Syllabus del corso
Obiettivi
L'insegnamento si propone di presentare le idee fondamentali della Meccanica Classica, dalla formulazione di Galileo e Newton a quella di Lagrange, Hamilton e Jacobi e di fornire gli strumenti matematici necessari alla loro comprensione.
I risultati di apprendimento attesi includono:
- Conoscenza e comprensione.
- La conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali delle diverse formulazioni della Meccanica Classica.
- La conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave (sistemi isolati, oscillatore armonico, problema di Keplero, trottola di Lagrange);
- Capacità di applicare conoscenza e cmprensione. La capacità di applicare le conoscenze astratte acquisite alla risoluzione di esercizi. In particolare la capacità di dedurre le equazioni di Lagrange/Hamilton di un sistema vincolato, la capacità di ridurre i gradi di libertà in presenza di simmetrie e la capacità in alcuni casi semplici di discutere qualitativamente il comportamento delle soluzioni delle equazioni del moto e/o di ridurre la loro soluzione a quadrature.
- Autonomia di giudizio. L'insegnamento mira a sviluppare la capacità dello studente di analizzare criticamente enunciati e dimostrazioni; riconoscere la validità di un argomento matematico e la sua interpretazione nel modello specifico studiato; selezionare autonomamente metodi risolutivi appropriati in dipendenza del problema affrontato. Tali competenze saranno sviluppate anche mediante la discussione di più metodi risolutivi per lo stesso problema e la riflessione sulla scelta di strade alternative.
(4) Abilità comunicative: gli studenti saranno in grado di discutere descrizioni matematiche di modelli di sistemi dinamici in modo chiaro e rigoroso, sia oralmente che per iscritto e esporre una dimostrazione in maniera coerente e comprensibile. Si promuove l’uso del linguaggio matematico formale, ma anche l’abilità di tradurre concetti in termini del linguaggio comune quando questo sia possibile.
(5) Capacità di apprendimento: l''insegnamento intende fornire agli studenti gli strumenti per proseguire in autonomia lo studio della dinamica dei sistemi classici a livelli più avanzati, affrontare nuovi argomenti con metodo e rigore, facendo uso delle conoscenze pregresse, utilizzare fonti diverse (libri di testo, appunti, articoli) per approfondire e aggiornare le proprie competenze. L'insegnamento, anche grazie al suo carattere fortemente interdisciplinare nel quale strumenti analitici e geometrici vengono utilizzati per affrontare lo studio di sistemi dinamici astratti e concreti, contribuisce a costruire una solida base teorica su cui poggiare l'intero percorso formativo della laurea in matematica.
Contenuti sintetici
Richiami di meccanica newtoniana. Equazioni differenziali e loro studio qualitativo. Il principio di D'Alembert e la meccanica di Lagrange. Il problema a due corpi. Il corpo rigido. La meccanica Hamiltoniana. Trasformazioni canoniche.
Programma esteso
Programma esteso
1. Richiami di teoria delle equazioni di differenziali. Campi vettoriali e sistemi di equazioni di differenziali del prim'ordine. Punti di equilibrio di un sistema autonomo e loro stabilità. Teorema di Lyapounov. Linearizzazione di sistemi nonlineari vicino a un punto di equilibrio. Sistemi a un grado di liberta: curve di livello dell'energia e loro studio dettagliato in esempi rilevanti.
2. Meccanica lagrangiana. Equazioni di Eulero-Lagrange. Punto materiale vincolato ad una curva regolare. Punto materiale vincolato ad una superficie regolare. Il principio di D'Alembert per vincolo olonomi. Punti di equilibrio e piccole oscillazioni. Formulazione variazionale delle equazioni di Eulero-Lagrange. Gruppi ad un parametro di diffeomorfismi e simmetrie. Il teorema di Noether. Il problema a due corpi. Le leggi di Keplero.
