Syllabus del corso
Obiettivi
Contenuto:
- Studio approfondito della relatività ristretta di Einstein e discussione di alcune applicazioni notevoli.
- Formulazione covariante delle leggi della dinamica relativistiche e dell'elettromagnetismo (equazioni di Maxwell).
- Formalismo Lagrangiano e introduzione alla teoria classica dei campi, prerequisito fondamentale per la teoria quantistica dei campi.
Schematicamente gli obiettivi si possono suddividere in 5 categorie:
- Conoscenza e capacità di comprensione: lo studente apprendera' le nozioni di base della relativita' speciale formulata in modo covariante (invariante "a vista") e sapra' connettere tale formulazione con quanto gia' appreso in corsi precedenti. Inoltre, acquisira' conoscenze di base della teoria dei campi classica.
- Conoscenza e capacità di comprensione applicate: lo studente dovrà essere in grado di utilizzare il formalismo tensoriale per affrontare semplici calcoli o manipolazioni nell'ambito della cinematica relativistica, dell'elettrodinamica classica e della teoria dei campi classica.
- Autonomia di giudizio: lo studente svilupperà capacità critiche e di giudizio nel saper scegliere tra gli strumenti forniti a lezione quello più appropriato per la soluzione di un determinato problema specifico.
- Abilità comunicative: lo studente dovrà acquisire un linguaggio scientifico corretto e appropriato alle tematiche svolte nel corso.
- Capacità di apprendere: lo studente sarà in grado di approfondire concetti specifici, non presentati durante il corso, e di proseguire in modo autonomo nello studio avanzato su testi scientifici specializzati.
Piu' specificamente, al termine del corso, lo studente
- sarà in grado di utilizzare l'apparato matematico alla base della formulazioni "covariante" della relativita' speciale (4-vettori, tensori), sia per la discussione teorica dei concetti fondamentali, sia per la risoluzione di problemi di cinematica e di elettromagnetismo
- sara' in grado di connettere la formulazione non covariante dell'elettrodinamica con quella covariante
- sapra' ricavare le equazioni del moto per una particella o per un campo (scalare o vettoriale) a partire dall'azione e discutere contenuto e leggi di conservazione del tensore energia-impulso
Contenuti sintetici
Relatività ristretta di Einstein. Formulazione covariante della dinamica relativistica e dell'elettrodinamica classica. Formalismo lagrangiano relativisticamente invariante. Teoria classica dei campi: campi scalari e vettoriali.
Programma esteso
Introduzione alle trasformazioni di Lorentz. Cinematica relativistica. Formulazione covariante della relativita' (tetra-vettori e tensori). Gruppo di Lorentz.
Refs: Barone, Jackson (Weinberg).
- Brevi richiami di Meccanica Classica ed Elettromagnetismo (EM) (principio di relativita', trasformazioni di Galilei, eq. di Maxwell, eq. delle onde). Non invarianza dell'EM per trasformazioni di Galilei, ipotesi dell'etere, esperimento di Michelson-Morley.
- Basi della relatività ristretta: sistemi inerziali, sincronizzazione orologi, postulati, eventi e intervallo tra eventi. Invarianza della velocità della luce e Trasformazioni di Lorentz.
- Conseguenze delle trasformazioni di Lorentz: dilatazione tempi, contrazione lunghezze, tempo proprio. Diagrammi di Minkowski. Simultaneita', causalita'. Composizione relativistica delle velocità. Boost in direzione generica.
- Breve discussione dei "paradossi" più famosi e di applicazioni fisiche rilevanti.
- Notazione compatta (in componenti) per spazio Euclideo: vettori, operatori differenziali e identita' varie. Equazioni di Maxwell (per campi e per potenziali) in componenti.
- Relativita' ristretta in notazione covariante: spazio-tempo di Minkowski, metrica, calcolo tensoriale (vettori covarianti e controvarianti, tensori, tensore metrico, quantita' scalari, operatori differenziali).
- Covarianza (invarianza in forma) delle leggi fisiche e principio di relativita'.
