Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il principale obiettivo di questo insegnamento è fornire una preparazione rigorosa sul calcolo differenziale ed integrale in una variabile.
- Conoscenza e comprensione Questo insegnamento fornisce conoscenze e capacità di comprensione relativamente a:
- Linguaggio matematico e metodo di studio per argomenti di carattere matematico
- Natura dei numeri interi e dei numeri reali, definizione e manipolazione di successioni e serie numeriche
- Classi di funzioni reali e loro proprietà
- Natura e proprietà degli integrali e delle funzioni integrali rilevanti in statistica
- Capacità di applicare conoscenza e comprensione Alla fine dell'insegnamento e del loro lavoro personale le studentesse / gli studenti saranno in grado di:
- Schematizzare un problema di carattere tecnico o scientifico, affrontandolo anche attraverso la creazione di opportuni esempi, spezzare il problema in passi e individuare eventuali problemi analoghi che possano fornire indicazioni
- Comprendere ed usare il linguaggio matematico presente in libri o articoli di matematica o statistica
- Utilizzare criticamente gli strumenti del calcolo differenziale e del calcolo integrale in una variabile
- Svolgere autonomamente calcoli relativi a serie numeriche, derivate, integrali, funzioni di distribuzione
L'insegnamento consente alle studentesse / agli studenti di acquisire solide basi nell'uso del calcolo differenziale e integrale in una variabile, necessarie in qualsiasi contesto lavorativo, e che rappresentano una base imprescindibile per il proseguimento del percorso universitario.
- Autonomia di giudizio L’insegnamento mira a sviluppare la capacità di analisi critica e autonoma di concetti astratti, favorendo:
- il riconoscimento della struttura logica di un problema matematico;
- la scelta appropriata degli strumenti analitici per affrontarlo;
- l’interpretazione rigorosa dei risultati ottenuti.
- Abilità comunicative Lo studente sarà incentivato a esprimere con chiarezza argomentazioni matematiche complesse, utilizzando:
- il linguaggio matematico formale;
- una esposizione logica e coerente.
- Capacità di apprendere Il corso rafforzerà l’attitudine all’apprendimento autonomo e continuo, fornendo:
- strumenti teorici e metodologici per lo studio di testi avanzati;
- competenze matematiche per affrontare corsi successivi;
- l’abitudine alla formalizzazione e alla generalizzazione.
Contenuti sintetici
Numeri reali.
Funzioni reali di una variabile reale.
Successioni e serie.
Calcolo differenziale in una variabile.
Sviluppi e serie di Taylor.
Integrale di Riemann in una variabile.
Funzioni integrali e funzioni di ripartizione.
Programma esteso
Numeri reali. Proprietà metriche ed aritmetiche. Potenze con esponente reale. Equazioni e disequazioni. Estremo superiore. Limiti di successioni. Successioni monotone. Forme di indecisione. Il numero e. Serie numeriche. La serie geometrica.
Limiti di funzioni e proprietà delle funzioni continue. Funzioni composte e loro limiti. Derivate. Studio del comportamento locale e globale di una funzione. Il teorema del valor medio. Derivate successive. Convessità. Sviluppi e serie di Taylor. La serie esponenziale.
Integrale di Riemann. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Tecniche di integrazione.
Integrale di Riemann generalizzato: criteri di convergenza. Serie numeriche e integrali generalizzati. La funzione Gamma. Funzioni integrali e loro grafici. Funzioni di ripartizione e loro grafici.
Prerequisiti
- Algebra elementare (disequazioni di II grado e irrazionali, esponenziali e logaritmi)
- Geometria Euclidea elementare
- Geometria Analitica elementare
- Trigonometria (funzioni trigonometriche, equazioni e disequazioni)
- Proprietà elementari dei numeri interi e dei numeri razionali
Metodi didattici
72 ore di lezioni frontali, su materiale teorico ed esercizi. Attivita' di tutoraggio.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame scritto, con eventuale esame orale solo su richiesta del docente o dello studente. La prova orale puo` essere richiesta da uno studente solo se ha conseguito un voto di almeno 18/30 nella prova scritta. Non ci sono prove intermedie.
La prova scritta consiste di esercizi relativi al programma dell'insegnamento.Testi e soluzioni dettagliate di prove scritte degli scorsi anni sono disponibili sulla pagina del corso. Scopo della prova scritta è verificare la capacità di svolgere in forma corretta e completa esercizi di analisi, evidenziando sia la capacità di calcolo sia la capacità di ragionamento e di utilizzo autonomo di strumenti acquisiti seguendo l'insegnamento.
Durante la prova orale, che generalmente include scrittura su carta o lavagna, si richiede la conoscenza e la comprensione delle dimostrazioni dei teoremi svolte durante le lezioni, e la capacità di esporre e discutere le definizioni e le tecniche di calcolo introdotte. In relazione all'esito della prova scritta, durante la prova orale può essere richiesto anche lo svolgimento di esercizi.
