Course Syllabus
Obiettivi
Il contenuto del corso presenta sia le idee fondamentali della Meccanica Classica, dalla formulazione di Galileo e Newton a quella di Lagrange, Hamilton e Jacobi, che le tecniche matematiche necessarie alla loro comprensione.
Lo studente, al termine del corso, avrà acquisito le seguenti competenze:
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Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente avrà acquisito una comprensione di base ma solida dei formalismi lagrangiano e hamiltoniano della meccanica classica. Sarà in grado di riconoscere il significato concettuale di simmetrie, vincoli e leggi di conservazione, e di comprendere il ruolo di questi strumenti nella formulazione teorica della fisica. -
Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Lo studente sarà in grado di applicare i metodi appresi per analizzare e risolvere problemi meccanici, sia nel caso di sistemi semplici che in presenza di vincoli. Sarà inoltre capace di riformulare un problema fisico nei termini della Meccanica Analitica, utilizzando gli strumenti matematici adeguati. -
Autonomia di giudizio
Lo studente sarà in grado di valutare criticamente le scelte metodologiche nella risoluzione di un problema fisico e di identificare i formalismi più adeguati per modellarlo, distinguendo tra le diverse ipotesi semplificative. -
Abilità comunicative
Lo studente saprà esporre con chiarezza e rigore i principali concetti della Meccanica Analitica, utilizzando correttamente il linguaggio della fisica e della matematica. Sarà in grado di presentare in modo strutturato la risoluzione di un esercizio, motivando i passaggi seguiti. -
Capacità di apprendimento
Il corso fornirà allo studente le basi concettuali e metodologiche per affrontare con successo corsi più avanzati in fisica teorica e matematica applicata, nonché per approfondire in autonomia argomenti più complessi nell’ambito della meccanica classica.
Contenuti sintetici
Richiami di meccanica newtoniana.
Equazioni differenziali del secondo ordine e loro studio qualitativo.
Meccanica Lagrangiana.
Meccanica Hamiltoniana.
Programma esteso
1) Spazio tempo ed eventi. I principi di Newton e la meccanica dei corpi puntiformi.
2) I sistemi dinamici come modellizzazione dei fenomeni fisici. Introduzione alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine. Diagrammi di fase dei sistemi newtoniani conservativi in una dimensione. Il sistema di Lotka-Volterra e le tre leggi di Volterra. Modelli compartimentali in epidemiologia: il modello SIR.
Diagrammi di biforcazione. Linearizzazione di un Sistema Dinamico nell’intorno di un punto di equilibrio. Stabilità e i teoremi di Lyapunov (enunciato).
3) Meccanica di sistemi di corpi puntiformi: equazioni cardinali.
4) Vincoli, loro classificazione e coordinate libere. Il principio di D’Alembert e la meccanica di Lagrange.
5) La Lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange. Il metodo variazionale. I moti centrali ed il problema di Keplero in meccanica Lagrangiana. Formulazione lagrangiana della forza di Lorentz. Teoria delle piccole oscillazioni. Applicazioni. Il teorema di Noether. Nozioni fondamentali della teoria del corpo rigido. Applicazioni: corpi rigidi in due dimensioni. La trottola di Lagrange.
6) La Meccanica Hamiltoniana. Le equazioni di Hamilton e la loro formulazione variazionale. Trasformazioni canoniche. Trasformazioni canoniche di contatto (puntuali). Parentesi di Poisson e costanti del moto. Trasformazioni canoniche infinitesime e il teorema di Noether in Meccanica Hamiltoniana.
7) Il teorema di Liouville sulla conservazione del volume nello spazo delle fasi. L’equazone di Hamilton-Jacobi. Integrali completi. Cenni alla separazione delle variabli.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Analisi I, Algebra Lineare e Geometria, Fisica I.
Modalità didattica
- Lezioni frontali (5 CFU) in modalità erogativa. Gli studenti parteciperanno a lezioni frontali in cui il docente presenterà il materiale teorico, dimostrerà le tecniche di risoluzione dei problemi.
- Esercitazioni (3 CFU), la cui modalità sarà in parte erogativa e in parte interattiva. Nella prima modalità gli studenti parteciperanno a esercitazioni di tipo frontale in cui il docente applicherà le tecniche esposte nella parte teorica a problemi significativi di meccanica classica. Oltre a queste lezioni frontali, il corso incorporerà metodi di didattica interattiva. Ciò comprenderà attività di gruppo, discussioni e sessioni pratiche di risoluzione dei problemi per migliorare la comprensione e favorire la partecipazione attiva degli studenti. La modalità interattiva riguarderà il 10% circa delle esercitazioni.
La videoregistrazione di lezioni ed esercitazioni sarà disponibile.
Materiale didattico
Testi di riferimento:
L.D. Landau. E. M. Lifshits, Corso di Fisica Teorica, vol. I, "Meccanica".
H Goldstein, C. Poole, J. Safko, “Meccanica Classica”.
