- Solid State Physics
- Summary
Course Syllabus
Obiettivi
Il Corso si pone come obiettivo l’apprendimento di concetti, metodi e di modelli per la fisica dei solidi cristallini, perfetti ed infiniti. A tal fine, il Corso si compone di due parti. Nella prima parte vengono introdotti i tre attori fondamentali dei solidi cristallini: il reticolo cristallino nello spazio diretto e in quello reciprococo, le vibrazioni reticolari e i loro effetti termici, gli elettroni liberi nella approssimazione di particelle non interagenti. Particolare attenzione è data alle tecniche di calcolo delle grandezze macroscopiche sulla base di variabili microscopiche. La seconda parte include quei fenomeni di trasporto di carica e di calore, legati agli elettroni che si muovone nelle bande energetiche, come prodotti dalla applicazione di campi elettrici, magnetici e di gradienti termici. Anche in questa parte, si insegna che la trattazione matematica sia lo strumento che ci permette di legare gli effetti macroscopici alle variabili microscopiche del sistema. Verso la fine del corso vengono dedicate due ore di didattica interattiva con gli studenti, l'una riferita alla prima parte e l'altra alla seconda parte, al fine di rispondere alle domande e a dubbi collettivi emersi dalla interazione tra gli studenti stessi, che viene fortemente incentivata.
Contenuti sintetici
Parte 1
I. Strutture cristalline e diffrazione
II. Dinamica reticolare e teoria elastica dei solidi
III. Proprietà termiche dei solidi
IV. Gas di elettroni liberi
Parte 2
V. Bande elettroniche in reticolo periodico
VI. Trasporto elettronico di carica in un campo elettrico
VII. Trasporto elettronico di calore ed effetti termoelettrici
VIII. Effetto di campi magnetici deboli e forti
Programma esteso
PARTE 1
I. Strutture cristalline e diffrazione
- Reticoli di Bravais e strutture cristalline notevoli
- Teoria della diffrazione e tecniche sperimentali
- Costruzione di reticolo reciproco e zona di Brillouin, in particolare per strutture FCC, BCC e HCP
- Calcolo della distanze tra punti ad alta simmetria nella zona di Brillouin del Silicio.
II. Dinamica reticolare
- Elementi di dinamica reticolare: matrice delle costanti di forza e sue simmetrie, matrice dinamica ed equazioni di moto
- Relazioni di dispersione e spostamenti di una catena lineare biatomica
- Teoria della elasticità ed onde sonore
- Costruzione e diagonalizzazione matrice dinamica per fcc monoatomico: autovalori e displacement patterns
- Modi normali come modi collettivi
- Fononi e loro statistica.
- Scattering inelastico e misura della dispersione dei fononi tramite scattering neutronico
III. Proprietà termiche dei solidi
- Densità di stati vibrazionali
- Calore specifico di Debye e di Einstein
- Potenziali anarmonici e loro effetti: espansione termica e calore specifico di oscillatore 1-D
- Espansione termica e parametro di Gruneisen in 3-D
- Conducibilità termica tramite vibrazioni reticolari in 3-D
IV. Gas di elettroni liberi
- Modello degli elettroni liberi
- La statistica di Fermi-Dirac per gli elettroni
- Densità degli stati: definizione e calcolo per gas 3-D, 2-D e 1-D.
