Syllabus del corso
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze di base, con un profondo supporto teorico, riguardanti le tematiche del corso (principalmente ottimizzazione, e anche discretizzazione di equazioni ordinarie). Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere, analizzare e confrontare con senso critico i vari metodi proposti, nonché implementarli al calcolatore.
Obiettivi formativi secondo i 5 Descrittori di Dublino
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Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente acquisirà una conoscenza di base, ma solida, degli strumenti dell’analisi numerica applicata all’ottimizzazione e alla risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie. Verranno forniti sia i fondamenti teorici sia esempi concreti di applicazione. Particolare attenzione sarà posta alla comprensione del comportamento e dei limiti dei metodi numerici. -
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente sarà in grado di applicare i metodi studiati per risolvere problemi semplici di ottimizzazione (con e senza vincoli) e per discretizzare e risolvere equazioni differenziali ordinarie. Sarà inoltre in grado di implementare gli algoritmi in un ambiente di calcolo (come MATLAB) e di verificarne l’efficacia su esempi pratici. -
Autonomia di giudizio
Il corso stimola la capacità di valutare in modo critico i metodi numerici proposti, selezionando quelli più appropriati in base al problema specifico. Gli studenti svilupperanno un atteggiamento riflessivo nell’interpretare i risultati ottenuti numericamente, anche alla luce delle possibili instabilità o scelta di parametri coinvolti. -
Abilità comunicative
Gli studenti apprenderanno a descrivere con chiarezza le tecniche numeriche utilizzate e i risultati ottenuti, utilizzando una corretta terminologia matematica e tecnica. Saranno in grado di presentare oralmente i risultati delle attività svolte, anche di laboratorio al calcolatore. -
Capacità di apprendimento
Al termine del corso, gli studenti avranno acquisito le competenze necessarie per affrontare autonomamente lo studio di metodi numerici più avanzati e per applicare quanto appreso in altri ambiti.
Contenuti sintetici
La parte principale del corso tratta di problemi di ottimizzazione in Rⁿ, la cui risoluzione è un passaggio fondamentale in molti problemi di matematica applicata (in modo diretto o sovente attraverso la loro discretizzazione con metodi numerici). Si tratteranno il problema della ricerca di punti fissi e zeri, ricerca di minimi liberi e ricerca di minimi vincolati. Il corso avrà un supporto teorico rigoroso per l’analisi dei metodi considerati.
Inoltre, parte del corso sarà svolta in laboratorio informatico (MATLAB) con sviluppo di codici da parte degli studenti. Nella parte finale del corso verranno invece presentati i fondamenti per la discretizzazione di equazioni differenziali ordinarie.
Programma esteso
Tutti gli argomenti svolti in aula avranno anche una parte di sviluppo dei codici in laboratorio informatico (MATLAB). Alcuni laboratori consisteranno nell'approssimazione di problemi al continuo e dunque comporteranno anche un passaggio di "discretizzazione". Metodi iterativi di punto fisso, proprietà di convergenza locale e globale. Ricerca degli zeri, metodi quasi-Newton con diversi esempi, convergenza locale. Ricerca di minimi, metodi line search con diversi esempi, proprietà varie di convergenza, applicazione al caso della ricerca degli zeri. Ricerca di minimi vincolati, gradiente proiettato, condizioin Kuhn-Tucker, lagrangiana, metodo di Uzawa. Equazioni differenziali ordinarie, metodi a un passo con diversi esempi, teoria di convergenza e di stabilità asintotica.
Prerequisiti
Sono sufficienti le normali conoscenze della laurea triennale in matematica.
Modalità didattica
Didattica di tipo erogativo.
Lezioni in aula (a lavagna) e proiezione a schermo della attività di implementazione al computer.
Materiale didattico
• C.T. Kelley, “Iterative methods for linear and nonlinear equations”, SIAM
• J. Nocedal, S.J. Wright, “Numerical Optimization”, Springer
• P.G. Ciarlet, “Introduction to numerical linear algebra and optimizations”, Cambridge Texts in Applied Math
• Dispense della parte su Eq. Diff. Ord.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L' esame di compone di un singolo orale, diviso in due parti. In una prima parte si discuterà un progetto di laboratorio (svolto individualmente), scelto dal docente tra quelli che lo studente ha deciso di portare all'esame (devono essere 3, a scelta dello studente tra quelli svolti in laboratorio durante l'anno). La seconda parte di tratta di un esame orale su tutte le tematiche svolte nel corso, per verificare se lo studente ha acquisito la conoscenza critica e operativa delle definizioni, dei risultati e delle loro dimostrazioni. Il peso relativo, sul voto finale, delle due parti, progetto e parte teorica, sono circa pari a 30% e 70% (entrambe dovendo essere sufficienti per passare l'esame). Nella discussione del progetto viene valutata la correttezza dei risultati e la comprensione dello studente circa gli aspetti pratici/computazionali del metodo utilizzato. Nella parte di esame teorico, vengono valutate principalmente la comprensione dell'argomento e il rigore matematico nel esporre i metodi e le relative dimostrazioni.
