Skip to main content
If you continue browsing this website, you agree to our policies:
  • Condizioni di utilizzo e trattamento dei dati
Continue
x
If you continue browsing this website, you agree to our policies:
  • Condizioni di utilizzo e trattamento dei dati
Continue
x
e-Learning - UNIMIB
  • Home
  • More
Listen to this page using ReadSpeaker
English ‎(en)‎
English ‎(en)‎ Italiano ‎(it)‎
You are currently using guest access
 Log in
e-Learning - UNIMIB
Home
Percorso della pagina
  1. Science
  2. Bachelor Degree
  3. Scienza e Nanotecnologia dei Materiali [ESM02Q - ESM01Q]
  4. Courses
  5. A.A. 2024-2025
  6. 1st year
  1. Mathematics II
  2. Summary
Insegnamento Course full name
Mathematics II
Course ID number
2425-1-ESM01Q005
Course summary SYLLABUS

Course Syllabus

  • Italiano ‎(it)‎
  • English ‎(en)‎
Export

Obiettivi

Obiettivo dell’insegnamento è fornire allo studente un secondo corso di Matematica di base. Gli studenti oltre a comprendere la teoria dovranno essere in grado di illustrarla attraverso esempi significativi e di risolvere un'ampia gamma di esercizi ad essa collegati.

Contenuti sintetici

Calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili.

Programma esteso

Elementi di algebra lineare. Vettori e geometria dello spazio Euclideo. Rette e piani nello spazio. Matrici. Determinanti. Sistemi lineari. Forme quadratiche.

Funzioni di più variabili. Limiti e continuità. Derivate parziali. Differenziabilità, piano tangente e approssimazione lineare. Derivata direzionale e gradiente. Curve regolari. Derivata di funzioni composte. Curve e superfici di livello. La formula di Taylor. Massimi, minimi e punti sella. Vincoli e moltiplicatori di Lagrange. Il teorema della funzione implicita (cenno).

Calcolo integrale per funzioni di più variabili. La misura di Jordan. Integrali multipli. Integrali iterati. Riduzione di integrali tripli. Integrazione per strati e per fili. Cambiamento di variabili negli integrali multipli.

Analisi vettoriale. Lunghezza di una curva e integrali di linea di I specie. Campi vettoriali e integrali di linea di II specie. Area di una superficie curva e integrali di superficie di I e II specie. La formula di Green. Campi vettoriali conservativi. Il rotore. Campi vettoriali solenoidali. I teoremi di Stokes e Gauss-Ostrogradski.

Prerequisiti

Matematica I

Modalità didattica

42 ore di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza (6 cfu)
24 ore di esercitazione in modalità erogativa, in presenza (2 cfu)

Corso erogato in lingua italiana

Materiale didattico

1. Appunti forniti dal docente.

  1. James Stewart: Calcolo vol II - Funzioni di più variabili, (Apogeo, Milano).

Periodo di erogazione dell'insegnamento

Secondo semestre

Modalità di verifica del profitto e valutazione

L'esame consiste in una prova scritta ed una orale. Tipicamente la prova scritta consiste nello svolgimento di cinque esercizi:
due esercizi di calcolo differenziale e tre esercizi di calcolo integrale. L'ammissione all'orale richiede un voto complessivo nella prova scritta non inferiore a 15/30. La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame in cui è stata sostenuta la prova scritta o in quella successiva. Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove parziali. La prima prova parziale verte sulla parte di calcolo differenziale e consta di tre esercizi: uno sullo studio dei punti critici di una funzione di due variabili e i due restanti sullo studio di massimi e minimi assoluti anche in presenza di vincoli. La seconda prova parziale, che si svolge una volta terminato il corso, verte principalmente sul calcolo integrale e consta di tre esercizi: uno richiede il calcolo di un integrale doppio o triplo mediante le tecniche apprese a lezione (integrazioni per fili e per strati, cambiamento di variabili), uno riguarda i campi vettoriali (integrali di linea, calcolo del potenziale se il campo è conservativo, etc), uno riguarda l'applicazione o la verifica di una delle formule del calcolo vettoriale (formule di Green, Stokes e Gauss). Il superamento di queste prove equivale al superamento della prova scritta con un voto pari alla media delle due prove che dovranno comunque essere superate con un voto non inferiore a 15/30. Chi supera le prove parziali dovrà sostenere la prova orale entro l'ultimo appello dell'anno (2025). La prova orale si base sulle note fornite durante il corso.
.