Testi di riferimento
Libro di testo:
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2008.
Altro materiale utile:
M. Bramanti, G. Travaglini, Matematica. Questione di Metodo, Zanichelli.
M. Bramanti, Precalculus, Progetto Leonardo, Esculapio.
M. Bramanti, Esercizi di Calcolo Infinitesimale e Algebra Lineare, Seconda Edizione, Progetto Leonardo, Esculapio.
M. Boella, Analisi matematica e algebra lineare, vol.1, Pearson.
Appunti, video di tutte le lezioni ed esercizi svolti saranno disponibili sulla pagina elearning del corso.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre (indicativamente da ottobre a gennaio)
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
This course mainly aims at providing a rigorous introduction to differential and integral calculus for functions of one variable.
- Knowledge and understanding This course provides knowledge and understanding of:
- The language of Mathematics and the method of studying math issues;
- the nature of integer and real numbers, definition and handling of numerical sequences and series;
- families of functions and their properties;
- nature and properties of integrals which are relevant in Statistics.
- Ability to apply knowledge and understanding At the end of the course and of their personal work the students will be able to:
- Schematise a technical or scientific problem, to approach this latter by finding suitable examples, to break the problem into steps, to recognise similar problems which may suggest a solution
- Understand the mathematical language used in math or statistical books or papers
- Use the tools of differential and integral calculus in a critical way
- Carry out by herself/himself calculations related to numerical series, differentiation, integration, and cumulative distribution functions
The course provides a solid background of one dimensional differential and integral calculus, needed in every working environment. Moreover such a background is fully necessary for the completion of statistical studies.
- Making judgements The course aims to foster independent and critical thinking, especially in the context of abstract concepts, through:
- identifying the logical structure of mathematical problems;
- choosing appropriate analytical tools to solve them;
- interpreting and validating results with rigor.
- Communication skills Students will be encouraged to clearly articulate complex mathematical arguments using:
- formal mathematical language;
- logical and coherent exposition.
- Learning skills The course will strengthen the student's ability to learn independently and continuously by providing:
- theoretical and methodological tools for reading advanced texts;
- mathematical skills necessary to approach subsequent courses;
- familiarity with formalization and abstraction.
Contents
Real numbers.
Real functions of a real variable.
Sequences and series.
Differential calculus of one variable. Functions.
Taylor series.
Integral calculus of one variable.
Integral functions and cumulative distribution functions.
Detailed program
Real numbers: metric and arithmetic properties. Powers with a real exponent. Equations and inequalities. Supremum. Sequences and limits. Monotone sequences. Indeterminate forms. The number "e". Computing some limits. Series. Geometric series.
Limits and continuity of functions. Composition of functions. Differentiation of a function. Using differential calculus to draw the graph of a function. The mean value theorem. Higher order derivatives. Convexity. Taylor expansions and Taylor series. The exponential series.
Riemann integral. The fundamental theorem of Calculus. Improper integrals. Numerical series and improper integrals. The Gamma function. Cumulative distribution functions and their graphs.
Prerequisites
- Algebra: inequalities (I and II degree, irrational, exponential, logarithmic).
- Euclidean Geometry.
- Analytic Geometry.
- Trigonometry (trigonometric functions, equations and inequalities).
- Elementary properties of integer and rational numbers.
Teaching methods
72 hours of frontal lectures, on theoretical contents and exercises. Tutoring sessions.
Assessment methods
Written exam, and optional oral exam, only if requested either by the teacher or a student. An oral examination may be requested by a student only after achieving a mark of at least 18/30 in a written exam. No midterm exam.
The written exam consists of exercises on the contents of the course. Texts and detailed solutions of several written exams of past years are available on the course's elearning site. The aim of the written exam is to check the ability to solve Calculus problems in a correct and detailed way, and to show math skills and ability of reasoning and applying the tools provided during the course.
The oral exam, which generally includes writing on paper or a board, checks knowledge and understanding of the proofs of the theorems presented during the course, as well as the ability to introduce and discuss definitions and computational techniques. Depending on the outcome of the written exam, solving some exercises may be part of the oral exam.
Textbooks and Reading Materials
Main reference:
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2008.
Useful references:
M. Bramanti, G. Travaglini, Matematica. Questione di Metodo, Zanichelli.
M. Bramanti, Precalculus, Progetto Leonardo, Esculapio.
M. Bramanti, Esercizi di Calcolo Infinitesimale e Algebra Lineare, Seconda Edizione, Progetto Leonardo, Esculapio.
M. Boella, Analisi matematica e algebra lineare, vol.1, Pearson.
Notes, videos of all the lessons and solved exercises will be available on the course's elearning site.
Semester
First semester (roughly from October to January)
Teaching language
Italian
Sustainable Development Goals
Staff
-
Sandro Mattarei
