Riassunto di Analisi Matematica II

Syllabus del corso

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Obiettivi

L’insegnamento si prefigge come obiettivi l’acquisizione e la padronanza dei contenuti del corso (calcolo differenziale in più variabili, calcolo integrale in più variabili, curve, superfici, forme differenziali, successioni e serie di funzioni, equazioni differenziali ordinarie, spazi metrici e funzionali), la capacità di elaborare i concetti fondamentali del corso in maniera critica, la capacità di risolvere problemi e di applicare i metodi appresi a contesti diversi.

Contenuti sintetici

Calcolo differenziale in più variabili; calcolo integrale in più variabili; curve, superfici, forme differenziali; successioni e serie di funzioni; equazioni differenziali ordinarie, spazi metrici e funzionali.

Programma esteso

Spazi metrici euclidei: distanza, norma, intorni, insiemi aperti e chiusi, topologia associata a una metrica, densità, continuità, completezza, compattezza.
Calcolo differenziale in più variabili: derivate direzionali, funzioni differenziabili, differenziabilità di funzioni composte, derivate successive, formula di Taylor, massimi e minimi di funzioni di più variabili.
Calcolo integrale in più variabili: definizione di integrale, integrabilità di funzioni continue, riduzione di integrali multipli ad integrali semplici successivi, cambio di variabili, coordinate polari nel piano e nello spazio, calcolo di aree e volumi.
Curve, superfici, forme differenziali: curve e superfici regolari, lunghezza di una curva e area di una superficie, funzioni implicite, massimi e minimi vincolati e moltiplicatori di Lagrange, forme differenziali, forme esatte e chiuse, formule di Gauss-Green e Stokes.
Successioni e serie di funzioni: spazi metrici e normati, successioni di Cauchy, convergenza puntuale ed uniforme di successioni e serie di funzioni, completezza dello spazio delle funzioni continue con la norma uniforme, passaggio al limite nell'integrazione e derivazione di successioni di funzioni, serie di potenze, serie di Fourier.
Equazioni differenziali: il problema di Cauchy, riduzione di un’equazione di ordine n ad un sistema di n equazioni del primo ordine, teorema delle contrazioni e teorema di esistenza ed unicità di soluzioni di equazioni differenziali, equazioni differenziali lineari, equazioni del primo ordine, a variabili separabili, lineari, esatte. Sistemi lineari. Sistemi lineari a coefficienti costanti, esponenziale di una trasformazione lineare, equazioni differenziali lineari di ordine superiore a coefficienti costanti. Prolungabilità delle soluzioni e loro studio qualitativo.

Prerequisiti

I corsi di matematica del primo anno.

Modalità didattica

Si utilizza un approccio didattico ibrido che combina didattica frontale (DE) e didattica interattiva (DI). La DE include la presentazione e spiegazione dettagliata dei contenuti teorici. La DI prevede interventi attivi degli studenti tramite esercizi e problemi, brevi interventi, discussioni collettive e lavori di gruppo o individuali. Non è possibile stabilire precisamente a priori il numero di ore dedicate alla DE e alla DI, poiché le modalità si intrecciano in modo dinamico per adattarsi alle esigenze del corso e favorire un apprendimento partecipativo e integrato, combinando teoria e pratica.
Le lezioni si svolgono in presenza e sono tenute in italiano, per 64 ore (8 CFU).
Le esercitazioni sono in presenza e sono tenute in italiano, per 48 ore (4 CFU).

Materiale didattico

E. Giusti: Analisi matematica 2, terza edizione, Bollati Boringhieri.

Altri testi consigliati:

P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, secondo volume, parte prima e seconda.
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica due, Liguori Editore.
E. Giusti: Esercizi e complementi di analisi matematica 2, Bollati Boringhieri.
G. De Marco: Analisi Due, Zanichelli Decibel.
G. De Marco, C. Mariconda: Esercizi di Analisi Due, Zanichelli Decibel.
C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 2, Zanichelli.
V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G, Verzini: Analisi 1 e 2. Apogeo.

Periodo di erogazione dell'insegnamento

Secondo anno, primo semestre.

Modalità di verifica del profitto e valutazione

L'esame consiste in due prove scritte (obbligatorie) e in una prova orale (facoltativa).

Test a risposta multipla: 15 domande a risposta multipla. La valutazione avviene assegnando i seguenti punteggi: +3 per una risposta giusta, −1 per una risposta sbagliata, 0 per una domanda lasciata senza risposta. Il voto poi verrà riportato in trentesimi. La soglia minima per il superamento di questa prova è di 15/30 punti. Durata: 30 minuti.
Prova a risposte aperte (esercizi e domande teoriche): esercizi come quelli svolti nelle esercitazioni, oppure anche di tipo diverso, e risposte a quesiti di natura teorica. La soglia minima per il superamento di questa prova è di 15/30 punti. Durata: 120 minuti.

