Course Syllabus
Obiettivi
l corso si propone di far acquisire agli studenti concetti, metodi e modelli della fisica dei solidi cristallini, perfetti e infiniti. A questo scopo, gli argomenti sono suddivisi in due parti. Una prima parte del corso è dedicata alla trattazione di fenomeni più semplici, descritti in termini di periodicità del cristallo, senza interazione tra elettroni e ioni. Particolare attenzione sarà dedicata al calcolo delle proprietà macroscopiche sulla base di quelle microscopiche. La seconda parte comprende i fenomeni in cui gli elettroni interagiscono con il reticolo cristallino e le variazioni della sua periodicità, generando, rispettivamente, la struttura a bande dei cristalli e le proprietà di trasporto dei solidi. Alla fine di ogni macro-argomento, un'adeguata quantità di tempo sarà dedicata al ripasso, per familiarizzare con i concetti e rinfrescare le derivazioni matematiche, anche attraverso una discussione con gli studenti. L'integrazione di un libro principale con la presentazione in powerpoint delle lezioni, caricata sulla pagina web del corso, è un aspetto importante del metodo didattico che mira anche a far acquisire agli studenti un linguaggio tecnico corretto.
In sintesi, i principali risultati raggiunti dagli studenti saranno:
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Conoscenza e comprensione dei concetti relativi alla periodicità del reticolo e allo spazio reciproco.
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Applicazione della conoscenza e della comprensione di approssimazioni e delle espansioni di Taylor per ricavare l'espressione microscopica di proprietà macroscopiche.
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La capacità di giudicare il potere predittivo dei modelli, in relazione ai dati sperimentali, e decidere quale teoria si adatti meglio ad essi.
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Abilità comunicative, basate su un uso corretto dei termini tecnici, ponendoli all'interno di una narrazione che presenti fatti e ipotesi.
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Capacità di apprendimento, incentivata da una ricca bibliografia e dalle indicazioni degli scienziati maggiormente responsabili di esperimenti, teorie, o modelli.
Contenuti sintetici
Parte 1
I. Strutture cristalline e diffrazione
II. Dinamica reticolare e teoria elastica dei solidi
III. Proprietà termiche dei solidi
IV. Gas di elettroni liberi
Parte 2
V. Bande elettroniche
VI. Trasporto elettronico di carica
VII. Trasporto elettronico di calore ed effetti termoelettrici
VIII. Effetti di campi magnetici deboli e forti
Programma esteso
PARTE 1
I. Strutture cristalline e diffrazione
- Reticoli di Bravais e strutture cristalline notevoli
- Teoria della diffrazione e tecniche sperimentali
- Costruzione di reticolo reciproco e zona di Brillouin, in particolare per strutture FCC, BCC e HCP
- Calcolo della distanze tra punti ad alta simmetria nella zona di Brillouin del Silicio.
II. Dinamica reticolare
- Elementi di dinamica reticolare: matrice delle costanti di forza e sue simmetrie, matrice dinamica ed equazioni di moto
- Relazioni di dispersione e spostamenti di una catena lineare biatomica
- Teoria della elasticità ed onde sonore
- Costruzione e diagonalizzazione matrice dinamica per fcc monoatomico: autovalori e displacement patterns
- Modi normali come modi collettivi
- Fononi e loro statistica.
- Scattering inelastico e misura della dispersione dei fononi tramite scattering neutronico
III. Proprietà termiche dei solidi
- Densità di stati vibrazionali
- Calore specifico di Debye e di Einstein
- Potenziali anarmonici e loro effetti: espansione termica e calore specifico di oscillatore 1-D
- Espansione termica e parametro di Gruneisen in 3-D
- Conducibilità termica tramite vibrazioni reticolari in 3-D
IV. Gas di elettroni liberi
- Modello degli elettroni liberi
- La statistica di Fermi-Dirac per gli elettroni
- Densità degli stati: definizione e calcolo per gas 3-D, 2-D e 1-D.
