Course Syllabus
Obiettivi
L’obiettivo del corso è lo studio di grafi particolari chiamati alberi e dei gruppi che vi agiscono. Questa teoria è stata sviluppata da Hyman Bass e Jean-Pierre Serre negli anni ‘70 ed è oggi una delle basi nello studio della teoria geometrica di gruppi, che si propone di recuperare proprietà di gruppi mediante la loro azione su certi spazi topologici. Tempo permettendo, vedremo qualche applicazione come le terminazioni (ends) di gruppi, la caratterizzazione dei sottogruppi di gruppi liberi tramite grafi di Stallings, la frontiera di un albero, ecc.
- conoscenze: linguaggio, definizioni ed enunciati dei risultati fondamentali della teoria di Bass-Serre;
- competenze: comprensione operativa delle principali tecniche dimostrative;
- abilità: capacità di applicare le nozioni teoriche per la risoluzione di esercizi (problem solving)
Il corso può essere tenuto in inglese o italiano. Per fini didattici e trasversali sarebbe preferibile la lingua inglese, ma comunque la lingua verrà discussa e decisa di persona nelle prime lezioni del corso.
Contenuti sintetici
- Nozioni di base di teoria dei grafi e alberi.
- Costruzione di grafi di Cayley a partire da gruppi.
- Costruzione di gruppi liberi, prodotti liberi e generalizzazioni.
- Caratterizzazione di gruppi che agiscano su alberi.
Programma esteso
- Grafi, cammini, connettività, alberi
- Azioni di gruppi su grafi, grafi di Cayley, grafi quoziente
- Gruppi liberi, lemma del diamante e del ping-pong
- Prodotti liberi e amalgamati, estensioni HNN e loro realizzazione tramite azioni su alberi
- Grafi di gruppi, gruppo fondamentale di un grafo di gruppi
- Teorema di caratterizzazione per gruppi che agiscono su alberi (teorema fondamentale della teoria di Bass-Serre)
- Teorema di Kurosh per sottogruppi di prodotti liberi
- Possibili argomenti più avanzati a fine corso (terminazioni di gruppi, grafi di Stallings, frontiera di un albero, ecc.)
Prerequisiti
Algebra I, Geometria I.
Modalità didattica
56 ore di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza (8 cfu)
Materiale didattico
- O. Bogopolski, Introduction to Group Theory, EMS Textbooks in Mathematics, 2008.
- J. Meier, Groups, Graphs and Trees, London Mathematical Society, Student Texts, 73, CUP, 2008.
- J-P. Serre, Trees, Springer-Verlag, Berlin, 1980.
- W. Dicks, M. Dunwoody. Groups acting on graphs. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 17. Cambridge University Press, Cambridge, 1989
- G. Baumslag, Topics in combinatorial group theory. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, 1993
Periodo di erogazione dell'insegnamento
1° semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
La prova finale d'esame consiste in un colloquio orale svolto in due parti:
(1) La prima parte è una presentazione di 20 minuti su un'applicazione, approfondimento o un tema relazionato della teoria di Bass-Serre concordato con il docente. La presentazione contribuisce 20% del voto finale.
(2) La seconda parte è discussione orale tramite domande su argomenti svolti a lezione contenuti del corso da cui si valuta le competenze acquisite dallo studente nello spiegare e applicare la teoria di Bass-Serre. La discussione su argomenti svolti contribuisce 80% del voto finale.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
The main goal of this course is the study of certain graphs called trees and of the groups acting on them. This theory was developed by Hyman Bass and Jean-Pierre Serre in the ‘70s and is now a building block in the study of Geometric Group Theory, which aims to recover group properties by observing how groups act on certain topological spaces. Time permitting, we will see some application of the theory, such as ends of groups, the characterization of subgroups of free groups via Stallings graphs, the boundary of a tree, etc.
- knowledge: learning the language, definitions and statements of the main results of Bass-Serre theory;
- expertise: concrete understanding of the main proof techniques;
- skills: ability to apply the theory to solve problems
The course can be taught in English or Italian. For teaching and additional purposes, the English language would be preferable, but in any case the language will be discussed and decided in person during the first classes of the course.
Contents
- Basics in graph theory and trees
- Construction of Cayley graphs from groups
- Construction of free groups, free products and generalizations
- Characterization of groups acting on trees
Detailed program
- Graphs, paths, connectivity, trees
- Group actions on graphs, Cayley graphs, quotient graphs
- Free groups, diamond and ping-pong lemmas
- Free products (with amalgamation) and HNN-extensions and their realizations through groups acting on trees
- Graph of groups; the fundamental group of a graph of groups
- Characterization theorem for groups acting on trees (the fundamental theorem of Bass-Serre theory)
- Kurosh theorem for subgroups of free products
- Possible additional advanced topics at the end of the course (ends of groups, Stallings graphs, boundary of a tree, etc.)
Prerequisites
Algebra I, Geometria I.
Teaching form
56 hours of in-person, lecture-based teaching (8 ECTS)
Textbook and teaching resource
- O. Bogopolski, Introduction to Group Theory, EMS Textbooks in Mathematics, 2008.
- J. Meier, Groups, Graphs and Trees, London Mathematical Society, Student Texts, 73, CUP, 2008.
- J-P. Serre, Trees, Springer-Verlag, Berlin, 1980.
- W. Dicks, M. Dunwoody. Groups acting on graphs. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 17. Cambridge University Press, Cambridge, 1989
- G. Baumslag, Topics in combinatorial group theory. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, 1993
Semester
1st semester
Assessment method
The final exam will consist of a conversation in two parts:
(1) The first part is given by a 20-minute presentation about an application of or a topic related to Bass-Serre theory previously agreed with the instructor. The talk will contribute 20% to the final grade
(2) The second part is an oral discussion through questions about the content covered during class time to assess the students’ acquired proficiency in explaining and applying Bass-Serre theory. The oral discussion exam will provide the remaining 80% of the final grade.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Francesco Matucci
