Course Syllabus
Obiettivi
L’obiettivo del corso è di fornire, sia dal punto di vista concettuale che da quello del calcolo,
gli strumenti matematici di base che sono essenziali per frequentare con successo un corso di studi
universitari in un’area scientifica. Il corso intende anche fornire i prerequisiti matematici richiesti per
gli altri corsi del piano di studi.
Alla fine del corso, gli studenti dovrebbero dimostrare di avere una conoscenza sufficiente della
matematica di base, che include le principali proprietà degli insiemi, dei principali insiemi numerici
(in particolare, dei numeri reali), delle funzioni tra insiemi, delle funzioni elementari e dei numeri
complessi. Inoltre, dovrebbero conoscere i risultati di base nella teoria del calcolo differenziale e
integrale per le funzioni di una variabile reale e le proprietà delle successioni e serie numeriche. Gli
studenti dovrebbero anche apprendere i risultati più importanti nella teoria delle equazioni differenziali
ordinarie e le principali tecniche di integrazione per equazioni lineari e per alcuni semplici tipi di
equazioni non lineari.
Infine, al termine del corso gli studenti dovranno essere in grado di applicare i risultati teorici
al fine di risolvere problemi ed esercizi elementari e in particolare dovranno essere in grado di affrontare
i seguenti tipi di problemi: calcolo dei limiti di successioni o funzioni, analisi della continuità di una
funzione, calcolo delle derivate, studio del grafico qualitativo di una funzione, calcolo del polinomio
e dello sviluppo di Taylor, studio del carattere delle successioni e delle serie numeriche, calcolo di
integrali definiti e indefiniti, risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali.
Contenuti sintetici
Insiemi numerici; numeri reali e complessi;
Concetti astratti di base sulle funzioni (dominio, iniettività, funzione inversa, composizione,
ecc.);
Funzioni elementari: funzioni potenza, funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmi, i loro
grafici e le loro proprietà di base;
Limiti di successioni numeriche e di funzioni di una variabile reale; continuità; principali pro-
prietà locali e globali delle funzioni continue;
Derivate; principali teoremi del calcolo differenziale in una variabile reale;
Applicazioni del calcolo differenziale; sviluppi di Taylor;
Integrali definiti e indefiniti; integrali impropri; tecniche di integrazione di base;
Serie numeriche; criteri di convergenza;
Equazioni differenziali ordinarie e principali formule di risoluzione.
Programma esteso
- L’insieme dei numeri reali. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Proprietà
elementari delle funzioni. Funzioni elementari. Numeri complessi. - Limiti delle successioni. Definizioni e prime proprietà. Successioni limitate. Operazioni con
limiti. Teoremi di confronto. Successioni monotone. Forme indeterminate. Limiti speciali. - Limiti di funzioni e funzioni continue. Definizione e prime proprietà dei limiti di funzioni e
delle funzioni continue. Tipi di discontinuità. Limiti e continuità della composizione di funzioni.
Alcuni importanti teoremi sulle proprietà locali e globali delle funzioni continue. - Derivate e studio delle funzioni. Definizione di derivata. Calcolo delle derivate. Teoremi di
Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy e loro conseguenze. Derivate di secondo ordine e di ordine
superiore. Funzioni monotone e convesse. Estremi e punti di flesso. Applicazioni allo studio
delle funzioni. Teorema di De L’Hôpital e formula di Taylor. - Integrazione. Integrali definiti e metodo di esaustione. Definizione di funzione integrabile; classe
delle funzioni integrabili. Proprietà degli integrali definiti. Integrali indefiniti. Teorema fondamentale
del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Integrazione per parti e per sostituzione.
Integrazione delle funzioni razionali. Integrali impropri e criteri di convergenza. - Serie numeriche. Definizione di serie numerica. Carattere di una serie. Serie armoniche e
geometriche. Criteri di convergenza per le serie numeriche. - Equazioni differenziali. Alcuni fatti teorici di base sulle equazioni differenziali ordinarie
(problema di Cauchy, soluzioni globali e locali, unicità, regolarità). Formule di integrazione per
equazioni lineari e per alcuni semplici tipi di equazioni non lineari.