- Andamento del potenziale chimico con la temperatura
- Contributo elettronico al calore specifico e i fermioni pesanti
- Emissione termica di elettroni: fisica ed applicazioni
PARTE 2
V. Bande elettroniche
- Potenziale periodico, equazione centrale e stati di Bloch
- Costruzione dello schema a bande nel caso di reticolo-vuoto
- Bande nel modello di elettrone quasi-libero: apertura del gap al bordo della zona di Brillouin ed interpretazione
- Introduzione al modello Tight-Binding (TB)
- Calcolo di bande nel modello TB: ruolo dei vicini e della base di orbitali atomici e integrali di hopping
- Costruzione e diagonalizzazione della matrice tight binding a primi vicini per silicio
- Interpretazione di bande reali e loro densità di stati
- Misura della dispersione di bande per fotoemissione risolta in angolo
**VI. Trasporto elettronico di carica **
- Il modello semiclassico e moto degli elettroni in banda in presenza di un campo elettrico
- Il tensore di massa efficace e il concetto di buca positiva
- L'equazione di Boltzman: bilancio tra processi di drift e quelli di scattering
- L'approssimazione del tempo di rilassamento per i processi di scattering
- Meccanismi microscopici che presiedono allo scattering di cariche
- La conducibilità elettrica nei metalli
- Dipendenza della conducibilità elettrica dalla temperatura
- **VII. Trasporto elettronico di calore **
- Equazione di Boltzman generalizzata ai gradienti termici
- Trasporto di calore da elettroni e relazione di Wiederman-Franz
- Effetti termoelettrici (Peltier e Seebeck) e applicazioni
VIII. Effetti di campi magnetici deboli e forti
- Campi magnetici deboli
- Campi magnetici forti
- Derivazione dei livelli energetici di Landau
- Proprietà magnetiche dei materiali
- Magnetismo degli elettroni liberi
Prerequisiti
Struttura della materia, fisica quantistica di atomi e di molecole
Introduzione elementare alla fenomenologia dei materiali
Elementi di analisi complessa, funzioni speciali, serie e trasformate di Fourier
Modalità didattica
40 Lezioni di un'ora, svolte in modalità erogativa in presenza e 12 esercitazioni di un'ora, svolte in modalità erogativa in presenza. Nel caso sia richiesto dall'Ateneo, alcune Lezioni o esercitazioni potranno anche essere svolte in modalità erogativa in remoto (sincrona, nello stesso orario), per gli studenti che non fossero ancora in Italia.
Materiale didattico
TESTO PRINCIPALE
H. IBACH AND H. LUTH, Solids State Physics, Springer Verlag
CAPITOLI AGGIUNTIVI PRESI DAI SEGUENTI TESTI, COME RESI DISPONIBILI SULLA PIATTAFORMA E-LEARNING O DISPONIBILI DALLA BIBLIOTECA DI ATENEO:
N.W ASHCROFT AND N.D. MERMIN, Solid State Physics, Saunders College Publishing
F. BASSANI E U. GRASSANO, Fisica dello Stato Solido, Casa Editrice Boringhieri
A.P. SUTTON, Electronic Structure of Materials, Oxford University Press
J.R. HOOK and H.E. Hall, Solid State Physics, John Wiley & Sons
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova scritta con quattro domande aperte, inclusa la possibile derivazione matematica di alcuni risultati fisici, il tracciamento di grafici, o la descrizione di esperimenti. La valutazione della prova scritta viene fatta, in ordine di decrescente importanza, sulla corrispondenza della risposta alla domanda, sulla esattezza e la coerenza delle argomentazioni, e sulla ricchezza dei commenti appropriati. Il voto finale viene deciso anche sulla base di una discussione della prova scritta con lo studente, che segue di pochi giorni la pubblicazione della valutazione della prova scritta e che insiste principalmente nel richiedere completamento o correzione di quanto è carente nello scritto. Completato il Corso, vengono offerte nove sessioni annuali d'esame, previste durante le pause delle lezioni.