3. SO(3) e velocità angolare. Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali. Meccanica del corpo rigido. L'operatore di inerzia. Il teorema di Koenig. Le equazioni di Eulero per il corpo rigido. Gli angoli di Eulero e la trottola di Lagrange.
4. Meccanica hamiltoniana. La trasformata di Legendre. Le equazioni di Hamilton. Parentesi di Poisson di funzioni e di Lie. Simmetrie e leggi di conservazione in meccanica hamiltoniana. Formulazione variazionale delle equazioni di Hamilton. Trasformazioni canoniche e condizioni equivalenti di canonicità. Il toerema di Liouville.
Prerequisiti
Analisi I, Algebra Lineare e Geometria, Fisica I.
Modalità didattica
64 ore di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza (8 cfu)
48 ore di esercitazione in modalità erogativa, in presenza (4 cfu)
L'insegnamento è erogato in lingua italiana
Il corso utilizzerà didattica in presenza di tipo erogativo per sviluppare i concetti e le tecniche fondamentali nell'ambito dei Sistemi Dinamici e della Meccanica Classica. Il docente sottolineerà in modo problematico la teoria esposta e porrà frequentemente domande agli studenti, stimolando e incoraggiando la posizione di domande e problemi da parte loro.
Materiale didattico
Testi consigliati:
1. V. I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti.
2. A. Fasano e S. Marmi Meccanica Analitica Bollati-Boringhieri 2002.
3. L.D. Landau. E. M. Lifshits, Meccanica, Editori Riuniti.
4. N.M.J. Woodhouse, Introduction to analytical dynamics, Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1987.
G.Dell'Antonio, Elementi di Meccanica, Liguori, Napoli (1996)
Altro materiale complementare verrà fornito dal docente.
Per quanto riguarda esempi ed esercitazioni, si consigliano i seguenti testi
-
F. Talamucci, Esercizi svolti sul formalismo lagrangiano e hamiltoniano con brevi richiami di teoria. Edizioni Nuova Cultura, 20142.
-
Alessandra Celletti, Esercizi e Complementi di Meccanica Razionale, Aracne Editrice, (2003)
-
Giancarlo Benettin, Eserciziario per il corso di Fisica Matematica, Padova (2017)
(liberamente scaricabile dalla pagina web dell'autore:
).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame è costituito da una prova scritta ed una prova orale.
La prova scritta consiste nello svolgimento di due esercizi (tipicamente un esercizio di Meccanica Lagrangiana ed un esercizio di Meccanica Hamiltoniana). La durata della prova è di tre ore. Risposte corrette senza adeguate spiegazioni per motivare i risultati ottenuti non verranno valutate a pieni voti. L'ammissione all'orale richiede un voto nella prova scritta non inferiore a 15/30.
La prova orale richiede la conoscenza e la dimostrazione dei teoremi svolti a lezione e la capacità di illustrarne il contenuto mediante esempi significativi. Oltre alla conoscenza dei contenuti teorici del corso verrà valutata la capacità di presentarli in modo ben strutturato, coerente e con linguaggio appropriato. Verrà valutata pertanto oltre all'abilità nella soluzione di esercizi, anche la consapevolezza teorica dello studente. Se questa ottiene una valutazione di almeno 21/30, potrà venire considerata sufficiente per la valutazione complessiva, e darà luogo alla possibilità di rinunciare alla prova orale. In assenza di quest'ultima la votazione finale non potrà tuttavia superare i 27/30.
La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame in cui è stata sostenuta la prova scritta.
Durante lo svolgimento del corso, verranno offerte due prove scritte in itinere, attinenti alla prima metà e alla seconda metà del corso rispettivamente. Gli studenti che superano entrambe le prove con un voto non inferiore a 15/30 sono ammessi alla eventuale prova orale. In questo caso la prova orale va sostenuta entro l'appello di luglio compreso.