- Gruppo di Lorentz: proprieta' generali, sottogruppi e classificazione delle trasformazioni di Lorentz omogenee. Generatori e algebra del gruppo di Lorentz ristretto.
- Cinematica relativistica in notazione covariante: tetra-velocita' e tetra-accelerazione, quadrivettore energia-impulso e sue proprieta'. Relazione di Einstein tra energia e massa, conservazione dei tetra-momenti per arbitrari processi di urto.
- Cinematica relativistica: esercizi e applicazioni.
- Composizione di boost di Lorentz in direzioni non parallele e precessione di Thomas.
Dinamica relativistica di una particella; equazioni di Maxwell in forma covariante.
Refs: Barone, Jackson (Weinberg, Landau)
- Dinamica di una particella in moto relativistico: quadriforza relativistica e legge fondamentale della dinamica.
- Equazioni di Maxwell in forma covariante: quadri-corrente, equazione di continuita', quadripotenziali, trasformazioni di gauge, il tensore Fμν. Leggi di trasformazione dei campi elettrici e magnetici tra sistemi inerziali. Invarianti del campo elettromagnetico.
- Forza di Lorentz in forma covariante. Interazione di campi elettromagnetici con cariche: studio di moti di particelle cariche in campi elettrici e magnetici costanti e uniformi.
- Moto di una particella carica con spin in un campo elettromagnetico.
- Interazione "spin-orbit" di un elettrone in un campo centrale.
- Equazione di Bargmann-Michel-Telegdi (+).
- Soluzione delle equazione delle onde in forma covariante (+). Radiazione da cariche in moto (+).
Formulazione Lagrangiana dell'elettrodinamica. Campi scalari e vettoriali classici. Tensore energia-impulso.
Refs: Barone, Jackson (Landau).
- Principio di minima azione e formulazione Lagrangiana delle equazioni del moto relativistiche per particella libera e per carica immersa in campo elettromagnetico.
- Teoria classica dei campi: introduzione e equazioni di Eulero Lagrange.
- Campi scalari ed equazione di Klein-Gordon.
- Tensore energia-impulso.
- Campi vettoriali: la Lagrangiana del campo elettromagnetico libero e in interazione.
- Il tensore energia-impulso per campi elettromagnetici liberi ed in interazione.
- Teorema di Noether (+).
(+) = argomenti avanzati (trattati solo se ci sara' tempo)
Prerequisiti
Meccanica classica, elettrodinamica classica, analisi matematica (integrali, equazioni differenziali, delta di Dirac).
(ossia il contenuto dei corsi di Fisica 1, Fisica 2, Meccanica Classica e Matematica per la Fisica)
Modalità didattica
Didattica erogativa in presenza (lezioni frontali alla lavagna)
Materiale didattico
Testi principali:
Relativita'. Principi e Applicazioni, V. Barone
Classical Electrodynamics, J.D. Jackson
Chapter 11: Special Theory of Relativity
Chapter 12: Dynamics of Relativistic Particles and Electromagnetic Fields
Altri testi utili:
Gravitation and Cosmology, S. Weinberg
Chapter 2: Special Relativity
The Classical Theory of Fields (Volume 2), L.D. Landau e E.M. Lifshitz
Chapter 1 to 4.
Spacetime Physics, E.F. Taylor e J.A. Wheeler
Parti rilevanti disponibili alla pagina web del docente.
- Note varie, materiale complementare e temi d'esame degli anni passati sono disponibili alla pagina web https://virgilio.mib.infn.it/~re
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova orale, con domande da parte del docente (non ci sara' piu' la possibilita' di cominciare il colloquio con un argomento a scelta).
Tale prova sondera' non solo la conoscenza di tutti gli argomenti discussi durante il corso, ma anche la capacita' di utilizzare il formalismo appropriato e la effettiva comprensione degli argomenti stessi. Tipicamente una domanda richiedera' la capacita' di eseguire veloci calcoli/manipolazioni/piccoli esercizi (semplici) non visti esplicitamente e specificamente a lezione, ma affrontabili alla luce delle spiegazioni e del formalismo discusso a lezione, cosi' come degli esempi discussi in classe.