Durante il periodo delle lezioni del Corso, tuttavia, gli studenti iscritti in quell'anno accademico avranno la possibilità di suddividere l'esame in due prove parziali in itinere, una relativa agli argomenti della Parte 1 del corso e l'altra relativa agli argomenti della Parte 2. Tali prove parziali consisteranno di una prova scritta di 3 domande aperte, con le stesse modalità di valutazione delle prove scritte di cui sopra, seguita da un breve colloquio orale di discussione sullo scritto, nelle stesse modalità di cui sopra. Per agevolare la preparazione, organizzare e spiegare le modalità d'esame e rispondere a qualsiasi domanda sugli argomenti delle lezioni, prima di ciascun esame parziale verrà organizzato un incontro con gli studenti iscritti, e aperto a tutti gli altri. Se uno studente fallisce il test sulla prima parte, avrà una (sola) ulteriore occasione di riprovarlo, prima che le lezioni della seconda parte del corso siano terminate; se fallisce il test sulla seconda parte,, avrà una (sola) ulteriore occasione di riprovarlo, entro il termine di inizio del secondo semestre.
Orario di ricevimento
Per appuntamento, scrivendo una e-mail a leo.miglio@unimib.it, oppure - per domande riguardati la organizzazione degli esami - a roberto.bergamaschini@unimib.it
Sustainable Development Goals
Aims
The Course is aimed to let the students acquire concepts, methods and models of the physics of perfect and infinite crystalline solids. To this purpose, topics are divided into two parts. A first part of the course is devoted to the treatment of simpler phenomena, as described in terms of the crystal periodicity, with no interaction between electrons and ions. Particular attention will be payed to the calculus of macroscopic properties on the basis of microscopic ones. The second part includes the phenomena where the electrons interact with the crystal lattice and the variations in its periodicity, returning the band structure of crystals and the transport properties of solids, respectively. At the end of each macro-subject, an appropriate slot of time will be devoted to review, in order to getting familiar with the concepts and refresh the mathematical derivations, also by a discussion with the students. The complementation of a main Book with the powerpoint presentation of the lessons, as uploaded to the Course webpage, is one important aspect of the teaching method that aims also at making the students acquire a correct technical language.
In summary, the main achievements of the students will be:
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Knowledge and understanding of concepts related to the periodicity of the lattice and to the reciprocal space.
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Applying knowledge and understanding of approximations and Taylor expansions in deriving microscopic expression of macroscopic properties.
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Making judgements about the predictive power of models in relation to the experimental data and decide which theory best fits to them.
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Communication skills, as based on a correct use of technical terms, addressing them inside a story-telling which presents facts and hypothesis.
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Learning skills, as incentivated by a rich bibliography and the indications of the scientist mostly responsible for experiments, theories, or models.
Contents
Part 1
I. Crystal structures and diffraction
II. Lattice dynamics and elastic properties of solids
III. Thermal properties of solids
IV. The free-electron gas
Part 2
V. Electronic bands
VI. Transport of charge by electrons
VII. Transport of heat by electrons and thermoelectric effects
VIII. Effects of weak and strong magnetic fields
Detailed program
PART 1
I. Crystal structures and diffraction
- Bravais lattices and relevant crystal structures
- Theory of diffraction and experimental techniques
- Construction of the reciprocal lattice and the Brillouin zones, in particular for FCC, BCC and HCP structures
- Calculation of the distances between high-symmetry points in the Brillouine zone of silicon.
II. Lattice dynamics
- Foundations of lattice dynamics: force constant matrix and its symmetries, dynamical matrix and the equations of motion
- Dispersion relations and displacement patterns of the diatomic linear chain
- Elasticity theory and sound waves
- Construction and diagonalization of the dynamic matrix for one fcc monatomic: eigenvalues and displacement patterns
- Normal modes as collective modes
- Phonons and their statistics
- Inelastic scattering and measurement of phonon dispersion by neutron scattering
III. Thermal properties of solids
- Density of vibrational states
- Specific heat in Debye and Einstein models
- Anharmonic potentials and their effects: thermal expansion and the heat capacity of 1-D oscillator
- Thermal expansion and the Gruneisen parameter in 3-D
- Thermal conductivity by lattice vibrations in 3-D
IV. The free-electron gas
- The free-electron gas model
- The Fermi-Dirac statistics of electrons
- Density of states: definition and calculation for 3-D, 2-D and 1-D electron gas.
