Course Syllabus
Obiettivi
Introduzione alle varietà differenziali e complesse e alla topologia algebrica.
1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding)
Gli studenti acquisiranno una solida conoscenza degli strumenti fondamentali della geometria differenziale e della topologia algebrica, con particolare riferimento a:
- strutture differenziabili su varietà lisce, tensori, forme differenziali e coomologia de Rham;
- varietà complesse e olomorfe, con cenni di geometria conforme e strutture di campo;
- topologia algebrica di base, incluse omotopia, gruppi fondamentali e teoria della coomologia.
Queste conoscenze saranno inquadrate nel contesto della fisica teorica moderna (teoria dei campi, meccanica quantistica, relatività generale).
2. Conoscenza e capacità di comprensione applicate (Applying knowledge and understanding)
Gli studenti saranno in grado di applicare gli strumenti geometrici e topologici acquisiti a problemi matematici di rilievo teorico. In particolare, impareranno a:
- gestire definizioni e costruzioni astratte (come varietà, forme differenziali, coomologia) in esempi concreti;
- riconoscere strutture che compaiono in modelli avanzati della fisica teorica, anche se non trattate in dettaglio;
- sviluppare familiarità con formalismi matematici che sono alla base di molte teorie fisiche, preparandosi così a studi successivi in ambito geometrico o fisico-matematico.
3. Autonomia di giudizio (Making judgements)
Il corso stimolerà la capacità critica degli studenti nella scelta degli strumenti matematici più adeguati per modellare situazioni fisiche complesse. Gli studenti svilupperanno autonomia nella valutazione della coerenza interna di una teoria fisica in termini geometrici e topologici e saranno in grado di distinguere tra strutture essenziali e ridondanti nei modelli teorici.
4. Abilità comunicative (Communication skills)
Gli studenti acquisiranno il linguaggio formale necessario per esporre con chiarezza concetti matematici avanzati e per dialogare in modo efficace con colleghi di area matematica e fisica teorica. Saranno incoraggiati a redigere elaborati scritti e a presentare brevi esposizioni orali, con attenzione al rigore e alla precisione terminologica.
5. Capacità di apprendimento (Learning skills)
Il corso fornirà le basi per l’approfondimento autonomo di tematiche geometriche e topologiche in ambito fisico. Gli studenti saranno in grado di affrontare la lettura di testi e articoli scientifici avanzati e di proseguire lo studio verso ricerche autonome o corsi specialistici (es. geometria riemanniana, teorie di gauge, topologia differenziale).
Contenuti sintetici
Varietà differenziabili e Riemanniane, forme differenziali e coomologia, superfici di Riemann e varietà complesse, rivestimenti e gruppo fondamentale.
Programma esteso
- Teoria delle varietà differenziabili
- Definizione e prime proprietà delle varietà differenziabili, mappe differenziabili, fibrati, forme differenziali e coomologia di de Rham. Varietà Riemanniane (cenni).
- Geometria complessa
Superfici di Riemann, mappe olomorfe e meromorfe, fibrati in rette. Varietà complesse, fibrati complessi. - Topologia (algebrica)
Teoria dei rivestimenti, sollevamenti, omotopia, gruppo fondamentale.
Prerequisiti
Corsi di matematica del triennio.
Modalità didattica
24 lezioni da 2 ore svolte in presenza in modalità erogativa. Il corso sarà tenuto in lingua italiana.
Materiale didattico
Milnor, J. Topology from a differentiable viewpoint
Jost, J. Compact Riemann Surfaces
Huybrechts, D. Complex Geometry: an introduction
Petersen, P. Riemannian Geometry
Hatcher, A. Algebraic Topology
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame orale sul contenuto del corso, approfondimenti, rielaborazione ed esposizione personale.
Durante l'orale è possibile che venga chiesta la risoluzione di esercizi semplici, e rilevanti con il programma svolto, assieme alla discussione degli aspetti teorici. Il voto è complessivo, senza che ci siano voti disgiunti per la capacità di risolvere esercizi o di affrontare argomenti teorici.
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
Introduction to Differential and Complex Varieties and Algebraic Topology.
1. Knowledge and understanding
Students will acquire a solid understanding of the fundamental tools of differential geometry and algebraic topology, with particular focus on:
- differentiable structures on smooth manifolds, tensors, differential forms, and de Rham cohomology;
- complex and holomorphic manifolds, with insights into conformal geometry and field structures;
- basic algebraic topology, including homotopy, fundamental groups, and cohomology theory.
These concepts will be framed within the context of modern theoretical physics (e.g., field theory, quantum mechanics, general relativity).
2. Applying knowledge and understanding
Students will be able to apply the acquired concepts and tools to:
- analyze physical models formulated on manifolds (e.g., space-time in general relativity);
- interpret physical structures in geometric terms (bundles, connections, gauge theories);
- compute geometric and topological invariants relevant to theoretical contexts;
- connect mathematical formalisms (differential, topological, complex) to concrete physical phenomena.
3. Making judgements
The course will foster students’ critical thinking in selecting the most appropriate mathematical tools to model complex physical situations. Students will develop autonomy in evaluating the internal consistency of physical theories in geometric and topological terms, and in distinguishing between essential and redundant structures in theoretical models.
4. Communication skills
Students will develop the formal language needed to clearly explain advanced mathematical concepts and to effectively interact with peers in mathematics and theoretical physics. They will be encouraged to write structured texts and deliver short oral presentations, with attention to rigor and terminological precision.
5. Learning skills
The course will provide a foundation for independent study of geometric and topological methods in physics. Students will be able to approach advanced texts and research articles and continue their studies in specialized or research-oriented courses (e.g., Riemannian geometry, gauge theories, differential topology).
Contents
Differentiable and Riemannian manifolds, differential forms and cohomology, Riemann surfaces and complex manifolds, coverings and fundamental group.
Detailed program
- Theory of Differentiable Manifolds
Definition and initial properties of differentiable manifolds, differentiable maps, and bundles, differential forms, and de Rham cohomology. Riemannian manifolds (brief introduction). - Complex Geometry
Riemann surfaces, holomorphic and meromorphic maps, line bundles. Complex manifolds, complex bundles. - (Algebraic) Topology
Covering theory, liftings, homotopy, fundamental group.
Prerequisites
Undergraduate Mathematics Courses.
Teaching form
24 2-hour lectures, delivered in-person in a didactic format. In Italian.
Textbook and teaching resource
Milnor, J. Topology from a differentiable viewpoint
Jost, J. Compact Riemann Surfaces
Huybrechts, D. Complex Geometry: an introduction
Petersen, P. Riemannian Geometry
Hatcher, A. Algebraic Topology
Semester
First semester
Assessment method
Oral exam on the course content, including further insights or solving simple exercises. The grade is comprehensive.
Office hours
By appointment
Sustainable Development Goals
Staff
-
Samuele Mongodi