Orario di ricevimento

Su appuntamento.

Sustainable Development Goals

ISTRUZIONE DI QUALITÁ
Export

Aims

The aim of this course is to provide a second course in Mathematical Analysis. In addition to understanding the theory, students should be able to illustrate it through meaningful examples and to solve a wide range of related exercises.

Contents

Differential and integral calculus for functions of several variables.

Detailed program

Elements of linear algebra. Vectors and geometry in the Euclidean space. Lines and planes. Matrices. Determinant. Linear systems: Cramer’s rule. Quadratic forms.

Functions of several variables. Limits and continuity. Partial derivatives. Differentiability, tangent planes and linear approximations. Directional derivatives and gradient. Regular curves. The chain rule. Surfaces and level curves. Taylor’s formula. Maxima, minima, and saddle points. Constraints and Lagrange multipliers. The implicit function theorem.

Integral calculus for functions of severable variables. Jordan measure. Multiple integrals. Iterated integrals. Reduction of multiple integrals: cross section and shadow methods. Change of variables in multiple integrals.

Vector Analysis. Lenght of a curve and line integrals of first kind. Vector fields and line integrals of second kind. Surface area and surface integrals of first and second kind. Green's formula. Conservative vector fields. Curl. Solenoidal vector fields. Stokes and Gauss-Ostrogradski theorems.

Prerequisites

The course of Mathematics I

Teaching form

42 hours of in-person, lecture-based teaching (6 ECTS)
24 hours of in-person, lecture-based exercises classes (2 ECTS)

Course delivered in Italian

Textbook and teaching resource

1. Lecture notes.

  1. James Stewart: Multivariable Calcululs.

Semester

Second semester

Assessment method

Written and oral examination. Usually the written examination consists in the solution of 5 problems: two problems of differential calculus and three problems of integral calculus. The minimum grade to pass to the oral part is 15/30.
The oral examination can be performed in the same session of the written part, as well as in the subsequent session.
During the course there will be two partial written exams. The first one is focused on the differential calculus and consists of 3 exercises: one exercise is about the study of critical points of a function of two variables and the remaining ones require the study of absolute maxima and minima, also in the presence of constraints. The second partial exam, scheduled after the end of the course, is mainly focused on integral calculus and consists of 3 exercises: one exercise requires the computation of a double or triple integral using standard techniques (reduction to repeated integrals, change of variables), one exercise is about vector fields (line integrals, computation of the potential of conservative vector fields, etc), one exercise is about classical formulas of vector calculus (Green, Stokes and Gauss). Passing these tests is equivalent to passing the written exam with a grade equal to the average of the grades (at least 15/30 for each test). Those who pass the partial exams should take the oral exam within the last session of the year (2025). The oral exam is based on the lectures notes of the course.

Office hours

By appointment.

Sustainable Development Goals

QUALITY EDUCATION
Enter

Key information

Field of research
MAT/07
ECTS
8
Term
Second semester
Activity type
Mandatory
Course Length (Hours)
66
Degree Course Type
Degree Course
Language
Italian

Staff

    Teacher

  • PL
    Paolo Lorenzoni

Students' opinion

View previous A.Y. opinion

Bibliography

Find the books for this course in the Library

Enrolment methods

Manual enrolments
Self enrolment (Student)

Sustainable Development Goals

QUALITY EDUCATION - Ensure inclusive and equitable quality education and promote lifelong learning opportunities for all
QUALITY EDUCATION

You are currently using guest access (Log in)
Policies
Get the mobile app
Powered by Moodle
© 2025 Università degli Studi di Milano-Bicocca
  • Privacy policy
  • Accessibility
  • Statistics