- Trend of the chemical potential in temperature
- Electronic contribution to the specific heat and heavy fermions
- Thermal emission of electrons: physics and application
PART 2
V. Electronic bands
- Periodic potential, central equation and Bloch states
- Construction of the band diagram for the empty lattice
- Band structure in the nearly-free electron model: opening of the gap at the Brillouin zone borders and its interpretation
- Introduction to the Tight-Binding model (TB)
- Band calculation in the TB model: role of neighbors and atomic basis and hopping integrals
- Construction and diagonalization of the tight binding matrix to first neighbors for silicon
- Interpretation of real bands and their density of states
- Measurement of the dispersion of the bands by angle-resolved electron photoemission
VI. Transport of charge by electrons
- The semiclassical model and motion of electrons in bands due to an electric field
- The effective mass tensor and the concept of positive hole
- Boltzmann equation: balance between the process of drift and the one of scattering
- The relaxation time approximation for scattering processes
- Microscopic mechanisms that rule the scattering of electrons in bands
- The electrical conductivity in metals
- Dependence of electrical conductivity on the temperature
VII. Transport of heat by electrons
- Generalization of the Boltzman equation to thermal gradients
- Heat transport by electrons and the Wiedemann-Franz law
- Thermoelectric effects (Peltier and Seebeck) and applications
VIII. Effects of weak and strong magnetic fields
- Weak magnetic fields
- Strong magnetic fields
- Derivation of Landau energy states
- Magnetic properties of materials
- Free electron magnetism
Prerequisites
Atomic and molecular quantum physics
Elementary introduction to Materials
Elements of calculus for complex variables, special functions, series and Fourier transforms
Teaching form
40 one-hour lessons in delivered modality and 12 one-hour practice lessons in delivered modality. In some cases the lessons could be delivered also in remote synchronous modality (at the same time), if the atheneum would require it for students still not present in Italy.
Textbook and teaching resource
MAIN TEXTBOOK:
H. IBACH AND H. LUTH, Solids State Physics, Springer Verlag
ADDITIONAL CHAPTERS ARE TAKEN FROM THE FOLLOWING BOOKS, STILL AVAILABLE IN ENGLISH IN THE E-LEARNING PLATFORM OR AVAILABLE FROM THE UNIVERSITY LIBRARY:
N.W ASHCROFT AND N.D. MERMIN, Solid State Physics, Saunders College Publishing
F. BASSANI E U. GRASSANO, Fisica dello Stato Solido, Casa Editrice Boringhieri
A.P. SUTTON, Electronic Structure of Materials, Oxford University Press
J.R. HOOK and H.E. Hall, Solid State Physics, John Wiley & Sons
Semester
First semester.
Assessment method
The exam consists of a written test with four open questions, including the possible mathematical derivation of some physical results, the plotting of graphs, or the description of experiments. The evaluation of the written test is made, in order of decreasing importance, on the correspondence of the answer to the question, on the accuracy and coherence of the arguments, and on the richness of the appropriate comments. The final grade is also decided on the basis of a discussion of the written test with the student, which follows by a few days the publication of the evaluation of the written test and which mainly insists on requesting completion or correction of what is lacking in the written test. Once the Course is completed, nine annual exam sessions are offered, scheduled during the breaking periods of the lessons.
During the period of the lessons of the Course, however, the students enrolled in that academic year will have the possibility of dividing the exam into two partial tests in progress, one relating to the topics of Part 1 of the Course and the other relating to the topics of Part 2. These partial tests will consist of a written test of 3 open questions, with the same methods of evaluation as the written tests mentioned above, followed by a short oral interview to discuss the written test, in the same ways as above. To facilitate preparation, organize and explain the exam methods and answer any questions on the topics of the lessons, before each partial test a meeting will be organized with the enrolled students, and open to all the others. If a student fails the test on the first part, he/she will have one (only) further opportunity to try it again, before the lessons of the second part of the course are finished; if he/she fails the test on the second part, he/she will have one (only) further opportunity to try it again, within the starting date of the second semester.
Office hours
By appointment writing one e-mail to leo.miglio@unimib.it, or to roberto.bergamaschini@unimib.it for questions related to the exam session organization,
Sustainable Development Goals
Staff
-
Leonida Miglio
