Syllabus del corso
Obiettivi
Obiettivi formativi (Descrittori di Dublino)
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Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente acquisirà una conoscenza chiara e sistematica dei principali concetti dell’analisi complessa in una variabile: funzioni olomorfe, teorema di Cauchy e sue applicazioni, singolarità isolate e zeri, mappe conformi, funzioni armoniche, serie di potenze e prodotti infiniti, funzione Gamma e funzione Zeta. -
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente sarà in grado di applicare i metodi appresi alla risoluzione di esercizi e problemi, anche in contesti applicativi semplici, mostrando padronanza delle tecniche di calcolo e comprensione delle strutture matematiche di base. -
Autonomia di giudizio
Lo studente svilupperà la capacità di comprendere e valutare criticamente definizioni, enunciati e dimostrazioni, riconoscendo gli strumenti concettuali più adatti per l’analisi e la risoluzione dei problemi proposti. -
Abilità comunicative
Lo studente saprà esporre i concetti fondamentali del corso con chiarezza e rigore, utilizzando correttamente il linguaggio matematico. -
Capacità di apprendimento
Lo studente svilupperà le competenze necessarie per proseguire in autonomia lo studio dell’analisi complessa e delle discipline affini, con capacità di consultazione di testi scientifici e risorse didattiche adeguate.
Contenuti sintetici
Si tratta di un corso di base sulle funzioni di una variabile complessa. Contiene, tra l'altro, nozioni di base relative alle funzioni olomorfe e alle mappe conformi, al teorema di Cauchy e alle sue applicazioni, alla teoria delle singolarità isolate e degli zeri di funzioni olomorfe. Conclude il corso una introduzioni ad alcune importanti
funzioni speciali.
Programma esteso
Parte 1. Preliminari. Funzioni olomorfe: definizione ed esempi. Funzioni intere. Condizioni di Cauchy–Riemann. Funzioni armoniche. Serie di potenze. Formula di Hadamard per il raggio di convergenza di una serie di potenze. Serie di McLaurin per le principali funzioni elementari. Integrazione lungo curve. Curve parametriche, curve parametriche regolari a pezzi. Orientazione. Integrazione lungo curve e sue proprietà.
Parte 2. Il teorema di Cauchy e applicazioni. Il lemma di Goursat. Esistenza di primitive locali e il teorema di Cauchy per un disco. Esistenza di primitive di una funzione olomorfa in un disco. Teorema di Cauchy in un disco. Calcolo di alcuni integrali. Esempi di calcolo di integrali utilizzando il teorema di Cauchy. Formula integrale di Cauchy. Teorema del massimo modulo e Lemma di Schwarz. Disuguaglianze di Cauchy. Le funzioni olomorfe sono localmente somma di serie di potenze. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra. Principio di identità delle funzioni olomorfe e prolungamento analitico. Ulteriori applicazioni. Il teorema di Morera. Convergenza uniforme sui compatti di successioni di funzioni olomorfe. Funzioni olomorfe definite mediante integrali. Il principio di simmetria e il principio di riflessione di Schwarz. Il problema dell’approssimazione mediante polinomi e il teorema di Runge.
Parte 3. Funzioni meromorfe e il logaritmo. Zeri e poli. Forma di una funzione olomorfa in un intorno di un suo zero. Molteplicità di uno zero, zeri semplici. Polo di una funzione olomorfa. Forma di una funzione olomorfa in un intorno di un suo polo. Ordine del polo, parte principale e residuo. Formula per il residuo di un polo di ordine n. Formula dei residui. Il teorema dei residui. Esempi di applicazione del teorema dei residui. Singolarità e funzioni meromorfe. Singolarità rimovibili. Il teorema di Riemann sulle singolarità rimovibili. Caratterizzazione dei poli. Singolarità essenziali. Comportamento di una funzione in un intorno di una singolarità essenziale: il teorema di Casorati–Weierstrass. Funzioni meromorfe in una regione. Singolarità all’infinito. Caratterizzazione delle funzioni meromorfe nel piano complesso esteso. Il principio dell’argomento e applicazioni. Il principio dell’argomento. Il teorema di Rouché. Teorema della mappa aperta. Il logaritmo complesso. Esistenza del logaritmo in una regione semplicemente connessa. Determinazione principale del logaritmo. Serie di potenze del logaritmo. Esistenza del logaritmo di una funzione che non si annulla in una regione semplicemente connessa.
