Syllabus del corso
Obiettivi
Il corso si propone di fornire gli strumenti matematici e di presentare l'apparato concettuale che servono a comprendere la formulazione del campo gravitazionale di Einstein. Gli stessi strumenti matematici verranno utilizzati nella seconda parte del corso per discutere alcuni aspetti geometrici della teoria dei sistemi integrabili.
I risultati di apprendimento attesi includono:
- La padronanza del calcolo tensoriale.
- La conoscenza dei concetti di base della teoria della relatività generale.
- La conoscenza dei concetti di base della teoria dei sistemi integrabili di tipo idrodinamico.
Contenuti sintetici
Richiami di relatività ristretta.
Calcolo tensoriale. Metriche, connessioni e curvatura
Elementi di relatività generale: Principio di equivalenza. Spazio tempo curvo. Equazioni di Einstein.
Sistemi di tipo idrodinamico. Parentesi di Poisson geometrico differenziali. Fasci di metriche piatte, strutture bihamiltoniane ed equazioni WDVV.
Programma esteso
- Metriche riemanniane e pseudo-riemanniane. Lo spazio-tempo di Minkowski. Trasformazioni di Lorentz.
- Breve richiamo di teoria delle superfici. Prima e seconda forma fondamentale. Teorema egregio di Gauss. Equazioni di Gauss Peterson Mainardi Codazzi. Varietà riemanniane e pseudo-riemanniane.
- Tensori: teoria algebrica. Operazioni algebriche sui tensori. Derivata di Lie di un tensore. Tensori su varietà riemanniane e pseudo-riemanniane. Processo di alzare e abbassare gli indici. Derivata covariante. Connessione di Levi-Civita. Trasporto parallelo e curvatura. Geodetiche e deviazione geodetica.
- Elementi di relatività generale: Principio di equivalenza. Spazio tempo curvo. Equazioni di Einstein.
- Sistemi di tipo idrodinamico. Invarianti di Riemann. Condizioni di integrabilità e metodo dell'odografo generalizzato.
- Parentesi di Poisson geometrico differenziali. Strutture bihamiltoniane e fasci di metriche piatte. Un esempio importante: lo spazio delle orbite di un gruppo di Coxeter e le soluzioni polinomiali delle equazioni di WDVV.
Prerequisiti
Sono necessarie le nozioni dei corsi di Analisi I e II, Algebra lineare e Geometria, Fisica I e II e Sistemi Dinamici e Meccanica Classica della laurea triennale. Possono essere utili anche se non sono necessarie quelle presentate nei corsi di Fisica Matematica (per la seconda parte del corso) e Geometria III (per la prima parte del corso) .
Modalità didattica
56 ore di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza (8 cfu).
Il corso è previsto in lingua italiana ma potrebbe essere tenuto in lingua inglese in presenza di studenti stranieri.
Materiale didattico
Capitoli scelti da:
- B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov, "Geometria contemporanea, voliume 1", Editori riuniti.
- R. d'Inverno, "Introduzione alla Relatività di Einstein", CLUEB.
- N.M.J. Woodhouse, "General Relativity", Springer Undergraduate Mathematics Series.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova orale, nella quale si richiede la conoscenza degli argomenti svolti a lezione e la capacità di illustrarne il contenuto mediante esempi significativi. Oltre alla conoscenza dei contenuti teorici del corso verrà valutata la capacità di presentarli in modo ben strutturato e chiaro. Uno degli argomenti della parte finale del corso (relatività generale o sistemi integrabili) potrà essere sostituito da una relazione scritta ed un seminario su un argomento concordato con il docente tra una lista di argomenti di approfondimento di relatività generale e sistemi integrabili. La durata complessiva dell'esame orale è di circa 90 minuti incluso l'eventuale seminario (di circa 45 minuti). Non vi saranno prove parziali durante lo svolgimento del corso.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
The course has the aim of presenting the mathematical tools and the conceptual ideas that are required to understand the formulation of Einstein's gravitational field. In the second part of the course the same mathematical tools will be used to discuss some geometric aspects of the modern theory of integrable systems.
The expected learning outcomes include:
- the mastering of tensor calculus.
- the knowledge of the basic concepts of the general relativity.
- the knowledge of the basic concepts of the theory of integrable systems of hydrodynamic type.
Contents
Recalls of special relativity.
Tensorial calculus. Metrics, connections and curvature.
Elements of general relativity: the equivalence principle. Curved space-time. Einstein's equations.
Systems of hydrodynamic type. Differential geometric Poisson brackets. Pencils of flat metrics, bihamiltonian structures and WDVV equations.
Detailed program
- Riemannian and pseudo-riemannian metrics. Minkowski space-time. Lorentz transformations.
- Recalls of the theory of surfaces. The first and the second fundamental forms. Gauss's egregium theorem. Gauss Peterson Mainardi Codazzi equations. Riemannian and pseudo-riemannian manifolds.
- Tensor fields : algebric theory. Algebraic operations on tensors. Lie derivative. Tensors in riemannian and pseudo-riemannian manifolds. Raising and lowering indices. Covariant derivative. Levi-Civita connection. Parallel transport and curvature. Geodesics and geodesic deviation.
- Elements of general relativity: the equivalence principle. Curved space-time. Einstein's equations.
- Systems of hydrodynamic type. Riemann invariants. Integrability conditions and generalized hodograph method.
- Differential geometric Poisson bracket. Bihamiltonian structures and flat pencils of metrics. An important exmple: the orbit space of a Coxeter group and the polynomial solutions of WDVV equations.
Prerequisites
The basic notions of Mathematical Analysis I and II, Linear algebra and Geometry, Physics I and II and Dynamical Systems and Classical Mechanics of Batchelor Degree are needed. The prior knowledge of the contents of the courses Mathematical Physics (for the second part of the course) and Geometry III (for the first part of the course) might be useful but it is not required.
Teaching form
56 hours of in-person, lecture-based teaching (8 ECTS)
The course is scheduled in Italian but could be held in English in the presence of foreign students.
Textbook and teaching resource
Selected chapters from:
- B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov, "Modern Geometry - Methods and Applications. Part I. The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields", Springer Graduate Texts in Mathematics
- R. d'Inverno, "Introducing Einstein's Relativity", Oxford University Press.
- N.M.J. Woodhouse, "General Relativity", Springer Undergraduate Mathematics Series.
Semester
First semester
Assessment method
Oral examination. During the oral exam the students will be asked to discuss some topics of the program and to illustrate their meaning with significant examples. The oral exam will evaluate the knowledge of the theoretical aspects of the course, as well as the ability to expose it in a well-organized and consistent way. One of the topics of the last part of the course (general relativity or integrable systems) can be replaced by a written report and a seminar on a subject in agreement with the lecturer among a list of topics of general relativity and integrable systems. The duration of the oral exam is approximately 90 minutes including the seminar. There will be no mid-term exams.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Paolo Lorenzoni
