Course Syllabus
Obiettivi
L'obiettivo principale di questo corso è di fornire la seconda parte di un corso di Calcolo. Il programma comprende gli strumenti necessari per frequentare con successo i corsi di Scienze fisiche. Oltre a comprendere la teoria, gli studenti dovrebbero essere in grado d illustrarla attraverso esempi significativi e di risolvere esercizi di difficoltà adeguata.
In particolare:
- Conoscenza e capacità di comprensione
Al termine del corso, lo studente avrà acquisito una comprensione solida del calcolo differenziale e integrale in due o più variabili. Avrà chiaro il significato di concetti come gradiente, differenziale totale, matrice Hessiana, integrali di linea e di superficie, i teoremi di Gauss (divergenza) e di Stokes nel contesto dei campi vettoriali. - Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Lo studente sarà in grado di calcolare derivate parziali, gradienti, divergenze e rotori di funzioni e campi vettoriali in due o tre dimensioni, nonché calcolare estremali di funzioni di più variabili e determinarne la natura. Saprà inoltre valutare integrali multipli, in coordinate cartesiane e curvilinee, e applicare i principali teoremi del calcolo vettoriale per risolvere problemi fisici (es. flussi, circolazione, lavoro). - Autonomia di giudizio
Lo studente svilupperà la capacità di individuare gli strumenti matematici più adatti per affrontare specifici problemi di calcolo in più variabili, e sarà in grado di valutare la correttezza delle ipotesi e delle approssimazioni utilizzate. - Abilità comunicative
Lo studente saprà esprimere con chiarezza i procedimenti matematici, sia in forma scritta che orale. Sarà in grado di spiegare i passaggi logici seguiti nello svolgimento di un esercizio o di una dimostrazione, e di interpretare i risultati matematici in termini fisici. - Capacità di apprendimento
Lo studente svilupperà l’autonomia nello studio di nuovi concetti matematici e nella loro applicazione in contesti scientifici diversi. Il corso fornirà le basi necessarie per affrontare con successo insegnamenti successivi in fisica e matematica.
Contenuti sintetici
a) Richiami di Algebra lineare
b) Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
c) Calcolo integrale per funzioni di più variabili
d) Analisi vettoriale: teoremi di Stokes e Gauss nel piano e nello spazio.
Programma esteso
a) Richiami di Algebra Lineare: Vettori e geometria nello spazio euclideo. Rette e
piani. Matrici. Determinanti. Forme quadratiche.
b) Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: Limiti e continuità. Derivate parziali.
Differenziabilità, piano tangente e approssimazioni lineari. Derivate direzionali e
gradiente. Curve regolari. La regola della catena. Superfici e curve di livello.
Formula di Taylor. Massimi, minimi e punti di sella. Vincoli e moltiplicatori di
Lagrange. Il teorema della funzione implicita.
c) Calcolo integrale per funzioni di più variabili: Integrali multipli. Integrali iterati.
Cambiamento di variabili in integrali multipli.
d) Analisi vettoriale. Lunghezza di una curva e integrali su una linea. Campi vettoriali e
integrali di 1-forme. Area di una superficie e integrali di superficie. Integrali di flusso.
Campi vettoriali conservativi. Rotore e divergenza di un campo vettoriale. Campi
vettoriali solenoidali. Teoremi di Stokes e Gauss.
Prerequisiti
Le nozioni del corso di algebra lineare. Le nozioni del primo modulo del corso di Calculus.
Modalità didattica
- Lezioni (4 CFU) tramite didattica espositiva, interamente erogate in modalità asincrona a
distanza. Agli studenti saranno fornite registrazioni di lezioni in cui il docente presenterà
materiale teorico e presenterà tecniche di risoluzione dei problemi. Ove possibile, i
concetti matematici saranno introdotti tramite esempi tratti dalla fisica e/o da altre
discipline naturali. - Esercitazioni (2 CFU) tramite didattica mista espositiva e interattiva, in parte erogate in
presenza e in parte in modalità sincrona a distanza. Nelle sessioni espositive, gli studenti
frequenteranno lezioni in cui l'struttore applicherà l'apparato teorico esposto nelle lezioni
per risolvere problemi istruttivi. Il corso incorporerà anche metodi di insegnamento
interattivi. Ciò comporterà attività di gruppo, discussioni e sessioni pratiche di risoluzione
dei problemi per migliorare la comprensione e promuovere la partecipazione attiva.
Le registrazioni video di lezioni e esercitazioni saranno disponibili online.
Materiale didattico
Libro consigliato (disponibile anche in formato e-book presso la biblioteca universitaria):
C. Canuto e A. Tabacco, Mathematical Analysis 2, Springer Unitext, 2023. (Disponibile
anche in Italiano, C. Canuto e A. Tabacco, Analisi Matematica 2, Springer Unitext, 2023.
Alcuni argomenti verranno complementati da note del docente che verranno postate sulla
pagina e-learning del corso.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una parte scritta (obbligatoria) e una orale (facoltativa).