Parte 4. Funzioni intere. La formula di Jensen. Teorema di Jensen. Funzioni di ordine finito. Ordine di una funzione intera. Relazione tra ordine di una funzione intera e suoi zeri. Prodotti infiniti. Definizione di convergenza di un prodotto infinito. Condizione sufficiente di convergenza. Convergenza di prodotti di funzioni olomorfe. La formula prodotto della funzione seno. Prodotti infiniti di Weierstrass. Esistenza di una funzione intera con zeri prescritti. Il teorema di fattorizzazione di Hadamard. Fattorizzazione di funzioni intere di ordine finito.
Parte 5. La funzione Gamma di Eulero e sue proprietà. La funzione zeta di Riemann: suo prolungamento analitico e connessione con il teorema dei numeri primi
Prerequisiti
I prerequisiti richiesti sono trattati nei corsi di Analisi I, Analisi II, Algebra lineare e Teoria della misura della Laurea triennale in Matematica e sono i seguenti: calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e più variabili reali, elementi di base di algebra lineare, la teoria dell'integrale di Lebesgue, con particolare riferimento ai teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e al Teorema di Fubini-Tonelli.
Gli studenti non in possesso dei requisiti sopra elencati sono invitati a contattare tramite posta elettronica il docente, che provvederà a dare indicazioni bibliografiche utili a colmare le lacune e a fornire eventuale ulteriore supporto.
Modalità didattica
48 ore di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza (6 cfu), con uso di lavagna.
Corso erogato in lingua italiana.
Materiale didattico
Ci sono molti ottimi testi di Analisi complessa.
Il docente segnala i classici :
Ahlfors: "Complex Analysis", McGraw-Hill
Nevanlinna, Patero: "Introduction to Complex Analysis", Chelsea Publishing
e, i più recenti:
Stein and Shakarchi, “Complex analysis”, Princeton University Press
Ullrich: "Complex made simple", American Mathematical Society.
Il docente metterà a disposizione, sul sito e-learning del corso, propri appunti ed esercizi.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Non sono previste prove in itinere. L'esame consiste di una
prova scritta e di una prova orale. La prova scritta, contenente esercizi e problemi di applicazione della teoria, se superata,da accesso alla prova orale nella quale lo studente darà prova della conoscenza degli aspetti fondamentali della teoria, degli enunciati e delle dimostrazioni dei principali teoremi.
Supera l'esame chi dimostra di possedere le conoscenze teoriche richieste e le abilità necessarie a svolgere gli esercizi proposti.
La valutazione terrà conto dell'esattezza delle risposte, della chiarezza espositiva e della proprietà di linguaggio matematico utilizzato.
Orario di ricevimento
Per appuntamento (richiesto mediante e-mail).
Sustainable Development Goals
Aims
Learning Objectives (Dublin Descriptors)
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Knowledge and Understanding
The student will acquire a clear and systematic understanding of the main concepts of complex analysis in one variable: holomorphic functions, Cauchy's theorem and its applications, isolated singularities and zeros, conformal mappings, harmonic functions, power series and infinite products, the Gamma function, and the Zeta function. -
Applying Knowledge and Understanding
The student will be able to apply the learned methods to solve exercises and problems, including in simple applied contexts, demonstrating mastery of computational techniques and an understanding of basic mathematical structures. -
Making Judgements
The student will develop the ability to critically understand and evaluate definitions, theorems, and proofs, identifying the most appropriate conceptual tools for analyzing and solving the proposed problems. -
Communication Skills
The student will be able to present the fundamental concepts of the course clearly and rigorously, using mathematical language correctly. -
Learning Skills
The student will develop the skills necessary to continue studying complex analysis and related subjects independently, with the ability to consult scientific texts and appropriate educational resources.
Contents
This is a basic course in one complex variable. It includes holomorphic functions, conformal maps, power series, Cauchy's theorem and applications, isolated singularities, zeroes of entire functions and applications. We shall also provide an introduction to some important special functions.
Detailed program
Ecco la traduzione in inglese del testo fornito:
Part 1. Preliminaries.
