainty and the notion of expected utility
Teaching methods
Classes are held in person. In case of particular difficulties, they can be streamed.
Teaching materials are made available to students before the lesson.
Interactive Teaching
Lessons are conducted in groups of three consecutive hours. In each lesson, a variable amount of time between 15 and 45 minutes is dedicated to interactive activities such as:
i) discussing problems assigned at home in previous lessons
ii) implementing formulas or concepts seen during the lesson in R or Excel using a bring your own device approach
iii) questions posed individually or in groups to students
iv) collective critical experimentation with AI tools such as ChatGPT or Perplexity
Assessment methods
The examination is written with open-ended questions and optional oral and is aimed both at verifying knowledge and understanding of the theoretical concepts explained in lectures and at testing the ability to apply the concepts to the solution of simple exercises similar to those assigned and solved independently by the students during the course.
Textbooks and Reading Materials
\ Slides provided by the lecturer
For further information
- Introduction to Insurance Mathematics, A. Olivieri, E. Pitacco, Springer 2011.
Semester
First Semester
Teaching language
Italian
Staff
-
Fabio Bellini