Nel corso dell'anno sono previsti cinque appelli d'esame, nei seguenti periodi: gennaio, febbraio, giugno, luglio, settembre.
In sesto appello viene organizzato, in un periodo opportuno, per agevolare il sostenimento degli esami del terzo anno da parte degli studenti.
Il metodo valutativo di cui sopra si applichera' per gli studenti che sono registrati per il corso nell'anno accademico 2025-2026. Per chi e' registrato per il corso per anni precedenti (ossia studenti che non hanno ancora sostenuto l'esame), il metodo valutativo continuera' ad essere quello dell'anno accademico 2024-2025 e precedenti, ossia prova scritta seguita dopo qualche giorno da prova orale.
Per studenti erasmus: se necessario, e' possibile sostenere l'esame orale in lingua inglese.
Orario di ricevimento
Previo appuntamento via email col docente.
Sustainable Development Goals
Aims
Contents:
- Detailed study of Einstein's special relativity and of some of its main consequences.
- Covariant formulation of the laws of relativistic dynamics and of the electromagnetism (Maxwell equations).
- Lagrangian formalism and introduction to classical field theory, fundamental prerequisite for quantum-field-theory studies.
The objectives can be schematically divided into five categories:
- Knowledge and understanding: Students will learn the fundamental concepts of special relativity formulated in a covariant (manifestly invariant) way, and will be able to connect this formulation with what they have already learned in previous courses. They will also acquire basic knowledge of classical field theory.
- Applied knowledge and understanding: Students will be expected to use tensor formalism to carry out simple calculations or manipulations in the context of relativistic kinematics, classical electrodynamics, and classical field theory.
- Independent judgment: Students will develop critical thinking skills and the ability to choose the most appropriate tools, among those provided during the course, for solving specific problems.
- Communication skills: Students will be expected to acquire a correct and appropriate scientific language related to the topics covered in the course.
- Learning skills: Students will be able to deepen their understanding of specific concepts not explicitly covered during the course and to pursue advanced study independently using specialized scientific texts.
In detail, at the end of the course, the student
- will be able to use the mathematical apparatus underlying the "covariant" formulations of special relativity (4-vectors, tensors), both for the theoretical discussion of fundamental concepts and for the resolution of kinematics and electromagnetism problems
- will be able to connect the non-covariant formulation of electrodynamics with the covariant one
- will be able to derive the equations of motion for a particle or for a field (scalar or vector) starting from the action and discuss the content and conservation laws of the energy-momentum tensor
Contents
Einstein's special relativity. Covariant formulation of the relativistic dynamics and of the classical electrodynamics. Relativistically-invariant Lagrangian formalism. Classical field theory: scalar and vector fields.
Detailed program
Introduction to Lorentz transformations. Relativistic kinematics. Covariant formulation of Special Relativity (4-vectors, tensors). Lorentz group.
Refs: Barone, Jackson (Weinberg).
- Quick recap of Classical Mechanics and Electromagnetism (EM) (principle of relativity, Galilean transformations, Maxwell's equations, wave equations). Non-invariance of EM under Galilean transformations, ether hypothesis, Michelson-Morley experiment.
- Bases of Special Relativity: intertial systems, synchronising clocks, postulates, events and intervals, invariance of the speed of light and Lorentz transformations.
- Consequences of Lorentz transformations: time dilation, length contractions, proper time. Minkowski diagrams. Simultaneity, causality. Composition of velocities. Boosts in a generic direction.
- Brief discussion of the more famous "paradoxes" and of physical applications.
- Compact notation for Physics in Euclidean space: vectors, differential operators, various identities. Maxwell's equations (for fields and potentials) in compact notation.
- Special relativity in covariant notation: Minkowski space-time, metric, tensor calculus (covariant and controvariant vectors, tensors, the metric tensor, scalar quantities, differential operators).
