Syllabus del corso
Obiettivi
L'insegnamento si propone di fornire allo studente le definizioni e le proprietà di base del moto browniano e risultati più importanti della teoria delle equazioni differenziali stocastiche. Verrà posta particolare enfasi sulle interazioni tra equazioni differenziali stocastiche e equazioni alle derivate parziali, e sulle applicazioni alla modellizzazione dei derivati finanziari.
Al termine del corso lo studente avrà acquisito le seguenti:
- conoscenze: linguaggio, definizioni ed enunciati dei risultati fondamentali sul moto browniano e sulle equazioni differenziali stocastiche;
- competenze: comprensione operativa delle principali tecniche dimostrative e dei principali modelli finanziari in cui la teoria viene applicata;
- abilità: capacità di applicare le nozioni teoriche per l'analisi di problemi e modelli.
Contenuti sintetici
- Introduzione ai processi stocastici a tempo continuo
- I processi di Levy e il moto Browniano
- L'integrale stocastico di Ito
- La formula di Ito
- Equazioni differenziali stocastiche
- L'operatore differenziale di Kolmogorov associato
- La PDE di Kolmogorov e la formula di Feynman-Kac
- Cenni sui mercati finanziari a tempo continuo
- La formula di Black e Scholes e il prezzaggio di opzioni europee
Programma esteso
Il moto browniano. Processi stocastici, spazio delle traiettorie, insiemi cilindrici, sigma-algebra prodotto. Legge di un processo stocastico e leggi finito-dimensionali. Vettori aleatori normali. Processi stocastici gaussiani. Definizione di moto browniano (MB). Costruzione del MB a partire dal Teorema di esistenza di Daniell-Kolmogorov e utilizzando il Teorema di continuità di Kolmogorov. Caratterizzazione del MB come processo gaussiano. Proprietà di invarianza del MB (riflessione spaziale, traslazione e riflessione temporale, riscalamento diffusivo, inversione temporale). MB rispetto a una filtrazione. Proprietà delle traiettorie del MB: non differenziabliltà. Variazione quadratica del MB. Legge del Logaritmo iterato. MB in dimensione d.
Processi di Lévy. Generalità sulle filtrazioni (F_t) indicizzate da un insieme continuo. Filtrazione naturale di un processo stocastico, processi adattati a una filtrazione. Continuità a destra e completezza per una filtrazione (definizione di F_t+), ampliamento standard. Processi di Lévy rispetto a una filtrazione. Esempi: processo di Poisson, processo di Poisson composto. Un processo di Lévy rispetto a una filtrazione (F_t) è indipendente da F_0. Legge 0-1 di Blumenthal. Tempi d’arresto e proprietà di Markov forte.
L’integrale di Ito. Modificazione e indistinguibilità per processi stocastici. Continuità e misurabilità per processi stocastici. La sigma algebra degli eventi antecedenti a un tempo d’arresto. Martingale a tempo continuo, esempi, modificazioni continue da destra, teorema d'arresto e disuguaglianza massimale. Processi progressivamente misurabili. L'integrale di Ito per i processi semplici. L’estensione a M^2 e a M^2_loc. Proprietà: località, esistenza della versione a traiettorie continue, proprietà di Martingala. Variazione quadratica. Somme di Riemann per l'integrale di Ito di processi a traiettorie continue. L'integrale di Wiener. Martingale locali.
La formula di Ito. La formula di Ito per il MB. Processi di Ito. Formula di Ito per processi di Ito generali. Applicazione della formula di Ito, Moto browniano geometrico e supermartingala esponenziale. La formula di Ito nel caso multidimensionale. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Il Teorema di Girsanov. Esempio: il processo di Ornstein-Ühlenbeck. Il Teorema di rappresentazione delle martingale browniane.
Equazioni differenziali stocastiche. Esistenza forte e debole, unicità pathwise e in legge. Il Teorema di Yamada-Watanabe. Esistenza forte e unicità pathwise sotto ipotesi Lipschitz. Proprietà di flusso. ll semigruppo di Kolmogorov. L'equazione alle derivate parziali di Kolmogorov. La formula di Feynamn-Kac.
Applicazione ai mercati finanziari. Sottostanti, opzioni call e put, loro valore (payoff) e significato. Prezzaggio di un'opzione mediante copertura (hedging). Modello di mercato finanziario a tempo continuo basato su un titolo non rischioso (bond) e d titoli rischiosi (stocks) guidati da d MB indipendenti. Misura martingala locale equivalente. Strategie di investimento autofinanzianti e strategie ammissibili. Teorema di assenza di arbitraggio. Prezzaggio e copertura di opzioni europee. Il modello di Black&Scholes (unidimensionale, con tasso d'interesse, drift e volatilità costanti). Formula esplicita per il prezzo delle opzioni call. Un modello di mercato finanziario Markoviano con drift e volatilità dipendenti dal tempo e del sottostante. Formula di rappresentazione per il prezzo delle opzioni Europee e per la strategia di copertura.