Holomorphic functions: definition and examples. Entire functions. Cauchy–Riemann equations. Harmonic functions. Power series. Hadamard’s formula for the radius of convergence of a power series. Maclaurin series for main elementary functions. Integration along curves. Parametric curves, piecewise regular parametric curves. Orientation. Integration along curves and its properties.
Part 2. Cauchy's Theorem and Applications.
Goursat’s lemma. Existence of local primitives and Cauchy's theorem for a disk. Existence of primitives of a holomorphic function in a disk. Cauchy’s theorem in a disk. Computation of certain integrals. Examples of computing integrals using Cauchy’s theorem. Cauchy integral formula. Maximum modulus theorem and Schwarz lemma. Cauchy inequalities. Holomorphic functions as local sums of power series. Liouville’s theorem. Fundamental theorem of algebra. Identity principle for holomorphic functions and analytic continuation. Further applications. Morera’s theorem. Uniform convergence on compact sets of sequences of holomorphic functions. Holomorphic functions defined via integrals. The symmetry principle and Schwarz reflection principle. Polynomial approximation problem and Runge’s theorem.
Part 3. Meromorphic Functions and the Logarithm.
Zeros and poles. Local form of a holomorphic function near a zero. Multiplicity of a zero, simple zeros. Poles of holomorphic functions. Local form near a pole. Order of a pole, principal part, and residue. Residue formula for a pole of order n. Residue formula. Residue theorem. Examples of applications of the residue theorem. Singularities and meromorphic functions. Removable singularities. Riemann’s theorem on removable singularities. Characterization of poles. Essential singularities. Behavior near essential singularities: Casorati–Weierstrass theorem. Meromorphic functions in a region. Singularities at infinity. Characterization of meromorphic functions on the extended complex plane. Argument principle and applications. Argument principle. Rouché’s theorem. Open mapping theorem. The complex logarithm. Existence of the logarithm in a simply connected region. Principal branch of the logarithm. Power series expansion of the logarithm. Existence of the logarithm of a non-vanishing function in a simply connected region.
Part 4. Entire Functions.
Jensen’s formula. Jensen’s theorem. Functions of finite order. Order of an entire function. Relationship between the order of an entire function and its zeros. Infinite products. Definition of convergence of an infinite product. Sufficient condition for convergence. Convergence of products of holomorphic functions. Product formula for the sine function. Weierstrass infinite products. Existence of entire functions with prescribed zeros. Hadamard’s factorization theorem. Factorization of entire functions of finite order.
Part 5. Euler’s Gamma Function and Its Properties.
Riemann’s Zeta Function: its analytic continuation and connection with the Prime Number Theorem.
Prerequisites
The prerequisites are included in the programme of the courses Analisi I, Analisi II, Algebra lineare and Teoria della misura of the Laurea triennale in Matematica. Specifically we require a sound knowledge of differential and integral calculus in one and several variables, basic notions in Linear algebra and a good understanding of the Lebesgue integral, in particular of the Lebesgue dominated convergence Theorem and the Fubini-Tonelli Theorem.
Students lacking prerequisites are invited to contact the professor by e-mail. He will give them bibliographical suggestions useful to fill the gaps and possibly provide further support.
Teaching form
48 hours of in-person, lecture-based teaching (6 ECTS)
Course delivered in Italian.
Textbook and teaching resource
The instructor recommends the following classic texts:
- Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill
- Nevanlinna, Patero, Introduction to Complex Analysis, Chelsea Publishing
and the more recent ones:
- Stein and Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press
- Ullrich, Complex Made Simple, American Mathematical Society
The instructor will also provide their own lecture notes and exercises on the course's e-learning platform.
Semester
First semester
Assessment method
No midterm exams are scheduled. The final assessment consists of a written exam and an oral exam. The written exam, which includes exercises and problems requiring application of the theory, grants access to the oral exam if passed. During the oral exam, the student must demonstrate knowledge of the fundamental aspects of the theory, including the statements and proofs of the main theorems.
The exam is considered passed by those who show they possess the required theoretical knowledge and the necessary skills to solve the proposed exercises.
The final grade will take into account the accuracy of the answers, the clarity of exposition, and the appropriate use of mathematical language.
Office hours
By appointment (requested through e-mail)
Sustainable Development Goals
Staff
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Luigi Fontana
