Syllabus del corso
Obiettivi
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Conoscenze e capacità di comprensione
Al termine del corso, lo studente/la studentessa avrà acquisito una comprensione approfondita delle principali strutture algebriche (gruppi, anelli, campi) e dei metodi fondamentali dell’algebra astratta. Sarà in grado di riconoscere, descrivere e confrontare queste strutture, comprendendone le proprietà e le relazioni tra di esse. -
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente/la studentessa sarà in grado di applicare i concetti teorici appresi per risolvere problemi di algebra, sia attraverso esercizi di routine che in contesti più complessi che richiedano una rielaborazione autonoma della teoria. Sarà in grado di utilizzare metodi algebrici per formalizzare e affrontare problemi in contesti matematici e, dove opportuno, interdisciplinari. -
Autonomia di giudizio
Lo studente/la studentessa svilupperà la capacità di analizzare problemi algebrici in modo critico, valutando diverse strategie risolutive e scegliendo gli strumenti più adeguati. Sarà in grado di formulare congetture e di argomentarne la validità attraverso ragionamenti logici rigorosi. -
Abilità comunicative
Lo studente/la studentessa sarà in grado di esprimere concetti, definizioni, teoremi e dimostrazioni in modo chiaro e rigoroso, utilizzando il linguaggio formale dell’algebra. Sarà anche in grado di discutere soluzioni e strategie con colleghi e docenti, sia oralmente che per iscritto. -
Capacità di apprendere
Il corso fornirà agli studenti/gli studentesse gli strumenti concettuali e metodologici necessari per proseguire in modo autonomo lo studio dell’algebra e di aree matematiche affini. Saranno incoraggiati a sviluppare un approccio attivo all’apprendimento, attraverso la risoluzione di problemi, la consultazione di testi avanzati e la riflessione personale sul significato e sull’applicazione dei concetti.
Contenuti sintetici
Insiemi, relazioni, operazioni; Aritmetica intera e modulare; Elementi di teoria dei gruppi e degli anelli; Algebre polinomiali.
Programma esteso
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Insiemi, relazioni, operazioni: assioma della scelta; relazioni d'ordine; relazioni d'equivalenza; congruenze.
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Aritmetica dell'insieme Z degli interi relativi. Aritmetica modulare.
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Elementi di teoria dei gruppi: sottogruppi, sottogruppo generato da un sottoinsieme; gruppi ciclici; laterali di un sottogruppo, teorema di Lagrange; congruenze in un gruppo; sottogruppi normali; morfismi di gruppo e gruppi quoziente; teoremi fondamentali sui morfismi;automorfismi; prodotti diretti e semidiretti; gruppo simmetrico e gruppo alterno, gruppi di permutazioni; azioni di gruppo (G-insiemi): rappresentazione regolare, azioni per coniugio, orbite di un'azione di gruppo (equazione delle orbite, esempi); i teoremi di Sylow.
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Elementi di teoria degli anelli: domini, corpi, campi; morfismi di anello: ideali, anelli quoziente, teoria elementare dei morfismi; teorema cinese dei resti; divisibilità in un dominio; immersione di un dominio in un campo; ideali primi e ideali massimali; domini a ideali principali; domini a fattorizzazione unica.
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Algebre polinomiali: polinomi in una variabile su un campo: decomposizione di un polinomio in fattori irriducibili, radici di un polinomio. Test di irriducibilità. Costruzione di campi mediante polinomi irriducibili.
Prerequisiti
Nozioni standard di matematica generale impartite nella scuola secondaria.
Modalità didattica
L'insegnamento prevede Lezioni frontali (48 ore, 6 CFU) ed Esercitazioni (24 ore, 2CFU). Nelle lezioni vengono presentati definizioni, risultati e teoremi rilevanti e si forniscono esempi e analisi di problemi dove vengono utilizzate le nozioni introdotte. Nelle esercitazioni vengono proposti e risolti esercizi relativi alle tematiche presentate a lezione.
Il corso viene erogato in lingua italiana. Sia le lezioni che le esercitazioni sono svolte in modalità erogativa.
Materiale didattico
Testo di riferimento:
I. N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti
Saranno fornite, su questa piattaforma, agli studenti/studentesse delle note integrative su alcuni argomenti del corso.