Non sono previste prove in itinere.
Orario di ricevimento
Flessibile, previo appuntamento via email.
Aims
In line with the educational objectives of the Bachelor Degree in Mathematics, the course aims at providing the basic knowledge, with a deep theoretical support, about the topics of the course (mainly optimization problems, and also discretization of ordinary differential equations). It will also build the skills needed to understand, analyse and compare the different methods, in addition to implementing them in the computer.
Learning Objectives according to the Dublin Descriptors
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Knowledge and understanding
Students will acquire a basic but solid understanding of numerical analysis tools, particularly in optimization and the numerical treatment of ordinary differential equations. The course offers both theoretical foundations and practical applications, with a focus on understanding the behavior and limitations of numerical methods. -
Applying knowledge and understanding
Students will be able to apply the studied methods to solve basic optimization problems (with and without constraints) and to discretize and solve ordinary differential equations. They will also be able to implement algorithms in a computing environment (such as MATLAB) and test their performance on practical examples. -
Making judgements
The course develops the ability to critically evaluate the numerical methods introduced, selecting the most suitable ones for specific problems. Students will learn to interpret numerical results with a critical approach, especially with respect to approximation errors and parameter choices. -
Communication skills
Students will learn to clearly describe the numerical techniques used and the results obtained, using appropriate mathematical and technical language. They will be able to orally present the outcomes of their work, including activities performed in the lab. -
Learning skills
By the end of the course, students will have developed the skills needed to independently approach more advanced numerical methods and apply the acquired knowledge to further studies.
Contents
The main part of the course is about optimization problems in Rⁿ, whose resolution is a fundamental step in many applied math problems. We will consider the following topics: search for zeros of functions, then minima of functions, finally constrained minima. The last part of the course will instead consider the discretization of ordinary differential equations.
The course will provide a rigorous theoretical support of the methods considered, together with a computational lab part in MATLAB.
Detailed program
All the topics developed in class will have also a coding part in the computer Lab (MATLAB language). Some labs will consider PDE problems that, after discretization/approximation by some numerical scheme, become optimization problems in R^N. We will consider the following topics. Iterative methods for fixed points, local and global convergence properties. Search of zeros of vector valued functions, quasi-Newton methods, examples, local convergence, modifications for global convergence. Search of minima of functions (in open sets), line search methods, examples, convergence properties. Search of constrained minima, Kuhn-Tucker and lagrangian theory, projected gradient, Uzawa method, convergence properties. Ordinary differential equations, one step methods, convergence theory, absolute stability, RK methods.
Prerequisites
The standard knowledge of a third year math student is sufficient
Teaching form
Standard blackboard classes, plus coding lessons with projector.
Textbook and teaching resource
• C.T. Kelley, “Iterative methods for linear and nonlinear equations”, SIAM
• J. Nocedal, S.J. Wright, “Numerical Optimization”, Springer
• P.G. Ciarlet, “Introduction to numerical linear algebra and optimizations”, Cambridge Texts in Applied Math
• Uploaded pdf text on the Ordinary Diff. Eq. part
Semester
Second semester.
Assessment method
The exam is an oral examination, and is divided into two parts. In the first part, the student presents a matlab laboratory project (to be developed individually), chosen by the teacher among a set of three previously selected by the student (these are 3 among the projects developed in the Lab during the course). The second part is an evaluation of the critical and operational knowledge of the definitions, results and proofs presented during the course. The relative weight of the project and the theoretical examination are roughly 30% and 70%, respectively. In the project discussion the teacher will evaluate the exactness of the results and the comprehension of the practical/computational aspects of the adopted numerical method. During the theoretical part of the exam, the teacher will mainly evaluate the comprehension of the topic and the mathematical rigour in presenting the numerical methods and the associated proofs.
There will not be any mid-course evaluation/exam during the course.
Office hours
Flexible, arranged directly via email.
Scheda del corso
Staff
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Lourenco Beirao Da Veiga