Prerequisiti
Il corso richiederà la conoscenza delle nozioni matematiche generalmente sviluppate
nella scuola secondaria (d’altra parte, non è richiesta alcuna conoscenza pregressa di analisi matematica).
Prerequisiti essenziali possono essere considerati i seguenti: equazioni e disequazioni algebriche
di primo e secondo grado, geometria analitica planare, trigonometria, funzioni esponenziali e logaritmiche.
Gli studenti che avessero ereditato dalla scuola superiore lacune nella preparazione matematica
di base sono particolarmente invitati a seguire le lezioni di tutorato. Inoltre, possono usufruire del
pre-corso MOOC di Matematica offerto dall’Università di Pavia.
Modalità didattica
Il programma delle lezioni sarà organizzato in sette ore a settimana. Di
queste, quattro saranno offerte sotto forma di lezioni registrate (podcast), mentre le restanti tre
consisteranno in lezioni in presenza che si terranno presso il Dipartimento di Fisica dell’Università di
Pavia. All’inizio di ogni settimana, indicativamente 4 ore di podcast saranno pubblicate sul sito Kiro
del corso (e rimarranno disponibili per il resto dell’anno). Ulteriore materiale didattico (in particolare,
una serie di esercizi proposti) potrà essere pubblicato sempre con cadenza settimanale. Durante le
lezioni in presenza il docente svilupperà nozioni e spiegazioni aggiuntive che completeranno il materiale
contenuto nei podcast. Inoltre, saranno discussi in aula alcuni degli esercizi proposti.
Sarà infine offerto un programma di tutoraggio: gli insegnanti o i tutor saranno disponibili per
discutere gli esercizi, per rispondere a domande e chiarire dubbi. La partecipazione a questa attività
è fortemente incoraggiata.
Materiale didattico
Libro consigliato:
C. Canuto and A. Tabacco, Mathematical Analysis 1, Pearson, 2022,
disponibile anche in italiano:
C. Canuto and A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson, 2021.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L’esame consiste in una prova scritta obbligatoria, eventualmente integrata da una parte orale.
La prova scritta è a libri chiusi: non sono ammessi
appunti, libri, calcolatrici o strumenti simili, dispositivi dotati di macchina fotografica o in grado di
connettersi a Internet. In sede d’esame gli studenti sono tenuti a esibire un documento d’identità con
fotografia.
Nella prova scritta, gli studenti devono risolvere esercizi sugli argomenti del corso e rispondere
ad alcune domande di carattere teorico sul programma. Per alcuni degli esercizi o domande, saranno
richieste solo le soluzioni o le risposte, senza necessità di dettagliare il procedimento. Altri esercizi o
domande, invece, richiederanno una soluzione o una risposta completamente dettagliata. Per questo
tipo di esercizi, saranno valutati sia la correttezza della risposta che la sua giustificazione.
Il voto finale dell’esame di Calculus sarà ottenuto come media ponderata dei voti ottenuti
negli esami di Calculus I e Calculus II.
Orario di ricevimento
Su appuntamento. Si prega di contattare il docente unicamente via mail.
Sustainable Development Goals
Aims
The aim of the course is to provide, both from a conceptual and from a calculus point of view,
the basic mathematical tools which are essential to successfully attend a university undergraduate
program in a scientific area. The course should also provide the required mathematics prerequisites
for the other courses of the study plan.
At the end of the course, students should prove to have a sufficient knowledge of basic math-
ematics, which includes the main properties of sets, of the main numerical sets (real numbers in
particular), of functions between sets, of elementary functions and of complex numbers. Also, they
should know the basic results in the theory of differential and integral calculus for functions of one
real variable and of numerical sequences and series. Students should also learn the most important
results in the theory of ordinary differential equations and the main integration techniques for linear
equations and for some simple types of nonlinear ones.
Finally, at the end of the course students should be able to apply the theoretical results to solve
elementary problems and exercises and in particular they should be able to tackle the following kinds
of problems: computation of limits of sequences or functions, analysis of the continuity of a function,
computation of derivates, study of the qualitative graph of a function, computation of the Taylor
polynomial and expansion, study of the character of numerical sequences and series, computation of
definite and indefinite integrals, resolution of some types of differential equations.
