Syllabus del corso
Obiettivi
Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente acquisirà una solida conoscenza dei principali concetti della statistica inferenziale, con particolare attenzione alla teoria degli stimatori, all'informazione di Fisher, agli intervalli di confidenza e ai test di ipotesi. Verranno approfonditi i modelli statistici formali e i fondamenti teorici alla base della stima e dell'inferenza, sviluppando una comprensione rigorosa dei metodi statistici dal punto di vista matematico.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente sarà in grado di applicare in modo critico le tecniche statistiche a problemi concreti, selezionando modelli adeguati e utilizzando strumenti computazionali (in particolare il software R) per l’analisi di dati reali o simulati. Sarà inoltre in grado di valutare l’efficienza e le proprietà degli stimatori all’interno di modelli specifici.
Autonomia di giudizio
Lo studente svilupperà la capacità di analizzare in modo autonomo problemi inferenziali, valutando criticamente le assunzioni dei modelli e le implicazioni delle scelte metodologiche. Saprà confrontare diversi metodi inferenziali e motivare le scelte operate in contesti teorici e applicati.
Abilità comunicative
Lo studente sarà in grado di esporre con chiarezza e rigore argomenti teorici e applicativi della statistica matematica, utilizzando un linguaggio tecnico appropriato. Saprà redigere relazioni sull’analisi statistica dei dati e presentare i risultati ottenuti sia a interlocutori specialisti che non specialisti.
Capacità di apprendimento
Lo studente svilupperà le competenze necessarie per affrontare in modo autonomo lo studio di testi avanzati di statistica e per approfondire in maniera indipendente aspetti teorici e applicativi del campo, anche in vista di un eventuale percorso di studi magistrale o attività di ricerca.
Contenuti sintetici
Modelli statistici. Statistica inferenziale: stimatori, intervalli di confidenza, test d'ipotesi. Teoria degli stimatori. Informazione di Fisher. Cenni di Regressione. Utilizzo del software R.
Programma esteso
Il programma è uguale per frequentanti e non frequentanti.
Introduzione alla statistica
Campione casuale.
Statistichea.
Densità dipendenti da parametri incogniti.
Stime puntuali di parametri
Stimatore, stimatore non distorto, errore quadratico medio, consistenza in media quadratica, condizione necessaria e sufficiente per la consistenza in media quadratica di una successione di stimatori.
Stimatori per i momenti di una VA: momenti campionari. Media campionaria.
Stimatore non distorto della varianza: varianza campionaria.
Metodo dei momenti per la costruzione di stimatori.Campionamento da v.a. Normali: legge della media campionaria. Legge del quadrato di una Normale(0,1): legge chi quadro a 1 grado di libertà. Legge della somma dei quadrati di normali standard indipendenti: legge chi quadro a k gradi di libertà. Legge della varianza campionaria di un campione normale. Legge t di Student.
Intervalli di confidenza: definizione, livello di confidenza.
Intervalli per la media di popolazione normale (varianza nota o incognita).
Intervalli per la varianza di popolazione normale (media nota o incognita).
Intervalli di confidenza per grandi campioni (in particolare per frequenze ovvero parametri di Bernoulli).
Test d'ipotesi
Test per un'ipotesi statistica; test non casualizzato e regione critica. Livello di significatività, p-value. Test uniformemente più potente di livello fissato.
Test per una media di popolazione normale (varianza nota oppure ignota).
Test per la varianza di una popolazione normale (media nota o ignota).
Test per differenza di medie per popolazioni normali.
Test su una frequenza (campione numeroso).
Test del rapporto di verosimiglianza semplice e generalizzato. Teorema di Neyman-Pearson.
Regressione lineare
Regressione lineare semplice e multipla: definizione, interpretazione, test.
Prerequisiti
Analisi matematica I e II, in particolare calcolo integrale.
Probabilità di base: leggi di variabili aleatorie discrete e continue. Valore atteso e varianza. Legge di funzioni di variabili aleatorie. Indipendenza. Convergenza di successioni di variabili aleatorie.
