Il corso inizia con lo studio della deformazione e del moto di un corpo continuo attraverso l'introduzione delle nozioni di gradiente di deformazione e di gradiente di velocità. Questa parte del corso introduce ed utilizza metodi di “geometria differenziale nello spazio euclideo tridimensionale”.

I teoremi di trasporto di quantità scalari e vettoriali vengono discussi e dimostrati, come parte saliente della cinematica dei corpi continui.

Quindi si passa allo dinamica con lo studio delle azioni che si esercitano sui fluidi. Il centro del discorso è la teoria di Cauchy degli sforzi. Si trattano le equazioni di conservazione della massa, e di bilancio della quantità di moto, del momento angolare e dell'energia. Si discutono brevemente le nozioni di energia interna e di entropia.

Si passa alla caratterizzazione delle proprietà meccaniche (e termiche) dei fluidi mediante le equazioni costitutive e le equazioni di stato. Si considerano i modelli dei fludi comprimibili ed incomprimibili ed eventualmente viscosi.

Poi si studiano più approfonditamente le equazioni del moto, partendo dal modello di Eulero.

Si parte dallo studio di soluzioni statiche, per poi aprire un’ampia “pagina” dedicata alle equazioni di Eulero per i cosiddetti fluidi ideali, ed alle sue conseguenze ed applicazioni, come l’equazione di Bernoulli, le leggi di Helmholtz sull’evoluzione della vorticità e la conservazione della circolazione.

Si tratta poi la teoria dell'ala di Kutta-Joukowski.

Il corso prosegue con lo studio delle proprietà salienti dei fluidi viscosi, descritti dall’equazione di Navier Stokes.

Vengono introdotti e discussi i seguenti concetti:

• Il trasporto di quantità di moto tramite “azioni di taglio” e la non-conservazione dell’energia “meccanica” in Navier-Stokes.
• L'autosimilarità e il numero di Reynolds.
• Lo strato limite e le equazioni di Prandtl.

Si passa poi ad una parte più applicativa, dedicata alla teoria delle "water waves", che viene sviluppata secondo i seguenti punti (tempo permettendo):

• Onde di gravità in un fluido incomprimibile (onde di superficie).
• Onde di gravità in fluidi stratificati (onde interne negli oceani).
• Onde di gravità in presenza di tensione superficiale.
• Dinamica dei gas ed equazioni quasi-lineari: teoria delle caratteristiche e onde di shock.
• Onde di gravità di piccola ampiezza in acqua infinitamente profonda e l'equazione di Schrödinger non lineare.
• Equazioni dispersive in acqua "poco profonda" (shallow water): l'equazione di Korteweg - de Vries. I solitoni e le onde cnoidali.
• La formulazioni Hamiltoniana di KdV e le costanti del moto.