La prova scritta è un test a libri chiusi. In questa prova, gli studenti dovranno risolvere
alcuni esercizi sugli argomenti del corso e rispondere ad alcune domande di carattere
teorico sul programma del corso. Sia la correttezza delle risposte agli esercizi e alle
domande che la loro giustificazione concorreranno alla valutazione e quindi al voto finale.
La parte orale facoltativa riguarderà principalmente gli aspetti teorici del corso.
Il voto finale dell'esame di Calcolo sarà la media ponderata dei voti ottenuti negli esami di
Calcolo I e Calcolo II.
Orario di ricevimento
Incontri con singoli studenti o piccoli gruppi di essi da concordarsi via e-mail o tramite la
pagina e-learning. Gli incontri potranno essere tenuti sia da remoto che in presenza.
Sustainable Development Goals
Aims
The main aim of this course is to provide the second part of a Calculus course. The program covers necessary tools to successfully attend courses in Physical Sciences. In addition to understanding the theory, students should be able to illustrate it through meaningful examples and to solve suitable exercises.
Specifically:
- Knowledge and understanding
By the end of the course, the student will have acquired a solid understanding of differential and integral calculus in two or more variables. They will understand the geometric and physical meaning of concepts such as gradients, differentials, Hessian matrix, line and surface integrals, and the theorems of Gauss (Divergence) and Stokes, within the context of vector fields. - Applying knowledge and understanding
The student will be able to compute partial derivatives, gradients, divergences, and curls of functions and fields in two or three dimensions. They will know how to find extrema of functions of more than one variable, and determine their nature. They will know how to evaluate multiple integrals, both in Cartesian and other coordinate systems, and apply the fundamental theorems of vector calculus to solve problems relevant to physics and engineering (e.g., fluxes, circulation, work). - Making judgements
The student will develop the ability to recognize which mathematical tools are appropriate for solving specific problems in multivariable calculus, and to assess the validity of assumptions and approximations involved in their application. - Communication skills
The student will be able to express mathematical reasoning with clarity and precision, both in written form and orally. They will be capable of explaining the logical steps behind a calculation or proof, and of interpreting mathematical results in physical terms. - Learning skills
The student will develop the ability to learn new mathematical concepts independently and to apply them in different scientific contexts. The course will provide the foundations necessary for subsequent more advanced study in physics and mathematics.
Contents
a) Linear algebra: a reminder
b) Differential calculus for functions of several variables
c) Integral calculus for functions of several variables
d) Vector analysis: Stokes and Gauss theorems in the 2- plane and the 3-space.
Detailed program
a) Reminder of Linear Algebra. Vectors and geometry in the Euclidean space. Lines
and planes. Matrices. Determinants. Quadratic forms.
b) Differential calculus for functions of several variables. Limits and continuity. Partial
derivatives. Differentiability, tangent planes, and linear approximations. Directional
derivatives and gradient. Regular curves. The chain rule. Surfaces and level curves.
Taylor’s formula. Maxima, minima, and saddle points. Constraints and Lagrange
multipliers. The implicit function theorem.
c) Integral calculus for functions of several variables. Multiple integrals. Iterated
integrals. Change of variables in multiple integrals.
d) Vector Analysis. Length of a curve and integrals on a line. Vector fields and path
integrals. Surface area and surface integrals. Flux integrals. Conservative vector
fields. Curl and divergence of a vector field. Solenoidal vector fields. Stokes and
Gauss theorems.
Prerequisites
The notions of the Course in Linear Algebra. The notions of the Course Calculus - part I.
Teaching form
- Lectures (4 CFU) via expository teaching, fully given in remote asynchronous mode.
Students will be provided with recordings of lectures where the instructor will present
theoretical material and discuss problem-solving techniques. Whenever possible,
mathematical concepts will be introduced via examples coming from Physics and/or other
natural disciplines. - Classes (2 CFU) via mixed expository and interactive teaching, partly given in presence
and partly in remote synchronous mode. In expository sessions, students will attend
expository-type classes where the instructor will apply the theoretical apparatus exposed
in the lectures to solve problems. The course will also incorporate interactive teaching
methods. This will involve group activities, discussions, and hands-on problem-solving
sessions to enhance understanding and foster active participation.
Video recordings of lectures and classes will be available online.
Textbook and teaching resource
Suggested book (also available in e-book format through the university library):
C. Canuto and A. Tabacco, Mathematical Analysis 2, Springer Unitext, 2023.
Pat of the program willbe also covered by notes of the lecturer, to be posted on the e-learning page of the Course.
Semester
Second Semester
Assessment method
The exam consists of a written part (mandatory) and of an oral one (optional).
The written test is a closed books test. In this test, students will solve some exercises on the
topics of the course and answer some questions of theoretical character on the program of the
course. Both the correctness of the answers to exercises and questions and their justification
will concur to the assessment and thus the final mark.
The optional oral part will mainly concern the theoretical aspects of the course.
The final mark of the Calculus exam will be obtained as a weighted average of the grades
obtained in the exams of Calculus I and Calculus II.
Office hours
Meetings with individual students or small groups thereof are to be agreed via e-mail or the e-
learning page. The meetings can be held either remotely or in presence.