Modalità didattica
Si utilizza un approccio didattico ibrido che combina didattica frontale (DE) e didattica interattiva (DI). La DE sarà largamente maggioriitaria (80 %) include la presentazione e spiegazione dettagliata dei contenuti teorici. La DI prevede interventi attivi degli studenti tramite esercizi e problemi, brevi interventi, discussioni collettive e lavori di gruppo o individuali anche utilizzando software statistico (es. R).
Le lezioni (48 ore 6 cfu) si svolgono in presenza e sono tenute in italiano. Su richiesta e previo accordo tra docente e studenti sarà possibile l'utilizzo della lingua inglese.
Compatibilmente con gli strumenti di registrazione a disposizione le lezioni saranno registrate e messe a disposizione sul sito di e-learning.
Compatibilmente con la disponibilità di laboratori informatici il 20% del corso avrà contenuto laboratoriale tramite l'uso di software statistico
Materiale didattico
Dispense del Docente
Introduzione alla statistica di A.M.Mood, F.A.Graybill, D.C.Boes, 1991, McGraw-Hill Italia,ISBN: 9788838606618
An Introduction to Mathematica Statistics: F. Bijma, M. Jonker, A. van der Vart, Amsterdam University Press
Altro materiale: slide delle lezioni e degli esercizi su elearning.unimib.it
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame si compone di tre parti (Scritto, Orale e relazione su R).
Lo scritto è obbligatorio, ha una valutazione minore o uguale a 28, ed è superato solo se si ottiene una valutazione maggiore o uguale a 16.
L'orale è facoltativo e ha una valutazione compersa tra -1 e 5
La relazione è facoltativa, ha una valutazione compersa tra 0 e 1, deve essere presentata al più tardi durante l'orale e viene presa in considerazione solo se la somma di scritto e orale è maggiore o uguale a 18.
Il voto finale è la somma dei tre voti precedenti.
Lo scritto consiste di
- domande a risposta aperta (sui concetti teorici descritti nel corso, ivi comprese le richieste di enunciare una definizione e/o enunciare e dimostrare teoremi)
- esercizi scritti: applicazione dei concetti teorici e di tecniche analoghe agli esercizi proposti a lezione e per casa.
presentazione
Durante lo scritto è consentito tenere materiale didattico,eccetto un formulario fonito su moodle
L'orale è a richiesta del docente e/o dello studente ed è un colloquio sullo scritto, sugli argomenti svolti a lezione e sulla relazione. Nell'orale sono valutate le stesse qualità delle risposte che sono valutate nello scritto.
La relazione presenta l'applicaziuone delle nozioni spiegate a lezione a un set di dati sperimentali.
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
Knowledge and understanding
The student will acquire a solid understanding of the main concepts of inferential statistics, with particular focus on estimator theory, Fisher information, confidence intervals, and hypothesis testing. The course will deepen the formal framework of statistical models and the theoretical foundations of estimation and inference, promoting a rigorous mathematical comprehension of statistical methods.
Applying knowledge and understanding
The student will be able to apply statistical techniques critically to real-world problems, selecting appropriate models and using computational tools (especially the R software) for data analysis. They will also be able to evaluate the efficiency and properties of estimators within specific models.
Making judgements
The student will develop the ability to autonomously analyze inferential problems, critically assessing model assumptions and the implications of methodological choices. They will be able to compare different inferential methods and justify their decisions in both theoretical and applied contexts.
Communication skills
The student will be able to clearly and rigorously present theoretical and applied topics in mathematical statistics, using appropriate technical language. They will be able to write reports on statistical data analysis and effectively communicate results to both specialists and non-specialists.
Learning skills
The student will develop the skills necessary for independent study of advanced texts in statistics and for deepening theoretical and applied aspects of the field, also in view of pursuing graduate studies or engaging in research activities.
