Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso ha l’obiettivo di stimolare una comprensione critica dei concetti matematici, aiutando gli
studenti a riconoscere e utilizzare strumenti formali nella loro formazione, in particolare in vista
dell’applicazione in ambito economico, statistico e finanziario. L’insegnamento fornisce le nozioni
fondamentali di algebra lineare, successioni e serie numeriche, calcolo integrale, matematica
finanziaria e cenni di strumenti derivati, presentandole come strumenti utili per analizzare e
interpretare fenomeni legati all’economia e alla finanza. La parte teorica sarà affiancata da
esercitazioni in aula, con l’obiettivo di supportare lo sviluppo di un metodo autonomo nella
risoluzione di esercizi.
Risultati di apprendimento attesi (Descrittori di Dublino):
1. Conoscenza e comprensione
Gli studenti acquisiranno una solida comprensione dei principali contenuti trattati, inclusi
successioni e serie numeriche, calcolo integrale, algebra lineare, programmazione lineare,
matematica finanziaria tradizionale, strumenti obbligazionari e derivati.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Saranno in grado di applicare con efficacia i metodi matematici per risolvere problemi
concreti coerenti con il programma del corso e per interpretare situazioni reali di ambito
economico e finanziario.
3. Autonomia di giudizio
Svilupperanno capacità logiche e analitiche utili per affrontare e risolvere problemi
complessi, anche di natura interdisciplinare, valutando criticamente i risultati ottenuti.
4. Abilità comunicative
Sapranno utilizzare un linguaggio matematico e finanziario chiaro e rigoroso, in modo da
esprimere con precisione e coerenza le conoscenze acquisite e comunicare efficacemente
idee, procedure e risultati.
5. Capacità di apprendimento
Gli studenti svilupperanno un metodo di studio autonomo, che consentirà loro di affrontare
con maggiore consapevolezza e successo studi successivi di livello più avanzato.
Contenuti sintetici
Successioni e serie, integrali, algebra lineare e programmazione lineare, scelta in condizioni di incertezza, nozioni di base di matematica finanziaria e titoli derivati.
Programma esteso
1) Successioni e serie
- richiami sulle successioni
- definizione di serie: carattere e somma
- condizione necessaria per la convergenza
- serie geometrica, serie telescopica, serie armonica
- serie a termini di segno costante: criteri di convergenza
- serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz
-
Integrali
- definizione di integrale di Riemann e prime proprietà
- teoremi sugli integrali
- calcolo di primitive: integrazione per parti, per sostituzione, integrazione di funzioni razionali.
- Integrali impropri
- Criteri di convergenza di integrali impropri -
Algebra lineare
- matrici
- operazioni con le matrici
- sistemi lineari: teorema di Rouché-Capelli
- determinante
- matrice inversa -
Programmazione lineare.
- Formalizzazione del problemi di P.L.
- Soluzione geometrica
- Soluzione algebrica e analisi di sensitività
- Cenni sulla teoria della dualità. -
Matematica finanziaria tradizionale
- Operazioni finanziarie elementari: montante, interesse, sconto
- Leggi di capitalizzazione e leggi di attualizzazione.
- Tassi di interesse e tassi di sconto. Tassi equivalenti. Forza d'interesse.
- Scindibilità. Teorema caratterizzante le leggi scindibili.
- Rendite e loro classificazione. Calcolo di valori attuali.
- Indici temporali: scadenza, scadenza media aritmetica, duration.
- Piani di ammortamento
- Criteri di scelta tra operazioni finanziarie
- Tasso interno di rendimento: esistenza e proprietà -
Titoli obbligazionari
- i tipi piu' comuni di titoli obbligazionari
- rischio di tasso e duration
- calcolo e proprietà della duration
- calcolo della duration in Excel
- significato geometrico della duration
- idea intuitiva della immunizzazione
- convessità -
Introduzione agli strumenti derivati
- Generalità sui derivati: opzioni, forward, futures
- Meccanismo del marking to market, uguaglianza teorica tra prezzi forward e futures
- Payoff delle posizioni elementari in opzioni, vincoli di Merton
- Prime applicazioni del principio di non arbitraggio
- Il modello binomiale uniperiodale e biperiodale, valutazione di opzioni europee e americane
- La formula di Black-Scholes
- Analisi di sensitività nel modello di Black-Scholes: calcolo di delta e gamma
Prerequisiti
Funzioni in una o più variabili, nozioni base di Probabilità e Statistica.
L'esame del corso può essere effettuato solo dopo aver verbalizzato l'esame di Matematica Generale I.
Metodi didattici
Il corso avverrà prevalentemente in presenza con lezioni ed esercitazioni frontali. Il docente si riserva la possibilità di svolgere una piccola percentuale delle ore di lezione/esercitazione (e comunque al di sotto del 30% delle ore totali) da remoto in formato sincrono (in streaming).
L'insegnamento prevede:
-56 ore di lezione;
-24 ore di esercitazione.