Contents
Numerical sets; real and complex numbers;
Basic abstract concepts about functions (domain, injectivity, inverse function, composition, etc.);
Elementary functions: power functions, trigonometric functions, exponentials, logarithms, their
graphs and their basic properties;
Limits of numerical sequences and of functions of one real variable; continuity; main local and
global properties of continuous functions;
Derivatives; main theorems of differential calculus in one real variable;
Applications of differential calculus; Taylor expansions;
Definite and indefinite integrals; improper integrals; basic integration techniques;
Numerical series; convergence criteria;
Ordinary differential equations and basic resolution formulas.
Detailed program
- The set of real numbers. Maximum, minimum, supremum, infimum. Elementary properties of
functions. Elementary functions. Complex numbers. - Limits of sequences. Definitions and first properties. Bounded sequences. Operations with
limits. Comparison theorems. Monotone sequences. Undetermined forms. Special limits. - Limits of functions and continuous functions. Definition and first properties of limits of functions
and of continuous functions. Types of discontinuities. Limits and continuity of the composition
of functions. Some important theorems about local and global properties of continuous functions. - Derivatives and study of functions. Definition of derivatives. Computation of derivatives. Theorems
- of Fermat, Rolle, Lagrange and Cauchy and their consequences. Second and higher order
derivatives. Monotone and convex functions. Extrema and inflection points. Applications to
the study of functions. De L’Hôpital’s theorem and Taylor’s formula. - Integration. Definite integrals and method of exhaustion. Definition of integrable functions
and classes of integrable functions. Properties of the definite integrals. Indefinite integrals.
Fundamental theorem of integral calculus. Integration methods. Integration by parts and by
substitution. Integration of rational functions. Improper integrals and convergence criteria. - Numerical series. Definition of numerical series and of their character. Harmonic and geometric
series. Convergence criteria for series. - Differential equations. Some theoretical facts about ordinary differential equations (Cauchy’s
problem, global and local solutions, uniqueness, regularity). Integration formulas for linear
equations and for some simple types of nonlinear equations.
Prerequisites
The course will require the knowledge of the mathematical notions generally devel-
oped in the secondary school (on the other hand, no previous knowledge of mathematical analysis
is necessary). Essential prerequisites can be considered the following ones: algebraic equations and
inequalities of the first and second degree, planar analytic geometry, trigonometry, exponential and
logarithmic functions. The students who experience some lack of basic mathematical notions from the
high school are especially invited to follow the tutoring classes. Moreover, they can take advantage of
the MOOC Mathematics pre-course offered by the University of Pavia.
Teaching form
The class schedule will be organized into seven hours per week. Of these, four
will be offered in the form of recorded lectures (podcasts), while the remaining three will consist of
in-person lectures taking place at the Department of Physics of Pavia University. At the beginning of
every week, indicatively 4 hours of podcasts will be published on the Kiro website of the course (and
they will remain available for the rest of the year). Some additional material (in particular, a number
of proposed exercises) may be also published weekly. During the in-person classes the teacher will
develop additional notions and explanations complementing the material contained in the podcasts.
Moreover, some of the proposed exercises will also be discussed.
A tutoring program will also be offered: the teachers or tutors will be available to discuss
exercises, to answer questions, and to clarify doubts. Participation to this activity is strongly encouraged.
Textbook and teaching resource
Suggested textbook:
C. Canuto and A. Tabacco, Mathematical Analysis 1, Pearson, 2022,
also available in Italian:
C. Canuto and A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson, 2021.
Semester
First semester
Assessment method
The exam consists of a compulsory written test, possibly complemented by
an oral part. The written test is a closed books test: notes, books, calculators or similar instruments,
items with a photocamera or able to connect to the internet are not allowed. Students are required
to provide an ID card with a photograph.
In the written test, students should solve some exercises on the topics of the course and answer
some questions of theoretical character on the program of the course. For some of the exercises or
questions, only the solutions or the answers will be required, without any detailed explanation. Other
exercises or questions will require a fully detailed solution or answer. For these exercises, both the
correctness of the answer and the justification of it are evaluated.
The final mark of the Calculus exam will be obtained as a weighted average of the grades
obtained in the exams of Calculus I and Calculus II.
Office hours
By appointment. Please contact the teacher by email only.