Altri testi consigliati:
Jacobson, Basic Algebra I, Freeman & Co, 1985
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Semestre II
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Prova scritta obbligatoria e prova orale obbligatoria. Valutazione con voto in trentesimi 18-30/30.
Nella prova scritta si valutano la conoscenza dei contenuti del corso e le competenze acquisite, mediante la risoluzione di problemi. Verranno valutati la correttezza delle risposte, l'appropriatezza del linguaggio matematico utilizzato e il rigore e la chiarezza dell'esposizione. Sono previste 2 prove intermedie,
che, se superate, consentono di accedere all'orale.
La prova orale obbligatoria consiste in un’interrogazione sul programma svolto e può essere sostenuta solo in caso di sufficienza nella prova scritta.
Nel corso dell’anno sono previsti 6 appelli d’esame e 2 prove intermedie.
Orario di ricevimento
Per appuntamento da fissarsi previa comunicazione con posta elettronica.
Sustainable Development Goals
Aims
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Knowledge and understanding
At the end of the course, students will have acquired a solid understanding of the fundamental algebraic structures (groups, rings, fields) and the core methods of abstract algebra. They will be able to recognize, describe, and compare these structures, understanding their properties and interrelations. -
Applying knowledge and understanding
Students will be able to apply the theoretical concepts learned to solve algebraic problems, both through routine exercises and in more complex situations requiring autonomous reasoning. They will be capable of using algebraic methods to formalize and address problems in mathematical and, where appropriate, interdisciplinary contexts. -
Making judgements
Students will develop the ability to critically analyze algebraic problems, evaluate different solution strategies, and choose the most appropriate tools. They will be able to formulate conjectures and support their validity through rigorous logical reasoning. -
Communication skills
Students will be able to clearly and rigorously express concepts, definitions, theorems, and proofs, using the formal language of algebra. They will also be able to discuss solutions and strategies with peers and instructors, both orally and in writing. -
Learning skills
The course will equip students with the conceptual and methodological tools necessary to pursue further studies in algebra and related mathematical areas independently. Students will be encouraged to adopt an active approach to learning, through problem-solving, consulting advanced texts, and reflecting on the meaning and application of algebraic concepts.
Contents
Sets, Relations, Operations; Modular Arithmetic; Elements of Group and Ring Theory; Polynomials;
Detailed program
A) Sets, Relations, operations: Axiom of choice; order relations; equivalence relations; congruences.
B) Arithmetic properties of the set of integers Z; modular arithmetics; residue classes.
C) Basics of Group Theory; subgroups, subgroup generated by a subset; cyclic groups; cosets; Lagrange’s Theorem; congrunces in a group; normal subgroups; group homomorphisms and quotient groups; main theorems on homomorphisms; automorphisms; direct and semidirect products; symmetric and alternating groups; permutation groups; group actions (G-sets); regular representation; Cayley’s Theorem; conjugation action; orbits: examles and applications; Sylow’s Theorems.
D) Basics on Ring Theory: domains, division rings, fields; ring homomorphisms: ideals, quotint rings, elementary theory of homomorphisms; Chinese remainder Theorem; divisibility in a domain; embeddings of domains into fields; prime and maximal ideals; principal ideal and unique factorization domains.
E) Polynomial algebras: polynomials in one variable over a field; decomposition into irreducible factors.
Prerequisites
Basic notions of high school algebra and analysis
Teaching form
The course is organized in Lectures (48 hours, 6 CFU) and Exercise classes (24hours, 2CFU). Definitions, results and relevant theorems will be presented in Lectures, providing examples and problems making use of the notions introduced.
Textbook and teaching resource
Textbook
I. N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti
Written notes on some topics available on this platform.
Suggested readings:
Jacobson, Basic Algebra I, Dover, 1985
Semester
Second semester
Assessment method
Written and oral examination (18-30/30).
The written examination evaluates the knowledge of the course contents and the ability to apply them to problem solving. The correctness of the answers, the mathematical language as well as the rigor and clarity of the exposition will be evaluated. Two partial tests, during the course, allow you to take the oral test.
The oral examination consists of an interview on the course contents and can only be taken if the written test is sufficient.
During the year there are 6 exam sessions and 2 ongoing tests.
Office hours
By appointment via e-mail.