- Andamento del potenziale chimico con la temperatura
- Contributo elettronico al calore specifico e i fermioni pesanti
- Emissione termica di elettroni: fisica ed applicazioni
PARTE 2
V. Bande elettroniche
- Potenziale periodico, equazione centrale e stati di Bloch
- Costruzione dello schema a bande nel caso di reticolo-vuoto
- Bande nel modello di elettrone quasi-libero: apertura del gap al bordo della zona di Brillouin ed interpretazione
- Introduzione al modello Tight-Binding (TB)
- Calcolo di bande nel modello TB: ruolo dei vicini e della base di orbitali atomici e integrali di hopping
- Costruzione e diagonalizzazione della matrice tight binding a primi vicini per silicio
- Interpretazione di bande reali e loro densità di stati
- Misura della dispersione di bande per fotoemissione risolta in angolo
Trasporto elettronico di carica
- Il modello semiclassico e moto degli elettroni in banda in presenza di un campo elettrico
- Il tensore di massa efficace e il concetto di buca positiva
- L'equazione di Boltzman: bilancio tra processi di drift e quelli di scattering
- L'approssimazione del tempo di rilassamento per i processi di scattering
- Meccanismi microscopici che presiedono allo scattering di cariche
- La conducibilità elettrica nei metalli
- Dipendenza della conducibilità elettrica dalla temperatura
Trasporto elettronico di calore
- Equazione di Boltzman generalizzata ai gradienti termici
- Trasporto di calore da elettroni e relazione di Wiederman-Franz
- Effetti termoelettrici (Peltier e Seebeck) e applicazioni
Effetti dei campi magnetici
- Effetti dei campi magnetici deboli
- Effetti dei campi magnetici forti e livelli di Landau
- Proprietà magnetiche della materia
- Magnetismo degli elettroni liberi
Prerequisiti
Struttura della materia, fisica quantistica di atomi e di molecole
Introduzione elementare alla fenomenologia dei materiali
Elementi di analisi complessa, funzioni speciali, serie e trasformate di Fourier
Modalità didattica
Il corso si compone di 38 ore di lezioni frontali e 12 ore di esercitazioni di natura erogativa (DE) e di 2 ore di natura interattiva con gli studenti (DI). Tutte le ore di didattica sono previste in presenza, ma considerando la difficoltà degli studenti stranieri nell'ottenere un visto di ingresso in tempi utili per partecipare all'inizio delle lezioni, oppure alla eventualità di eventi meteorici di particolare intensità, che impediscano a gran parte degli studenti di venire in aula, alcune lezioni/esercitazioni, fino ad un massimo del 30%, potrebbero essere erogate anche in modalità remota sincrona, negli stessi orari previsti per il corso.
Materiale didattico
TESTO PRINCIPALE
H. IBACH AND H. LUTH, Solids State Physics, Springer Verlag
CAPITOLI AGGIUNTIVI PRESI DAI SEGUENTI TESTI, COME RESI DISPONIBILI SULLA PIATTAFORMA E-LEARNING O DISPONIBILI DALLA BIBLIOTECA DI ATENEO:
N.W ASHCROFT AND N.D. MERMIN, Solid State Physics, Saunders College Publishing
F. BASSANI E U. GRASSANO, Fisica dello Stato Solido, Casa Editrice Boringhieri
A.P. SUTTON, Electronic Structure of Materials, Oxford University Press
J.R. HOOK and H.E. Hall, Solid State Physics, John Wiley & Sons
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Seconda parte del primo semestre, per permettere al corso di analisi funzionale di impartire gran parte delle nozioni necessarie a seguire questo corso. Gli studenti sono invitati quindi a seguire quel corso con attenzione e costanza.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova scritta con domande aperte, poi discussa durante un colloquio orale di correzione individuale, che può vertere anche su altri argomenti svolti a lezione, o a esercitazione. In particolare, l'esame consiste in una prova scritta con quattro domande aperte, inclusa la derivazione matematica di alcuni risultati fisici, oppure il disegno di alcuni grafici e il relativo commento.