Contents
Statistical Models. Inferential Statistics: Estimators, Confidence Intervals, Hypothesis Testing. Fisher information. Regression Use of Software R.
Detailed program
Random sample.
Statistics.
Densities depending on unknown parameters.
Point estimators of parameters.
Estimator, unbiased estimator, mean squared error, mean square consistency, necessary and sufficient condition for mean square consistency of a sequence of estimators.
Estimators for the moments of a random variable: sample moments. Sample mean.
Unbiased estimator of variance: sample variance.
Method of moments for the construction of estimators.
Sampling from normal random variables: distribution of the sample mean.
Distribution of the square of a standard normal variable: chi-squared distribution with 1 degree of freedom.
Distribution of the sum of squares of independent standard normals: chi-squared distribution with
𝑘
k degrees of freedom.
Distribution of the sample variance from a normal sample.
Student's t-distribution.
Confidence intervals: definition, confidence level.
Confidence intervals for the mean of a normal population (with known or unknown variance).
Confidence intervals for the variance of a normal population (with known or unknown mean).
Confidence intervals for large samples (in particular for proportions, i.e. Bernoulli parameters).
Hypothesis testing
Test for a statistical hypothesis; non-randomized test and critical region.
Significance level, p-value. Uniformly most powerful test at a fixed level.
Tests for the mean of a normal population (with known or unknown variance).
Tests for the variance of a normal population (with known or unknown mean).
Tests for the difference of means from normal populations.
Test on a proportion (large sample).
Simple and generalized likelihood ratio tests. Neyman–Pearson lemma.
Linear regression
Simple and multiple linear regression: definition, interpretation, testing.
Prerequisites
Mathematical Analysis I and II, with a focus on integral calculus.
Basic Probability: laws of discrete and continuous random variables. Expected value and variance. Law of functions of random variables. Independence. Convergence of sequences of random variables.
Teaching form
A hybrid teaching approach is used, that combines lecture-based teaching (DE) and interactive teaching (DI). DE (80%) involves detailed presentation and explanation of theoretical content. DI includes active student participation through exercises and problems, short presentations, group discussions, and group or individual work.
The lessons (48 hours, 6 ECTS) are conducted in person and are held in Italian. Upon request and by mutual agreement between the instructor and students, it will be possible to use the English language.
Depending on the availability of recording equipment, the lessons will be recorded and made available on the e-learning website.
Subject to the availability of computer labs, 20% of the course will include laboratory content through the use of statistical software
Textbook and teaching resource
Lecture notes
Introduction to Statistics by A.M. Mood, F.A. Graybill, D.C. Boes, 1991, McGraw-Hill Italia, ISBN: 9788838606618
An Introduction to Mathematical Statistics: F. Bijma, M. Jonker, A. van der Vaart, Amsterdam University Press
Other materials: Lecture slides and exercise materials on elearning.unimib.it
Semester
Second semester
Assessment method
Examination Structure
The exam consists of three parts: written test, oral exam, and an R-based report.
The written test is mandatory, carries a maximum grade of 28, and is passed only with a score of at least 16.
The oral exam is optional and contributes between –1 and +5 points to the final grade.
The report is optional, contributes between 0 and 1 point, must be submitted no later than the day of the oral exam, and is considered only if the sum of the written and oral grades is at least 18.
The final grade is the sum of the scores from the three components.
Written Test
The written test includes:
Open-ended questions on the theoretical concepts covered in the course, including definitions and theorems (with statements and proofs).
Exercises requiring the application of theoretical concepts and techniques, similar to those discussed in lectures and homework.
During the written test, students are allowed to consult course materials except for a formula sheet, which will be provided on Moodle.
Oral Exam
The oral exam may be requested by either the instructor or the student. It consists of a discussion on the written test, the course content, and the report (if submitted). The same evaluation criteria used in the written test apply to the oral exam.
Report
The report involves the application of the concepts taught in class to an experimental dataset, using the R software.
Office hours
By appointment
Sustainable Development Goals
Staff
-
Gianmario Tessitore
