Syllabus del corso
Obiettivi
Il corso si propone di mostrare come fenomeni fisici di primaria importanza siano descritti tramite equazioni differenziali alle derivate parziali, di insegnarne i metodi di soluzione e le proprietà delle stesse.
In termini dei descrittori di Dublino, gli obiettivi sono:
1 (Conoscenza e capacità di comprensione) Lo studente acquisirà la conoscenza di quali siano le proprietà fondamentali delle soluzioni delle equazioni delle onde, del calore e di Laplace, oltre alla nozione di distribuzione.
2 (Conoscenza e capacità di comprensione applicate) Lo studente sarà in grado di applicare i metodi appresi alla risoluzione di problemi di interesse fisico-matematico e a relative semplici applicazioni, acquisendo padronanza delle tecniche di soluzione e dei differenti comportamenti qualitativi delle soluzioni.
3 (Autonomia di giudizio) Una particolare attenzione è rivolta ad assicurarsi che lo studente apprenda a interpretare le proprietà qualitative delle soluzioni dei problemi proposti e sia in grado di discernere in autonomia se costituiscano una rappresentazione plausibile del fenomeno descritto.
4 (Abilità comunicative) Lo studente dovrà essere in grado di descrivere con chiarezza e rigore i concetti fondamentali, utilizzando il linguaggio matematico in maniera corretta.
5 (Capacità di apprendere) Lo studente arriverà ad essere capace di estendere le analisi in autonomia, facendo ricorso a testi scientifici adeguati, a differenti fenomeni fisici, tramite equazioni alle derivate parziali, con il rigore proprio della fisica matematica.
Contenuti sintetici
Introduzione alle classiche equazioni a derivate parziali della fisica matematica e ai modelli fisici da esse rappresentati: equazione delle onde, equazione del calore, equazione di Laplace. Soluzioni deboli e distribuzionii.
Programma esteso
- Introduzione alle equazioni alle derivate parziali: equazioni di Maxwell, equazione del trasporto ed equazione di Eulero.
- Equazione del trasporto: soluzione del problema ai dati iniziali e metodo delle caratteristiche.
- Equazione delle onde: deduzione dal modello di corda vibrante e dalla catena di oscillatori armonici, soluzioni in 1 dimensione, caratteristiche e cono causale, invarianza di Lorentz, effetti di sorgenti e condizioni al contorno, buona positura, dipendenza dalla dimensione dello spazio, principio di Huygens e soluzione di Kirchhoff, potenziali di Liénard-Wiechert.
- Equazione del calore: giustificazione fisica, soluzioni autosimilari, soluzione fondamentale e soluzione del problema ai dati iniziali, principio del massimo debole, effetti di sorgenti e condizioni al contorno, buona positura.
- Soluzioni in domini limitati dell'equazione delle onde e del calore, operatori simmetrici e dipendenza dalle condizioni al contorno.
- Confronto tra equazione delle onde e del calore, relazione di dispersione.
- Equazione di Laplace: soluzioni radiali, identità di Green, proprietà delle funzioni armoniche, principio di Dirichlet, condizioni al bordo e condizioni di compatibilità.
- Equazione di Poisson: formula di rappresentazione e soluzione generale, funzioni di Green, metodo delle cariche immagine.
- Distribuzioni: definizione e proprietà fondamentali, delta di Dirac e funzioni di Green, soluzioni deboli, calcolo di propagatori.
Prerequisiti
Fondamenti dell’analisi classica (I & II). Elementi della geometria degli spazi euclidei finito dimensionali. Fondamenti di Fisica (I &II).
Modalità didattica
48 ore (6 CFU) di lezione svolte in modalità erogativa, in cui la spiegazione è complementata da esempi ed esercizi. Le lezioni si tengono in lingua italiana, in presenza.
Materiale didattico
Testo di riferimento:
W. Strauss Partial differential equations, Wiley&Sons
Saranno fornite anche alcune note dal docente. Ulteriori testi consigliati:
S.Salsa Partial differential equations in action, Springer
L.C. Evans, Partial differential equations, AMS
G. B. Whitham, Linear and nonlinear waves, Wiley&Sons
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame è individuale e consiste di due parti, una scritta ed una orale. Nello scritto si valuta la capacità di risolvere problemi ed esercizi di tipo analogo a quelli presentati in classe, nell'orale si valuta la comprensione dei concetti matematici e la loro derivazione, con la richiesta di enunciati e dimostrazioni di teoremi, esempi importanti e deduzioni di equazioni da problemi fisici.