Durante il periodo delle lezioni, gli studenti frequentati il corso avranno la possibilità di suddividere l'esame in due prove parziali, una relativa agli argomenti della Parte 1 del corso e l'altra relativa agli argomenti della Parte 2. Tali prove parziali consisteranno di una prova scritta con 3 domande aperte, inclusa la derivazione matematica di alcuni risultati fisici, o il disegno di alcuni grafici e il relativo commento, seguita da un breve colloquio orale di discussione sullo scritto, con qualche ulteriore approfondimento, sempre relativo agli argomenti svolti a lezione. Dal momento che questo percorso assistito tramite prove parziali richiede che gli studenti studino in parallelo allo svolgimento delle lezioni, la partecipazione attiva alle lezioni è fortemente raccomandata. Per agevolare la preparazione, organizzare e spiegare le modalità d'esame e rispondere a qualsiasi domanda sugli argomenti delle lezioni, prima di ciascun esame parziale verrà organizzato un incontro con gli studenti iscritti, e aperto a tutti gli altri. Se uno studente fallisce il test sulla prima parte, avrà una (sola) ulteriore occasione di riprovarlo, prima che le lezioni della seconda parte del corso siano terminate; se fallisce il test sulla seconda parte, avrà una (sola) ulteriore occasione di riprovarlo, entro la data di inizio del secondo semestre.
Orario di ricevimento
Per appuntamento, scrivendo una e-mail a leo.miglio@unimib.it, oppure - per domande riguardati gli esami - a roberto.bergamaschini@unimib.it
Sustainable Development Goals
Aims
The Course is aimed to the understanding of concepts, methods and models for the physics of perfect and infinite crystalline solids. To this purpose topics are divided into two parts. In the first part, the three fundamental players of crystalline solids are introduced: the crystal lattice in direct and reciprocal space, lattice vibrations and their thermal effects, free electrons in the approximation of non-interacting particles. Particular attention is given to the techniques for calculating macroscopic quantities on the basis of microscopic variables. The second part includes the charge- and heat-transport phenomena, relative to the electrons moving in the energy bands, as produced by the application of electric, or magnetic fields, and thermal gradients. Also in this part, it is taught that the mathematical modelling is the tool that allows us to link macroscopic effects to the microscopic variables of the system. Towards the end of the course, two hours are devoted to the interactive teaching with the students, one referring to the first part and the other to the second part, in order to answer the collective questions and doubts that emerged from the interaction between the students themselves, which is strongly encouraged.
Contents
Part 1
I. Crystal structures and diffraction
II. Lattice dynamics and elastic properties of solids
III. Thermal properties of solids
IV. The free-electron gas
Part 2
V. Electronic bands in a periodic lattice
VI. Transport of charge by electrons in one electric field
VII. Transport of heat by electrons and thermoelectric effects
VIII. Effects of weak and strong magnetic fields
Detailed program
PART 1
I. Crystal structures and diffraction
- Bravais lattices and relevant crystal structures
- Theory of diffraction and experimental techniques
- Construction of the reciprocal lattice and the Brillouin zones, in particular for FCC, BCC and HCP structures
- Calculation of the distances between high-symmetry points in the Brillouine zone of silicon.
II. Lattice dynamics
- Foundations of lattice dynamics: force constant matrix and its symmetries, dynamical matrix and the equations of motion
- Dispersion relations and displacement patterns of the diatomic linear chain
- Elasticity theory and sound waves
- Construction and diagonalization of the dynamic matrix for one fcc monatomic: eigenvalues and displacement patterns
- Normal modes as collective modes
- Phonons and their statistics
- Inelastic scattering and measurement of phonon dispersion by neutron scattering
III. Thermal properties of solids
- Density of vibrational states
- Specific heat in Debye and Einstein models
- Anharmonic potentials and their effects: thermal expansion and the heat capacity of 1-D oscillator
- Thermal expansion and the Gruneisen parameter in 3-D
- Thermal conductivity by lattice vibrations in 3-D
IV. The free-electron gas
- The free-electron gas model
- The Fermi-Dirac statistics of electrons
- Density of states: definition and calculation for 3-D, 2-D and 1-D electron gas.
