Syllabus del corso
Obiettivi
(1) Conoscenza e capacità di comprensione: gli studenti acquisiranno una solida conoscenza dei concetti di base della teoria di Galois, con particolare riferimento allo studio di estensioni algebriche, e alla teoria di gruppi, allo studio di estensioni ciclotomiche, e ai costruzioni con riga e compasso. Lo sviluppo di tali conoscenze si basa su una comprensione teorica rigorosa che include anche congetti fondamentali della matematica, e.g., il Lemma di Zorn, affiancata da esempi e applicazioni concrete.
(2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione: gli studenti saranno in grado di applicare le nozioni apprese per risolvere problemi algebrici e geometrici concreti usando i risultati principali della teoria di Galois. Saranno proposte attività per imparare l’uso di tecnici algebrici e geometrici elementari.
(3) Autonomia di giudizio: l'insegnamento intende stimolare e sviluppare la capacità dello studente di analizzare criticamente enunciati e dimostrazioni; viene posta l’enfasi sulla capacità di riconoscere la situazione in quale risultati particolari sono applicabili e spiegare la motivazione di diversi definizioni e congetti.
(4) Abilità comunicative: gli studenti saranno in grado di spiegare e discutere oralmente i concetti e nozioni principali della teoria di Galois in modo chiaro e rigoroso usando il linguaggio matematico formale; comprende anche dimostrazoni dei risultati principali e degli applicazioni principali della teoria di Galois.
(5) Capacità di apprendimento: l'insegnamento intende fornire agli studenti gli strumenti per proseguire lo studio dell’algebra a livelli più avanzati, affrontare nuovi argomenti e problemi con metodo e rigore, facendo uso delle conoscenze pregresse, utilizzare fonti diverse (libri di testo, appunti, ...) per approfondire e aggiornare le proprie competenze.
Contenuti sintetici
La teoria dell'estenzioni algebrici di campi e la teoria di Galois.
Programma esteso
La chiusura algebrica di un campo,
estensioni normali e separabili,
il teorema dell'elemento primitivo di
estensioni finiti separabili.
Il teorema fundamentale della teoria di Galois,
estensioni ciclotomiche
Gruppi finiti, gruppi risolubili,
equazioni polinomiali di grado almeno 5 non sono
risolubili in generale,
Il campo dei elementi costruibili con compasso e riga,
C è algebricamente chiuso
Prerequisiti
Conoscenze richieste: I contenuti dei corsi Algebra lineare e Geometria, Algebra I e Algebra II.
Modalità didattica
48 ore di lezioni in italiano in modalità erogativa, 6 cfu.
in ore: 48 ore di lezioni.
Materiale didattico
N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman & Co, 1985.
Ulteriori testi di riferimento:
S. Bosch, Algebra, Springer-Verlag, 2003.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
1° semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Modalità d'esame: esame orale (ca. 20 minuti) su i contenuti del corso.
Oggetto delle domande degli esami sono definizioni, esempi e contraesempi, enunciati e applicazioni di teoremi e le loro dimostrazioni.
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
(1) Knowledge and capabilities of comprehension: The students will acquire a solid knowledge of the main concepts, results and applications in Galois theory. Special interest concerns the study of algebraic field extensions, elementary finite group theory, the existence and uniqueness of the algebraic closure of a field, properties like normality and separability, the Main Theorem in Galois theory and an intensive discussion of cyclotomic field extensions. This will result in several remarkable applications resolving notable problems in classical elementary geometry. Theoretical knowledge acquisition will proceed with mathematical rigor and will be supported by concrete examples, applications, questions and open problems. For the convenience of the student the lecture will also include a short discussion of the basic “axiomatic” of modern mathematics (Zorn’s lemma and ZFC) supported by basic examples and concrete applications.
(2) Capabiliities of applying knowledge and comprehension: The student will be able to apply the principle notions and results in Galois theory to concrete mathematical problems. The student will be offered activities in order to improve algebraic and elementary geometric techniques.
(3) Independence of judgement: The lecture intends to stimulate and develop the capability of the student to analyze critically mathematical assertions and proofs. Special emphasis is laid on the capability to discover the situation in which a special result can be applied and to explain the motivation to introduce certain notions and concepts.
(4) Communication skills: The student will be able to explain and discuss orally the principle notions and results in Galois theory in a coherent and rigorous manner using the scientific mathematical language. This will also include proofs of the main results in Galois theory as well as the principle applications.
(5) Learning capabilities: The lecture will offer the student the means for proceeding the study of Algebra on a higher level facing new arguments and problems sistematically and with rigor making use of the progressing knowledge. The usual resources (notes, handouts and books ..) will be used for increasing and developing the student’s competences.
Contents
The theory of algebraic field extensions and Galois theory
Detailed program
The algebraic closure of a field,
normal and separable extensions of fields,
the existence of primitive elements in finite separable field extensions,
The fundamental theorem in Galois theory,
cyclotomic extensions,
Finite and solvable groups,
polynomial equations of degree at least 5 are in general
not solvable,
the field of elements in C constructable by compass and ruler,
the field of complex numbers is algebraically closed.
Prerequisites
Prerequisites: The contents of the courses Linear algebra and Geometry, Algebra I and Algebra II.
Teaching form
The lectures will be delivered in presense in a lecture hall in Italian.
6 credits (ECTS) of lecturing.
In hours: 48 hours of lecturing.
Textbook and teaching resource
N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman & Co, 1985.
Additional References:
S. Bosch, Algebra, Springer-Verlag, 2003.
Semester
1ˢᵗ semester
Assessment method
Examination: oral examination of ca. 20 minutes on the content of the course.
The questions will concern definitions, examples, counterexamples, exposition and application of Theorems as well as their proofs.
Office hours
On appointment
Sustainable Development Goals
Staff
-
Thomas Stefan Weigel