Prerequisiti
Calcolo delle probabilità con teoria della misura, processi stocastici a tempo discreto, proprietà di base degli spazi di Hilbert e degli spazi L^p.
Modalità didattica
28 lezioni da 2 ore svolte in modalità erogativa in presenza
Materiale didattico
Dispense del docente
Libro Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus di Jean-François Le Gall, Springer series Graduate Texts in Mathematics (Volume 274, 2016)
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame orale in cui viene valutata la conoscenza e la capacità dello studente di discutere criticamente le definizioni, gli enunciati, gli esempi e le dimostrazioni presentati durante il corso
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
The course aims at providing the student with the definitions and basic properties of the Brownian motion and the fundamental results of the theory of stochastic differential equations. Particular emphasis will be given on the interactions between stochastic differential equations and partial differential equations, and on the applications to the modeling of financial derivatives.
At the end of the course students will have acquired the following:
- knowledge: language, definitions and statements of the fundamental results about Brownian motion and stochastic differential equations;
- competence: operational understanding of the main proof techniques and of the main financial models to which the theory can be applied;
- skills: ability to apply theoretical notions to the analysis of problems and models.
Contents
- Introduction to stochastic processes in continuous time
- Levy processes and Brownian motion
- Ito stochastic integral
- Ito's formula
- Stochastic differential equations (SDEs)
- The associated Kolmogorov differential operator
- The Kolmogorov PDE and the Feynman-Kac formula
- Introduction to continuous time financial markets
- The Black and Scholes formula and the pricing of European options
Detailed program
Brownian motion. Stochastic processes, path space, cylinder sets, product sigma-algebra. Law of a process and finite-dimensional laws. Normal random vectors. Gaussian processes. Definition of Brownian motion (BM). Construction of BM from the Daniell-Kolmogorov existence theorem and the Kolmogorov continuity theorem. Characterization of BM as a Gaussian process. Invariance properties of BM (space reflection, time translation and reflection, diffusive rescaling, time inversion). BM with respect to a filtration. Path properties of BM: non differentiability. Quadratic variation of BM. Law of the iterated logarigthm. BM in higher dimension.
Lévy processes. Generalities on filtrations (F_t) in continuous time. Natural filtration of a stochastic process, adapted processes. Right continuity and completeness of a filtration (definition of F_t+), standard extension. Lévy processes with respect to a filtration. Examples: Poisson process, compounded Poisson process. A Lévy process with respect to a filtration (F_t) is independent of F_0. Blumenthal 0-1 law. Stopping times and strong Markov property.
The Ito integral. Modification and indistinguishability for stochastic processes. Continuity and measurability for stochastic processes. Sigma-algebra of events before a stopping time. Continuous-time martingales, examples, right-continuous modifications, stopping times and maximal inequality. Progressively measurable processes. Ito integral for simple processes. Extension to M^2 and M^2_loc. Properties: locality, existence of a version with continuous paths, martingale property. Quadratic variation. Riemann sums for the Ito integral of processes with continuous paths. Wiener integral. Local martingales.
The Ito formula. Ito formula for BM. Ito processes. Ito formula for general Ito processes. Applications of Ito formula, geometric BM, exponential super-martingale. Multi-dimensional Ito formula. Representation theorem for Brownian martingales.
Stochastic differential equations. Strong and weak existence, pathwise uniqueness and uniqneness in law. The Yamada-Watanaabe theorem. Strong existence and pathwise uniqueness under Lipschitz assumptions. Flow property. The Kolmogorov semigroup. The Kolmogorov partial differential equation. Feynman-Kac formula.
Application to financial markets. Financial assets, call and put options, payoff. Hedging of options. Continuous-time market model based on a non-risky asset (bond) and d risky assets (stocks).driven by d independent BMs. Equivalent local martingale measure. Self-financing investing strategies and admissible strategies. The theorem of absence of arbitrage. Pricing and hedging of European options. The Bkach&Scholes model (one dimensional with constant drift, volatility, interest rate). Explicit formula for the price of a European call option. A Markovian model of financial market with drift and volatility depending on an underling asset and on time. Representation formula for the price of European options and for hedging strategies.
Prerequisites
Measure-theoretic probability theory, stochastic processes in discrete time, basic properties of Hilbert spaces and L^p spaces.
Teaching form
28 x 2 hours of in-person, lecture-based teaching
Textbook and teaching resource
Lecture notes by the teacher
Book Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus by Jean-François Le Gall, Springer series Graduate Texts in Mathematics (Volume 274, 2016)
Semester
First (Fall) semester
Assessment method
Oral exam to assess the student knowledge and ability to critically discuss definitions, statemets, examples and proofs presented in the course
Office hours
By appointment
Sustainable Development Goals
Staff
-
Francesco Caravenna