- Trend of the chemical potential in temperature
- Electronic contribution to the specific heat and heavy fermions
- Thermal emission of electrons: physics and application
PART 2
V. Electronic bands
- Periodic potential, central equation and Bloch states
- Construction of the band diagram for the empty lattice
- Band structure in the nearly-free electron model: opening of the gap at the Brillouin zone borders and its interpretation
- Introduction to the Tight-Binding model (TB)
- Band calculation in the TB model: role of neighbors and atomic basis and hopping integrals
- Construction and diagonalization of the tight binding matrix to first neighbors for silicon
- Interpretation of real bands and their density of states
- Measurement of the dispersion of the bands by angle-resolved electron photoemission
VI. Transport of charge by electrons
- The semiclassical model and motion of electrons in bands due to an electric field
- The effective mass tensor and the concept of positive hole
- Boltzmann equation: balance between the process of drift and the one of scattering
- The relaxation time approximation for scattering processes
- Microscopic mechanisms that rule the scattering of electrons in bands
- The electrical conductivity in metals
- Dependence of electrical conductivity on the temperature
VII. Transport of heat by electrons
- Generalization of the Boltzman equation to thermal gradients
- Heat transport by electrons and the Wiedemann-Franz law
- Thermoelectric effects (Peltier and Seebeck) and applications
VIII Effects of magnetic fields
- Effects by weak fields
- Effects by strong fields and Landau energy levels
- Magnetic properties of matter
- The magnetism of free electrons
Prerequisites
Atomic and molecular quantum physics
Elementary introduction to Materials
Elements of calculus for complex variables, special functions, series and Fourier transforms
Teaching form
The course consists of 38 hours of lectures and 12 hours of practice lessons delivery in nature (DE), and 2 hours of discussion with the students, interactive in nature (DI). All teaching hours are scheduled to be in presence, but considering the difficulty of foreign students in obtaining an entry visa in time to participate in the starting lessons, or in the eventuality of particularly intense meteorological events, which could prevent a large part of students to come to the classroom, some lessons/practice lessons, up to a maximum of 30%, could also be delivered in synchronous remote mode, at the same times scheduled for the course.
Textbook and teaching resource
MAIN TEXTBOOK:
H. IBACH AND H. LUTH, Solids State Physics, Springer Verlag
ADDITIONAL CHAPTERS ARE TAKEN FROM THE FOLLOWING BOOKS, STILL AVAILABLE IN ENGLISH IN THE E-LEARNING PLATFORM OR AVAILABLE FROM THE UNIVERSITY LIBRARY:
N.W ASHCROFT AND N.D. MERMIN, Solid State Physics, Saunders College Publishing
F. BASSANI E U. GRASSANO, Fisica dello Stato Solido, Casa Editrice Boringhieri
A.P. SUTTON, Electronic Structure of Materials, Oxford University Press
J.R. HOOK and H.E. Hall, Solid State Physics, John Wiley & Sons
Semester
Second part of the first semester, so that the advanced course in calculus can provide most of the subjects necessary to follow this course. The students are therefore warmely invited to attend that course with attention and continuity.
Assessment method
The exam consists of a written test with open questions, then discussed during an oral exam of individual correction, which can also focus on other topics covered in lessons or exercises. In particular, the exam consists of a written test with four open questions, including the mathematical derivation of some physical results, or the drawing of some graphs and related commentary.
During the lesson period, however, students who are attending the course will have the possibility of dividing the exam into two partial tests, one relating to the topics of Part 1 of the course and the other relating to the topics of Part 2. Each of these partial exams will consist of a written test with 3 open questions, including the mathematical derivation of some physical results, or the drawing of some graphs and related comments, followed by a short oral discussion on the written result, with some further in-depth analysis, always relating to the topics covered in the lessons. Since this path of partial tests requires students to study in parallel with the lessons, active participation in lessons is strongly recommended. To facilitate the preparation, organize and explain the exam methodology and answer any questions on the topics of the lessons, a meeting will be organized with the interested students before each partial exam, and open to all others. If a student fails the test on the first part, he will have one (only) further opportunity to try it again, before the lessons of the second part of the course are finished; if he fails the test on the second part, he will have one (only) further opportunity to try it again, before the starting date of the second semester.
Office hours
By appointment writing one e-mail to leo.miglio@unimib.it, or to roberto.bergamaschini@unimib.it for questions related to the exams