Il moto browniano. Processi stocastici, spazio delle traiettorie, insiemi cilindrici, sigma-algebra prodotto. Legge di un processo stocastico e leggi finito-dimensionali. Vettori aleatori normali. Processi stocastici gaussiani. Definizione di moto browniano (MB). Costruzione del MB a partire dal Teorema di esistenza di Daniell-Kolmogorov e utilizzando il Teorema di continuità di Kolmogorov. Caratterizzazione del MB come processo gaussiano. Proprietà di invarianza del MB (riflessione spaziale, traslazione e riflessione temporale, riscalamento diffusivo, inversione temporale). MB rispetto a una filtrazione. Proprietà delle traiettorie del MB: non differenziabliltà. Variazione quadratica del MB. Legge del Logaritmo iterato. MB in dimensione d.

Processi di Lévy. Generalità sulle filtrazioni (F_t) indicizzate da un insieme continuo. Filtrazione naturale di un processo stocastico, processi adattati a una filtrazione. Continuità a destra e completezza per una filtrazione (definizione di F_t+), ampliamento standard. Processi di Lévy rispetto a una filtrazione. Esempi: processo di Poisson, processo di Poisson composto. Un processo di Lévy rispetto a una filtrazione (F_t) è indipendente da F_0. Legge 0-1 di Blumenthal. Tempi d’arresto e proprietà di Markov forte.

L’integrale di Ito. Modificazione e indistinguibilità per processi stocastici. Continuità e misurabilità per processi stocastici. La sigma algebra degli eventi antecedenti a un tempo d’arresto. Martingale a tempo continuo, esempi, modificazioni continue da destra, teorema d'arresto e disuguaglianza massimale. Processi progressivamente misurabili. L'integrale di Ito per i processi semplici. L’estensione a M^2 e a M^2_loc. Proprietà: località, esistenza della versione a traiettorie continue, proprietà di Martingala. Variazione quadratica. Somme di Riemann per l'integrale di Ito di processi a traiettorie continue. L'integrale di Wiener. Martingale locali.

La formula di Ito. La formula di Ito per il MB. Processi di Ito. Formula di Ito per processi di Ito generali. Applicazione della formula di Ito, Moto browniano geometrico e supermartingala esponenziale. La formula di Ito nel caso multidimensionale. Funzioni armoniche e problema di Dirichlet. Il Teorema di Girsanov. Esempio: il processo di Ornstein-Ühlenbeck. Il Teorema di rappresentazione delle martingale browniane.

Equazioni differenziali stocastiche. Esistenza forte e debole, unicità pathwise e in legge. Il Teorema di Yamada-Watanabe. Esistenza forte e unicità pathwise sotto ipotesi Lipschitz. Proprietà di flusso. ll semigruppo di Kolmogorov. L'equazione alle derivate parziali di Kolmogorov. La formula di Feynamn-Kac.

Applicazione ai mercati finanziari. Sottostanti, opzioni call e put, loro valore (payoff) e significato. Prezzaggio di un'opzione mediante copertura (hedging). Modello di mercato finanziario a tempo continuo basato su un titolo non rischioso (bond) e d titoli rischiosi (stocks) guidati da d MB indipendenti. Misura martingala locale equivalente. Strategie di investimento autofinanzianti e strategie ammissibili. Teorema di assenza di arbitraggio. Prezzaggio e copertura di opzioni europee. Il modello di Black&Scholes (unidimensionale, con tasso d'interesse, drift e volatilità costanti). Formula esplicita per il prezzo delle opzioni call. Un modello di mercato finanziario Markoviano con drift e volatilità dipendenti dal tempo e del sottostante. Formula di rappresentazione per il prezzo delle opzioni Europee e per la strategia di copertura.