Orario di ricevimento
Su appuntamento tramite email.
Ufficio: 3022, Università di Milano-Bicocca, Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Via Roberto Cozzi 55 - 20125 Milano
Edificio U5-Ratio.
Email: alberto.maiocchi@unimib.it
Sustainable Development Goals
Aims
The course aims at showing how physical phenomena of paramount importance are described through partial differential equations, at teaching the methods for finding solutions and the study of the properties of such solutions.
In terms of Dublin descriptors, the aims are:
1 (Knowledge and understanding) The student will gain knowledge of the fundamental properties of the solutions of the wave equation, the heat equation and Laplace equation, as well as the notion of distribution.
2 (Applying knowledge and understanding) The student will be able to apply the methods studied to the dolution of problems of interest for mathematical physics and related, simple applications. He will acquire familiarity with the techniques of solution and with the different qualitative behaviors of the solutions.
3 (Making judgements) Attention is paid, in particular, to be sure that the student learns to read the qualitative properties of the solutoons of the proposed problems and is able to understand on his own whether they provide a plausible representation for the described phenomenon.
4 (Communication skills) The student must be able to present the fundamental concepts of the course clearly and rigorously, using correct mathematical language.
5 (Learning skills) The student will become able to pursue further studies on his own, making use of suitable scientific text, in order to tackle different physical phenomena through partial differential equations, with the degree of rigor, typical of mathematical physics.
Contents
Introduction to classical partial differential equations of mathematical physics and to the related models: wave equation, heat equation, Laplace equation. Weak solutions and distributions.
Detailed program
- Introduction to partial differential equations: Maxwell equations, continuity equation and Euler equation.
- Continuity equation: initial value problem solution and method of characteristics.
- Wave equation: deduction from the model of vibrating string and of chain of harmonic oscillators, 1-dimensional solutions, characteristics and causal cone, Lorentz invariance, effects of sources and boundary conditions, well posedness, dependence on the dimension of the space, Huygens principle and Kirchhoff solution, Liénard-Wiecher potentials.
- Heat equation: physical meaning, self-similar solutions, fundamental solutions and initial value problem solution, weak maximum principles, effects of sources and boundary conditions, well posedness.
- Solutions in bounded intervals of heat and wave equations, symmetric operators and dependence on boundary conditions.
- Comparison between heat and wave equations, dispersion relations.
- Laplace equation: radial solutions, Green identities, properties of harmonic functions, Dirichlet principle, boundary conditions and compatibility conditions.
- Poisson equation: representation formula and general solution, Green functions, method of image charges.
- Distributions: definition and fundamental properties, Dirac delta and Green functions, weak solutions, computation of propagators.
Prerequisites
Elements of classical Analysis (I & II). Elements of finite dimensional Euclidean geometry. Elements of Physics (I & II)-
Teaching form
48 hours (6 ETCS) of lecture-based, in-person, teaching. The theoretical part is integrated by examples and exercises. Lectures will be delivered in italian.
Textbook and teaching resource
-Textbook:
W. Strauss Partial differential equations, Wiley&Sons
Some lecture notes will be also provided. Further suggested readings:
S.Salsa, Partial differential equations in action, Springer
L.C. Evans, Partial differential equations, AMS
G. B. Whitham, Linear and nonlinear waves, Wiley&Sons
Semester
Second
Assessment method
The exam is individual and is divided in a written and an oral part. In the written exam the proficiency in solving exercises and problems similar to those discussed in the lectures is evaluated. The oral exam is focused on assessing the understanding of the mathematical concepts and their derivation, by asking the statements and the proofs of theorems, relevant examples and deductions of equations from physical examples.
Office hours
By email appointment.
Office: 3022, University of Milan-Bicocca, Department of Mathematics and Applications, Via Roberto Cozzi 55 - 20125 MILANO
Building U5-Ratio
Email: alberto.maiocchi@unimib.it
Sustainable Development Goals
Staff
-
Alberto Mario Maiocchi