Gradazione delle votazioni:
18-19: preparazione su un numero ridotto di argomenti presenti nel programma del corso, con capacità di trattazione e
analisi limitate;
competenza espositiva e lessico non sempre corretti, con una capacità di elaborazione critica limitata;
20-23: preparazione su una parte degli argomenti presenti nel programma del corso, capacità di analisi autonoma solo su
questioni puramente pratiche ed esecutive, uso di un lessico corretto anche se non del tutto accurato e chiaro e di una
capacità espositiva a tratti incerta;
24-27: preparazione su un numero ampio di argomenti trattati nel programma del corso, capacità di svolgere in modo
autonomo l’argomentazione e l’analisi critica, capacità di applicazione delle conoscenze ai contesti e collegamento dei
temi a casi concreti, uso di un lessico corretto e competenza nell’uso del linguaggio disciplinare;
28 – 30/30L: preparazione completa ed esaustiva sugli argomenti in programma d’esame, capacità personale di
trattazione autonoma e di analisi critica dei temi, capacità di riflessione e autoriflessione e di collegamento dei temi a
casi concreti e a diversi contesti, ottima capacità di pensiero critico e autonomo, piena padronanza del lessico
disciplinare e di una capacità espositiva rigorosa e articolata, capacità di argomentazione, riflessione e di
autoriflessione, capacità di collegamenti ad altre discipline.
Orario di ricevimento
Su appuntamento, per mezzo della piattaforma webex o di persona quando consentito dalla situazione sanitaria.
Sustainable Development Goals
Aims
Aims
This course aims to present the basic ideas of Classical mechanics, from the Galielo-Newton formulation to those of Lagrange, Hamilton and Jacobi and to provide the necessary mathematical tools.
The expected learning outcomes include:
- Knowledge and understanding.
- Knowledge and understanding of the definitions and fundamental statements of the different formulations of Classical Mechanics.
- Knowledge and understanding of some key examples (isolated systems, harmonic oscillator, Kepler's problem, Lagrange's spinning top);
- Ability to apply knowledge and understanding. The ability to apply the abstract knowledge acquired to the resolution of exercises. In particular, the ability to deduce the Lagrange/Hamilton equations of a constrained system, the ability to reduce the degrees of freedom in the presence of symmetries and the ability in some simple cases to qualitatively discuss the behavior of the solutions of the equations of motion and/or to reduce their solution to quadratures.
- Autonomy of judgment. The teaching aims to develop the student's ability to critically analyze statements and demonstrations; recognize the validity of a mathematical argument and its interpretation in the specific model studied; independently select appropriate resolution methods depending on the problem addressed. These skills will also be developed through the discussion of multiple resolution methods for the same problem and reflection on the choice of alternative paths.
(4) Communication skills: students will be able to discuss mathematical descriptions of dynamic system models in a clear and rigorous way, both orally and in writing, and present a demonstration in a coherent and comprehensible way. The use of formal mathematical language is promoted, but also the ability to translate concepts into terms of common language when this is possible.
(5) Learning ability: the teaching aims to provide students with the tools to independently continue the study of the dynamics of classical systems at more advanced levels, to approach new topics with method and rigor, making use of previous knowledge, to use different sources (textbooks, notes, articles) to deepen and update their skills. The teaching, also thanks to its strongly interdisciplinary character in which analytical and geometric tools are used to address the study of abstract and concrete dynamic systems, contributes to building a solid theoretical basis on which to base the path of the degree in mathematics.
Contents
Newtonian Mechanics (a reminder). Ordinary differential equations. Qualitative analysis. The D'Alembert principle and Lagrangian Mechanics. The two-body problem. The rigid body. Hamiltonian mechanics. Canonical transformations.
Detailed program
- A reminder of the theory of ordinary differential equations. Vector fields and systems of first order ODEs. Equilibria and their stability. Lyapounov theorem. Linearization near equilibrium points. Systems with one degrees of freedom: level curves of the energy
2. Lagrangian Mechanics. Euler-Lagrange equations. Particle constrained on a regular curve. Particle constrained on a regular surface. The D'Alembert principle for general holonomic constraints. Equilibrium points and small oscillations. Variational formulation of Euler-Lagrange equations. One-parameter group of diffeomorphisms, symmetries and Noether's theorem. The two-body problem and the Kepler laws.