- Covariance ("invariance in form") of physical laws and the principle of relativity.
- Lorentz group: general properties, subgroups and classification of homogeneous Lorentz transformations. Generators and algebra of the restricted Lorentz group.
- Relativistic kinematics in covariant notation: 4-velocity, 4-acceleration, energy-momentum 4-vector and its properties. Einstein's relation between energy and mass, 4-momentum conservation.
- Relativistic kinematics: exercises and applications.
- Lorentz boosts in different directions and Thomas precession.
Relativistic dynamics of a particle; Maxwell's equations in covariant form.
Refs: Barone, Jackson (Weinberg, Landau)
- Dynamics of a relativistic particle: 4-force and force-acceleration equation.
- Maxwell's equation in covariant form: 4-current, continuity equation, 4-potential, gauge transformations, Fμν tensor. Transformation laws of electric and magnetic fields. Invariants of the electromagnetic field.
- Covariant form of the Lorentz force. Interaction of EM fields with charged particles: motion in constant and uniform E and B fields.
- Charged particle with spin in an electromagnetic field.
- "Spin-orbit" interaction of an electron in a central field.
- Bargmann-Michel-Telegdi equation (+).
- Solution of the wave equation in covariant form (+). Radiation by moving charges (+).
Lagrangian formulation of the electrodynamics. Scalar and vector fields. Stress-energy tensor.
Refs: Barone, Jackson (Landau).
- Principle of stationary action and lagrangian formulation of the relativistic equations of motion for a free particle and for a charge in an electromagnetic field.
- Classical field theory: introduction and Euler-Lagrange equations.
- Scalar fields and Klein-Gordon equation.
- Stress-energy tensor.
- Vector fields: the Lagrangian of the electromagnetic field (free or interacting).
- The stress-energy tensor for the free and the interacting electromagnetic field.
- Noether's theorem (+).
(+) = advanced topic (covered only time permitting)
Prerequisites
Classical mechanics, classical electrodynamics, calculus (integration, differential equations, Dirac's delta function).
(i.e. the content of the following courses: Fisica 1, Fisica 2, Meccanica Classica and Matematica per la Fisica)
Teaching form
Frontal teaching (lessons at the blackboard)
Textbook and teaching resource
Main textbooks:
Relativita'. Principi e Applicazioni, V. Barone
Classical Electrodynamics, J.D. Jackson
Chapter 11: Special Theory of Relativity
Chapter 12: Dynamics of Relativistic Particles and Electromagnetic Fields
Other useful textbooks:
Gravitation and Cosmology, S. Weinberg
Chapter 2: Special Relativity
The Classical Theory of Fields (Volume 2), L.D. Landau e E.M. Lifshitz
Chapter 1 to 4
Spacetime Physics, E.F. Taylor e J.A. Wheeler
Relevant parts available at the teacher's webpage.
- Various notes, complementary material, and exam sheets from previous years are available at the webpage https://virgilio.mib.infn.it/~re
Semester
First term.
Assessment method
The exam will consist of an oral test, with questions asked by the instructor (it will no longer be possible to begin the oral exam by choosing a topic of your preference).
The oral exam will assess not only knowledge of all topics covered during the course, but also the ability to use appropriate formalism and to demonstrate a true understanding of the material. Typically, one question will require students to perform quick calculations/manipulations, or solve small (simple) exercises, which may not have been presented explicitly during lectures but that are solvable using the explanations, formalism, and examples discussed in class.
During the academic year, 5 exam sessions will be scheduled, in January, February, June, July, September.
A sixth session is organised, at an appropriate time, to facilitate students taking the third year exams.
The evaluation method described above applies to students registered for the course in the academic year 2025–2026. Students who registered for the course in previous academic years (up to 2024–2025) and have not yet passed the exam will follow the former evaluation method, which consists of a written test followed by an oral exam held a few days later.
If needed, Erasmus students are allowed to take the oral exam in English.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Emanuele Re