Dispese recuperabili dal sito e-learning del corso.
Appunti di parte delle lezioni pubblicate sulla pagina e-learning.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
I semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame scritto (con eventuale orale). Lo scritto prevede la discussione e la soluzione di problemi significativi di Sistemi Dinamici, Meccanica Lagrangiana e Meccanica Hamiltoniana.
Sono previsti due scritti parziali durante lo svolgimento del corso, il primo entro ottobre ed il secondo a fine novembre/inizio dicembre. La parte scritta dell'esame viene completata in uno degli appelli successivi alla fine del corso, entro l'appello di luglio. Successivamente, i candidati dovranno (ri)affrontare l'intero set di esercizi.
In caso di assenza ad uno gli scritti parziali, o esito insufficiente, sarà possibile riaffrontare l'esercizio pertinente al primo completamento della parte scritta (entro luglio).
Il primo scritto parziale verte sull'analisi qualitativa dei sistemi dinamici nel piano.
Il secondo sulla meccanica Lagrangiana. Lo scritto viene completato dopo la fine del corso da un problema di meccanica Hamiltoniana. Sono previste tre sessioni di esami: invernale (gennaio-febbraio), estiva (giugno-luglio) e autunnale (settembre).
L'orale prevede una discussione dell'elaborato scritto e la esposizione di alcuni punti fondamentali del programma. Le domande saranno scelte (dal docente) all'interno di una lista che verrà comunicata alla fine del corso agli studenti. All'orale può essere inoltre richiesto allo studente di affrontare problemi analoghi a quelli svolti durante il corso.
Lo scritto è volto a verificare il raggiungimento dei punti 1), 2), 3), 4) e 5) della sezione "Obiettivi", ed il suo peso, ai fini della votazione, è 2/3 nel caso in cui lo studente sostenga anche l’orale (vedi sotto).
L'orale riguarda più specificatamente i punti 1), 4) e 5) della sezione "Obiettivi".
Nella valutazione dello scritto si terrà conto, oltre all'abilità nella soluzione di esercizi, anche la consapevolezza teorica dello studente dell’intero programma. Se dallo scritto si evince questa capacità, e la valutazione è di almeno 22/30, l’elaborato scritto verrà considerato sufficiente per la valutazione complessiva (senza necessità di prova orale). In tal caso, il voto finale proposto sarà uguale a quello conseguito nella prova scritta se questo è minore o uguale a 27/30; 27/30 se maggiore.
Nel caso di scritto con valutazione tra 12/30 e 21/30 compresi lo studente dovrà affrontare la prova orale per il superamento dell'esame. Il docente potrà richiedere di affrontare l’orale anche a studenti con scritto con valutazione maggiore di 21/30 per i quali non si evinca una chiara consapevolezza teorica dell’intero programma.
Lo studente potrà comunque richiedere di affrontare la prova orale (nella stessa sessione), a condizione che allo scritto abbia ottenuto una valutazione complessiva di almeno 12/30. Tale richiesta dovrà essere fatta entro un giorno dalla pubblicazione degli esiti degli scritti.
Nel caso in cui l'esame si componga di scritto e orale, il peso del voto dello scritto sulla votazione complessiva è 2/3.
Sarà possibile sostenere l'esame in lingua inglese, previa richiesta da comunicare per email ai docenti almeno una settimana prima dell'esame scritto.
Orario di ricevimento
Su appuntamento (eventualmente anche a piccoli gruppi) da richiedersi via e-mail o e-learning.
Sustainable Development Goals
Aims
The content of the Course presents the basic ideas of Classical mechanics, from the Galileo-Newton formulation to those of Lagrange, Hamilton and Jacobi. The necessary mathematical tools for a proper comprehenson of these fundamental theories will be introduced and discussed.
The student, by the end of the course, will have acquired the following skills:
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Knowledge and understanding
The student will have acquired a solid but foundational understanding of the Lagrangian and Hamiltonian formalisms of classical mechanics. They will be able to recognize the conceptual meaning of symmetries, constraints, and conservation laws, and understand the role of these tools in the theoretical formulation of physics. -
Applying knowledge and understanding
The student will be able to apply the methods learned to analyze and solve mechanical problems, both in simple systems and in the presence of constraints. They will also be capable of reformulating a physical problem using the tools of Analytical Mechanics and applying appropriate mathematical techniques. -
Making judgements
The student will be able to critically assess methodological choices in solving a physical problem and identify the most appropriate formalism for modeling it, while distinguishing between various simplifying assumptions. -
Communication skills
The student will be able to clearly and rigorously present the main concepts of Analytical Mechanics, using the correct language of physics and mathematics. They will be able to structure and explain the solution to a problem, justifying each step taken. -
Learning skills
The course will provide the student with the conceptual and methodological foundations needed to successfully approach more advanced courses in theoretical physics and applied mathematics, as well as to independently deepen their understanding of more complex topics in classical mechanics.