Il voto complessivo delle due prove scritte si ottiene calcolando la somma pesata, con pesi 3 e 6 rispettivamente, dei voti delle due prove.

Ulteriori informazioni sulle prove, dettagli e calendario delle prove si trovano all'interno dello spazio e-learning del corso.

Orario di ricevimento

Ricevimento su appuntamento.

Sustainable Development Goals

ISTRUZIONE DI QUALITÁ | PARITÁ DI GENERE | RIDURRE LE DISUGUAGLIANZE

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Aims

The course has the following targets:

Knowledge of the course topics: differential and integral calculus in several variables, curves and surfaces, differential forms, sequences and series of functions, ordinary differential equations, metric and functional spaces
Development of criticism;
Problem solving.

Differential calculus in several variables, integral calculus in several variables, sequences and series of functions, curves and surfaces, differential forms, ordinary differential equations, metric and functional spaces.

Detailed program

Metric spaces: metrics, neighborhoods, open and closed sets, topology associated to a metric space, density, continuity, completeness and compactness.
Normed spaces: definition of norm, Banach spaces.
Differential calculus in several variables: partial derivatives, differentiable functions, chain rule, higher order derivatives, Taylor's formula, maxima and minima of functions of several variables.
Integral calculus in several variables: Lebesgue integral, integrability of continuous functions, evaluation of multiple integrals by repeated lower dimensional integration, change of variables, polar coordinates in 2 and 3 dimensions, application to area and volume.
Curves, surfaces, differential forms: curves and surfaces, length of curves, area of surfaces, Implicit Function Theorem, constrained minimization, Lagrange multipliers, differential forms, closed and exact differential forms, Gauss-Green’s Theorem, Stokes’ Theorem.
Sequences and series of functions: metric and normed spaces, Cauchy sequences, point-wise and uniform convergence of sequences and series of functions, completeness of the space of continuous functions with the uniform norm, power series, Fourier series.
Ordinary differential equations: the Cauchy problem, reduction of an equation of order n to a system of n equations of the first order, the Banach Contraction Theorem and the existence/uniqueness of solutions to differential equations, linear differential equations, first order equations, separation of variables, linear and exact equations. Linear systems. Linear systems with constant coefficients, the exponential of a linear transformation, linear differential equations of higher order with constant coefficients. Maximal solutions. Qualitative study of solutions.

Prerequisites

The contents of the Mathematics courses of the first year are required.

Teaching form

A hybrid teaching approach is used, that combines lecture-based teaching (DE) and interactive teaching (DI). DE involves detailed presentation and explanation of theoretical content. DI includes active student participation through exercises and problems, short presentations, group discussions, and group or individual work. It is not possible to precisely determine in advance the number of hours dedicated to DE and DI, as these methods are dynamically intertwined to adapt to the course's needs and promote a participatory and integrated learning environment, combining theory and practice.

Lectures (64 hours) and practical sessions/tutorials (48 hours) are conducted in person and are primarily in Italian.

Textbook and teaching resource

E. Giusti: Analisi matematica 2, terza edizione, Bollati Boringhieri.

Other books:

P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, secondo volume, parte prima e seconda.
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica due, Liguori Editore.
E. Giusti: Esercizi e complementi di analisi matematica 2, Bollati Boringhieri.
G. De Marco: Analisi Due, Zanichelli Decibel.
G. De Marco, C. Mariconda: Esercizi di Analisi Due, Zanichelli Decibel.
C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 2, Zanichelli.
V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G, Verzini: Analisi 1 e 2. Apogeo.

Semester

Second year, first semester.

Assessment method

The exam consists of a written part (mandatory) and of an oral one (optional). The written exam is divided into two parts.

Multiple choice test: 15 multiple choice questions. The evaluation is done by assigning the following scores: +3 for a right answer, −1 for a wrong answer, 0 for a question left unanswered. The grade will then be rescaled on a scale of thirty points. The minimum threshold for passing this test is 15/30 points. Duration: 30 minutes.
Open-ended test (exercises and theoretical questions): exercises such as those carried out in class, or of a different type, and answers to theoretical questions. The minimum threshold for passing this test is 15/30 points. Duration: 120 minutes.

The overall grade of the two written tests is obtained by calculating the weighted sum, with weights 3 and 6 respectively, of the marks of the two tests.

Erasmus students are allowed to write their exam answers in English, as well as to speak English during oral exams. However, the texts for the written exams will generally be provided in Italian.

Further information on the tests, details and timetable of the tests can be found in the e-learning space of the course.