Circa l'80% del corso sarà in modalità erogativa, il restante 20% in modalità interattiva.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame si compone di uno scritto suddiviso in domande aperte ed esercizi e di una prova orale facoltativa. Il voto finale terrà conto della parte scritta e (se sostenuta) di quella orale.
Per gli studenti che abbiano già superato l'esame di Matematica Generale I, sono previste due prove scritte in itinere e un'eventuale prova finale orale facoltativa. Può accedere alla seconda prova in itinere solo chi supera la prima.
Testi di riferimento
- “Successioni, serie e integrali”, Manuale modulare di Metodi Matematici, vol. 5, a cura di Giovanna Carcano, edizioni Giappichelli Torino
- “Algebra lineare”, Manuale modulare di Metodi Matematici, vol. 4, a cura di Maria Ida Bertocchi, edizioni Giappichelli Torino
- “Elementi di Matematica Finanziaria e cenni di Programmazione Lineare”, S. Stefani, A. Torriero e G. Zambruno, edizioni Giappichelli Torino
- “Matematica Finanziaria classica e moderna”, F. Cacciafesta, edizioni Giappichelli Torino
- "Opzioni e futures", J. Hull
- "Esercizi di matematica per l'economia: Serie, integrali, algebra lineare, programmazione lineare", E. Mastrogiacomo, 2018, Ledizioni
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course aims to foster a critical understanding of mathematical concepts, helping students to
recognize and use formal tools in their education, particularly with a view to their application in the
economic, statistical, and financial fields. The course provides the fundamental notions of linear
algebra, numerical sequences and series, integral calculus, financial mathematics, and an
introduction to derivative instruments, presenting them as useful tools for analyzing and interpreting
phenomena related to economics and finance. The theoretical component will be complemented by
classroom exercises, with the goal of supporting the development of an independent approach to
problem-solving.
Expected Learning Outcomes (Dublin Descriptors):
1. Knowledge and understanding
Students will acquire a solid understanding of the main topics covered, including numerical
sequences and series, integral calculus, linear algebra, linear programming, traditional
financial mathematics, bonds, and derivative instruments.
2. Applying knowledge and understanding
Students will be able to effectively apply mathematical methods to solve practical problems
consistent with the course syllabus and to interpret real-world situations in the economic and
financial domains.
3. Making judgements
Students will develop logical and analytical skills useful for tackling and solving complex
problems, including those of an interdisciplinary nature, and for critically evaluating the
results obtained.
4. Communication skills
Students will be able to use clear and precise mathematical and financial language, enabling
them to accurately and coherently express the knowledge acquired and to communicate
ideas, procedures, and results effectively.
5. Learning skills
Students will develop an independent study method, enabling them to approach subsequent,
more advanced studies with greater awareness and success.
Contents
Sequences and series, integrals, linear algebra and programming, choice under uncertainty, basic notions on financial mathematics and on derivatives
Detailed program
1) Sequences and series: definitions and analysis of the character of series by means of the main criteria.
2) Integrals: definitions, main results and computation.
3) Linear algebra: matrices, vectors and linear systems.
4) Linear programming.
5) Financial mathematics.
6) Bonds and immunization.
7) Introduction to derivatives: binomial model and Black-Scholes model.
Prerequisites
Functions in one and more variables, basic notions of Probability and Statistics.
The exam of the present course can be done only after passing and completing the Matematica Generale I's examination.
Teaching methods
The lessons will be held mainly in presence with traditional lectures and exercises. A small percentage (anyway, smaller than 30%) could be taken online (in streaming) in case of necessity.
The course consists in:
-56 hours of lectures;
-24 hours of exercises.
Around 80% of the course will be done in erogative mode, the remaining 20% in interactive mode.
Assessment methods
The final exam is composed by a written part (divided in open questions and exercises) and an optional oral part. The final mark takes into account the scores of the parts above.
For the students that have already passed the exam of Matematica Generale I, two written "in itinere" exams and a further optional oral exam are provided. The second "in itinere" exam is accessible only by students who passed the first one.
Textbooks and Reading Materials
- “Successioni, serie e integrali”, Manuale modulare di Metodi Matematici, vol. 5, a cura di Giovanna Carcano, edizioni Giappichelli Torino
- “Algebra lineare”, Manuale modulare di Metodi Matematici, vol. 4, a cura di Maria Ida Bertocchi, edizioni Giappichelli Torino
- “Elementi di Matematica Finanziaria e cenni di Programmazione Lineare”, S. Stefani, A. Torriero e G. Zambruno, edizioni Giappichelli Torino
- “Matematica Finanziaria classica e moderna”, F. Cacciafesta, edizioni Giappichelli Torino
- "Opzioni e futures", J. Hull
- "Esercizi di matematica per l'economia: Serie, integrali, algebra lineare, programmazione lineare", E. Mastrogiacomo, 2018, Ledizioni