Contents
Newtonian Mechanics (a reminder).
Second order differential equations. Qualitative analysis.
Lagrangian Mechanics.
Hamiltonian mechanics.
Detailed program
1) Space-time and events. Newton's principia and the dynamics of point masses.
2) Dynamical systems as mathematical models for physical phenomena. Basic aspects of the theory of second order Ordinary Differential Equations. Phase diagrams of conservative Newtonian systems in one dimension. The Lotka-Volterra system and Volterra’s laws. Compartmental models in epidemiology: the SIR model.
Bifurcation diagrams. Linearization of a dynamical system around an equilibrium point. Stability and the theorems of Lyapunov (statement).
3) Dynamics of systems of point masses.
4) Constraints, degrees of freedom, and free coordinates. The D'Alembert principle and Lagrangian Mechanics.
5) The Lagrangian and the Euler-Lagrange equations. Variational principles. Central motions and the Kepler problem. Lagrangian formulation of the Lorentz force. Theory of small oscillations. Further applications. Noether’s theorem. Basic notions of the theory of rigid bodies. Applications: rigid bodies in the plane. The Lagrange top.
6) Hamiltonian Mechanics: Hamilton equations and their variatiional formulation. Canonical transformations. Canonical contact (point) transformations. Poisson brackets and constants of the motion. Infinitesimal canonical transformations and Noether’s theorem in Hamiltonian Mechanics.
7) Liouville theorem on the conservation of volume in phase space. The Hamilton-Jacobi equation. Complete integrals. Introduction to the notion of separation of variables
Prerequisites
The content of the courses of Calculus I, Linear Algebra and Geometry, Physics I.
Teaching form
- Lectures (5 CFU) via expository teaching. Students will attend lectures where the instructor will present theoretical material and demonstrate problem-solving techniques.
- Classes (3 CFU) via mixed expository and interactive teaching, In expository sessions, students will attend expository-tipe classes where the instructor will apply the theoretical apparatus exposed in the lectures to solve problems in classical mechanics. Besides these expository classes, the course will incorporate interactive teaching methods. This will involve group activities, discussions, and hands-on problem-solving sessions to enhance understanding and foster active participation. We expect that some 10 of classes will be delivered in the interactive way.
Videorecordings of lectures and classes will be available online.
Textbook and teaching resource
References:
L.D. Landau, E.M. Lifshits, “Course of Theoretical Physics, Vol. I: Mechanics” (Pergamon)
H Goldstein, C. Poole, J. Safko, “Classical Mechanics”.
Lecture Notes available on the e-learning page.
Notes of (some of) the lectures, available on the e-learning page.
Semester
First semester
Assessment method
Written exam (with possible oral exam). The written exam involves the discussion and solution of significant problems in Dynamical Systems, Lagrangian Mechanics, and Hamiltonian Mechanics.
There will be two partial written exams during the course, the first in October and the second in late November early December. The written part of the exam will be completed in one of the exam sessions following the end of the course, by the July exam session. Subsequently, candidates will have to (re)take the entire set of exercises.
In case of absence from one of the partial written exams, or insufficient results, it will be possible to retake the relevant exercise upon first completion of the written part (by July).
The first partial written exam focuses on the qualitative analysis of dynamical systems in the plane. The second focuses on Lagrangian mechanics. The written exam is completed after the end of the course with a problem in Hamiltonian mechanics. There will be three exam sessions: Winter session (January- February), Summer Session (June-July), Fall Session (September).
The oral exam involves a discussion of the written paper and the presentation of some fundamental points of the program. The questions will be chosen (by the instructor) from a list that will be communicated to students at the end of the course. During the oral exam, students may also be asked to address problems similar to those covered during the course.
The exam aims to verify the achievement of points 1), 2), 3), 4), and 5) of the “Objectives” section.
In addition to the ability to solve exercises, the written assessment will also take into account the student's theoretical knowledge of the entire program. If this ability is evident from the written exam, and the grade is at least 22/30, the written exam will be considered sufficient for the overall assessment (without the need for an oral exam). In this case, the final grade will be equal to the grade obtained in the written exam if it is less than or equal to 27/30; 27/30 if higher. Students may request to take the oral exam (in the same exam session) if their written exam score is higher than 12/30.
In the case of a written test with a grade between 12/30 and 21/30, the student must take the oral exam in order to pass the course. The instructor may also require students with a written test grade higher than 21/30 to take the oral exam if they do not demonstrate a clear theoretical understanding of the entire program.
Students may still request to take the oral exam (in the same session), provided that they have obtained an overall written exam grade of at least 12/30. This request must be made within one day of the publication of the written exam results.
If the exam consists of a written and an oral component, the written exam will account for 2/3 of the overall grade.
It will be possible to take the exam in English, upon request to be communicated by email to the teachers at least one week before the written exam.
Office hours
Meetings with individual students or small groups thereof are to be agreed via e-mail or the e-learning page.
