Course Syllabus
Obiettivi
Imparare a descrivere il comportamento delle funzioni di più variabili reali e il loro uso nelle più semplici applicazioni
Conoscenze e capacità di comprensione (knowledge and understanding) Al termine del corso lo studente conosce:
- le definizioni principali relative ai sistemi lineari e i metodi per trattarli
- le definizioni di continuità, differenziabilità, punti stazionari per funzioni di più variabili e metodi per individuarli e caratterizzarli
- le definizioni di integrali di linea e di campo vettoriale conservativo
- i principali tipi di equazioni differenziali ordinarie
Conoscenza e capacità di comprensione applicate (applying knowledge and understanding) Al termine del corso lo studente è in grado di:
- analizzare sistemi lineari di m equazioni in n incognite, omogenei e non omogenei ed è in grado di studiare l'esistenza e l'eventuale unicità di soluzioni e di descriverle esplicitamente quando possibile
- determinare i punti stazionari e riconoscere massimi, minimi e punti di sella di funzioni di più variabili
- calcolare integrali di linea e stabilire se un campo vettoriale assegnato è oppure non è conservativo
- risolvere semplici esercizi su equazioni differenziali del primo ordine e su equazioni differenziali lineari del secondo ordine.
Autonomia di giudizio (making judgements) Saper individuare i metodi più appropriati per trattare i problemi di volta in volta proposti
Abilità comunicative (communication skills) Saper descrivere in forma scritta in modo chiaro e sintetico e con proprietà di linguaggio gli obiettivi, il procedimento ed i risultati di tecniche matematiche utili nelle scienze applicate
Capacità di apprendere (learning skills) Essere in grado di applicare le conoscenze acquisite a contesti differenti da quelli presentati durante il corso, ed approfondire gli argomenti trattati usando strumenti diversi da quelli forniti.
Contenuti sintetici
Elementi di algebra lineare. Funzioni di più variabili. Derivate parziali. Ottimizzazione. Estremi liberi e vincolati (moltiplicatori di Lagrange). Campi vettoriali e integrali su curve. Equazioni differenziali: tecniche elementari.
Programma esteso
Vettori e calcolo geometrico: vettori, prodotto scalare, coordinate cartesiane, rette e piani nello spazio, struttura metrica di R^N.
Matrici e operatori lineari: spazi e sottospazi vettoriali, indipendenza lineare, basi, dimensione, matrici e trasformazioni lineari, determinante, rango di una matrice, nucleo e immagine di una trasformazione lineare. Applicazioni ai sistemi lineari Teorema di Cramer. Autovalori e autovettori.
Calcolo differenziale per funzioni di due variabili: grafico, limiti e continuità, derivate parziali e direzionali, gradiente, differenziabilità, formula di Taylor, ottimizzazione libera e vincolata. Differenti sistemi di coordinate: coordinate cilindriche e coordinate sferiche. Estensione dei concetti fondamentali al caso in n variabili.
Curve in R^n, integrali curvilinei di prima e seconda specie, forme differenziali esatte. Campi irrotazionali e loro significato.
Equazioni differenziali. Principali proprietà. Tecniche di integrazione elementari per equazioni del primo ordine. Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti.
Prerequisiti
Matematica I
Modalità didattica
42 ore di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza (6 cfu)
24 ore di esercitazione in modalità erogativa, in presenza (2 cfu)
L'insegnamento è erogato in lingua italiana.
Il corso utilizzerà didattica in presenza di tipo erogativo per sviluppare i concetti e le tecniche fondamentali nell'ambito del programma di Matematica II. Il docente sottolineerà in modo problematico la teoria esposta e porrà frequentemente domande agli studenti, stimolando e incoraggiando la posizione di domande e problemi da parte loro.
Materiale didattico
Testo principale consigliato:
Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa "Matematica. Calcolo infinitesimale e Algebra lineare", Editore Zanichelli
Una raccolta di esercizi svolti corrispondente al testo è:
M.Bramanti, Esercizi di Calcolo infinitesimale e Algebra lineare, Editore Esculapio
Altri testi:
A. Guerraggio “Matematica per le Scienze”, Editore Pearson
J. Stewart, “Calcolo: Funzioni di più variabili”, Editore Apogeo
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli “Analisi Matematica” Editore McGraw-Hill
Ulteriore materiale sotto forma di esercizi svolti fornito dal docente
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre 2023-2024
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame scritto con eventuale colloquio orale. Durante lo svolgimento del corso gli studenti verranno proposte prove intermedie facoltative che se effettuate, esenteranno dalla prova scritta complessiva e concorreranno a determinare la votazione finale. L'obiettivo dell'esame complessivo, del colloquio e delle eventuali prove intermedie è quello di accertare l'assimilazione dei concetti e delle tecniche principali studiate durante le lezioni.