3. SO(3) and angular velocity. Inertial and non inertial frames. Mechanics of rigid bodies. The inertia operator. Koenig's theorem. Euler's equations for rigid bodies. The Euler angles and the Lagrange top.
4. Hamiltonian Mechanics. Legendre transformation. Hamilton's equations. Poisson bracket and Lie bracket. Symmetries and conservation laws in Hamiltonian Mechanics. Variational formulation of Hamilton's equations. Canonical transformations. Liouville's theorem.
Prerequisites
Analysis I, Linear Algebra and Geometry, Physics I.
Teaching form
64 hours of in-person, lecture-based teaching (8 ECTS)
48 hours of in-person, lecture-based exercises classes (4 ECTS)
This course will primarily use lecture-based teaching to deliver the fundamental concepts of Dynamical Systems and Classical Mechanics. The active interaction between teacher and students will take place through questions, discussions and answers during the lessons and exercise classes.
Textbook and teaching resource
The following books are recommended:
1. V. I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti.
2. A. Fasano e S. Marmi Meccanica Analitica Bollati-Boringhieri 2002.
3. L.D. Landau. E. M. Lifshits, Meccanica, Editori Riuniti.
4. N.M.J. Woodhouse, Introduction to analytical dynamics, Oxford Science Publications. The Clarendon
Press, Oxford University Press, New York, 1987.
G.Dell'Antonio, Elementi di Meccanica, Liguori, Napoli (1996)
Lecture notes on special parts will be also provided by the teacher.
Suitable collections of solved exercises are:
1. F. Talamucci, Esercizi svolti sul formalismo lagrangiano e hamiltoniano con brevi richiami di teoria. Edizioni Nuova Cultura, 2014
2. Alessandra Celletti, Esercizi e Complementi di Meccanica Razionale, Aracne Editrice, (2003)
3. Giancarlo Benettin, Eserciziario per il corso di Fisica Matematica, Padova (2017)
(freely downloadable from the webpage of the author:
).
Semester
Second semester.
Assessment method
The exam consists of two parts: a written test and an oral test.
The written test requires the solution of 2 problems (a problem of Lagrangian Mechanics and a problem of Hamiltonian Mechanis). The duration is typically three hours. Correct answers without clear explanation will not receive full marks. The minimum grade to pass to the oral part is 15/30.
During the oral exam the students will be asked to state and prove the theorems carried out in class and to illustrate their meaning with significant examples. The oral exam will evaluate the knowledge of the theoretical aspects of the course, as well as the ability to expose it in a well-organized and consistent way. When the written test is performed with due theoretical awarness (grade greater or equal 21/30), the teacher could allow the student to renounce to the oral test, with however the upper cutoff of 27/30 in the final grade.
The written an the oral exams equally contribute to the final grade. The oral examination should be taken immediately after the the written test.
During the course, two written partial tests will be offered, each referred to one half of the course. To pass the written examination through the partial tests, the student needs to pass each of them with the minimum grade of 15/30. In this case oral examination must be taken within the exam session of July.
Graduation of marks.
18-19: Scarce knowledge, limited to a reduced part of the program.
Exposition and language competence sometimes incorrect, limited ability of critical elaboration of the material.
20-23: Preparation on a limited part of the course with practical ability but limited autonomus elaboration of the material. Language essentially correct but exposition sometimes unclear.
24-27: Preparation on the majoity of the topics of the course with autonomous argumentation and critical analysis. Satisfying ability in the application of the concepts and techniques and correct and clear exposition and use of language.
28 – 30/30L: Preparation complete on the topics of the course. Autonomous ability of treatment and development of the subjects, and of critical analysis of the problems proposed. Ability in establishing connections between different topics, complete control of the language and of the exposition also in case of complex problems and questions.
Office hours
By appointment through webex platform or in person if possible.