In particolare verranno tenute presenti oltre alla correttezza delle soluzioni degli esercizi scritti, anche la completezza, l'accuratezza e la chiarezza espositiva.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
To describe the simplest characteristics of functions of several variables and their use and operations most useful in applications
Knowledge and understanding After the class the student knows:
- the main definitions related to linear systems and to the methods to treat them
- the definitions of continuity, differentiability and stationary points for functions of several variables and the main criteria to find and characterize the stationary points
- the definition of line integrals and the definition and properties of conservative vector field
- the main types of ordinary differential equations
Applying knowledge and understanding After the class the student is able to:
- study linear systems with m equations and n unknown, homogeneous and inhomogeneous; he/she is able to study existence and uniqueness of solutions and to write explicitely the solutions whenever possible
- to study points of maximum, minimum, or saddle points of functions of two variables
- to compute line integrals and to establish if a vector field is conservative or not
- solve simple examples of first order equations and of linear second order equations
Making judgements To be able to find the most suitable methods to treat the various proposed problems
Communication skills To describe in written form as clearly as possible and in synthetic and precise form the goals, procedure and results of the mathematical techniques learned
Learning skills To apply the learned knowledges to different applied contexts and to further deepen the topics treated by means of new bibliographical tools
Contents
Elements of linear algebra. General characteristics of fucntions of several variables. Partial differentiation. Optimization. Free extremes. Constrained extremes (Lagrange multiplier method). Vector fields and integration along curves. Elementary differential equations.
Detailed program
Vectors: algebraic and geometric. Main operations with vectors: sum, multiplications with scalars, scalar product and metric properties. Cartesian coordinates, lines and planes in three and higher dimensional space.
Vector spaces in general. Vector subspaces. Linear dependence and linear independence of vectors. Dimension of a vector space. Matrices and linear operators. Kernel and range of linear transformation. Inverse and transpose. Determinants. Rank of a matrix. Applications to systems of linear equations. Cramer theorem. Eigenvalues and eigenvectors.
Differential calculus for functions of two and several variables. Graph of a functions, domain, limits and continuity. Partial derivatives and differentiability. Geometric interpretation. Taylor formula. Optimization. Free and constrained extrema.
Curves in R^n, line integrals, vector fields and differential forms. Irrotational vectro fields and their meaning.
Differential equations. Main properties and integration techniques for first order equations and linear second order equations with constant coefficients.
Prerequisites
Mathematics I
Teaching form
42 hours of in-person, lecture-based teaching (6 ECTS)
24 hours of in-person, lecture-based exercises classes (2 ECTS)
This course will primarily use lecture-based teaching to deliver the fundamental concepts of Dynamical Systems and Classical Mechanics. The active interaction between teacher and students will take place through questions, discussions and answers during the lessons and exercise classes.
Textbook and teaching resource
Main text:
Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa "Matematica. Calcolo infinitesimale e Algebra lineare", Editore Zanichelli
Corresponding exercises:
M.Bramanti, Esercizi di Calcolo infinitesimale e Algebra lineare, Editore Esculapio
Other text:
A. Guerraggio “Matematica per le Scienze”, Editore Pearson
J. Stewart, “Calcolo: Funzioni di più variabili”, Editore Apogeo
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli “Analisi Matematica” Editore McGraw-Hill
Further material will be provided by the instructor during the lectures
Semester
II semester 2023-2024
Assessment method
Written examination with optional oral colloquium. Intermediate written exams will be proposed. Students are not committed to do them, but in case they do they are allowed to skip the final complete written examination. The goal of the evaluation (partial, complete and oral colloquium) is to ascertain a correct assimilation of concepts and techniques studied during lessons and exercises sessions. In particular, to have a correct assessment, in evaluating the written examination completeness, accuracy and clarity will be taken into account.
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