Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso di Probabilità applicata intende fornire agli studenti conoscenze avanzate di probabilità necessarie per comprendere la metodologia statistica e saperla applicare in ambito economico, aziendale e finanziario.
In termini di conoscenza e capacità di comprensione, il corso introduce i concetti fondamentali del calcolo delle probabilità, con particolare attenzione all’assiomatizzazione di Kolmogorov. Verranno approfonditi i concetti di vettori Gaussiani, variabili e vettori aleatori. Verranno studiate le diverse modalità di convergenza di variabili e vettori aleatori, compresi i teoremi limite di successioni di variabili aletorie.
Relativamente alla capacità di applicare conoscenza e comprensione, gli studenti impareranno a determinare la legge di vettori aleatori (discreti e continui). Riusciranno a studiare la convergenza di successioni di variabili aleatorie tramite avanzati strumenti probabilistici, quali la funzione di ripartizione, la funzione generatrice dei momenti e la funzione caratteristica. Infine gli studenti riusciranno a trattare vettori Gaussiani.
Per quanto riguarda l’autonomia di giudizio, gli studenti saranno in grado di valutare criticamente i risultati ottenuti tramite analisi probabilistiche, applicando correttamente i teoremi trattati per studiare la convergenza o la legge di probabilità di vettori aleatori.
In merito alle abilità comunicative, il corso consentirà agli studenti di esporre in modo chiaro e rigoroso concetti complessi della teoria della probabilità, attraverso l'uso di un linguaggio matematico appropriato che poggia le sue basi sulla teoria della misura.
Infine, relativamente alle capacità di apprendimento, gli studenti saranno in grado di utilizzare gli strumenti probabilistici per comprendere: le metodologie avanzate di analisi statistica multivariata, i metodi avanzati di inferenza statistica in ambito classico e bayesiano, i modelli di statistica spaziale, i modelli per dati di elevata dimensione ed i piani di campionamento complessi.
Contenuti sintetici
Dopo un'introduzione alle diverse definizioni di probabilità, verranno presentate le basi della teoria assiomatica di Kolmogorov su cui si poggia la probabilità moderna. Verranno analizzate le proprietà elementari della probabilità, tra cui la continuità, sub-additività, monotonia, inoltre verranno presentati i Lemmi di Borel-Cantelli.
Ampio spazio verrà dato ai vettori aleatori negli spazi euclidei n-dimensionali ed alle trasformazioni di vettori aleatori. Il concetto di valore atteso condizionato sarà definito ed analizzato in dettaglio, con qualche cenno alla teoria della misura.
Nella seconda parte del corso, verranno studiati i quattro concetti di convergenza di variabili aleatorie: in distribuzione, in probabilità, quasi certa e in media r-esima. Saranno quindi presentati e dimostrati i teoremi limite del calcolo delle probabilità e le loro conseguenze.
Infine saranno definiti ed analizzati i vettori Gaussiani attraverso la funzione caratteristica.
Il corso sarà affiancato da molti esercizi pratici.
Programma esteso
- INTRODUZIONE. Cenni storici al calcolo delle probabilità: i problemi classici. Definizioni della probabilità: classica, soggettiva e frequentista. Il principio di coerenza di Bruno de Finetti e le sue conseguenze. L'assiomatizzazione della probabilità di Kolmogorov.
- ASSIMI DELLA PROBABILITA' E CONSEGUENZE. La definizione assiomatica di probabilità. Le implicazioni della definizione: additività, monotonia, disuguagliaza di Boole, continuità della probabilità. I lemmi di Borel-Cantelli. Le probabilità condizionate e l'indipendenza di eventi.
- VARIABILI ALEATORIE E VETTORI ALEATORI. Definizione di variabile aleatorie e vettore aleatorio (discreti e continui). Il concetto di distribuzione e la funzione di ripartizione. Relazioni tra variabili aleatorie: condizionamento ed indipendenza. Trasformazioni di vettori aleatori: il teorema del diffeomorfismo.
- VALORI ATTESI. Richiami su speranza matematica, varianza e covarianza. La disuguaglianza di Markov. Valore atteso condizionato e sue proprietà.
- CENNI DI TEORIA DELLA MISURA. La probabiltà come misura. Le variabili aleatorie nella teoria della misura. L'integrale alla Lebesgue ed il lavore atteso. Definizione generale di valore atteso condizionato data una sigma-algebra (cenni).
- CONVERGENZA DI VARIABILI ALETORIE. La convergenza delle variabili aleatorie: in distribuzione, in probabilità, in media r-esima e quasi certa. Le relazioni tra le diverse convergenze. Legge debole dei grandi numeri, cenni alla legge forte di Kolmogorov.
- FUNZIONI GENERATRICI. Funzione caratteristica e generatrice dei momenti. Il teorema di continuità di Lévy. Il teorema centrale di convergenza. Il metodo delta.
- VETTORI GAUSSIANI. Funzione caratteristica per vettori. I vettori Gaussiani.
Prerequisiti
Per affrontare il corso sono necessarie le conoscenze dei corsi di Analisi Matematica (I e II) e del Corso di Calcolo delle Probabilità della laurea triennale.
Metodi didattici
Lezioni frontali. Le lezioni sono di carattere tradizionale e si svolgeranno in presenza in modalità erogativa, durnate le lezioni verranno svolti anche numerosi esercizi a supporto della teoria.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L’esame è costituito da una prova scritta, l'orale è facoltativo. La prova scritta è costituita da esercizi e da alcune domande di teoria. Gli esercizi mirano ad accertare la comprensione degli argomenti trattati e la capacità dello studente di applicare i concetti della probabilità. Le domande di teoria servono a verificare la conoscenza e la comprensione dei concetti della probabilità. Le domande di teoria possono riguardare anche dimostrazioni svolte durante il corso.
L'orale è facoltativo e può essere chiesto sia dallo studente che dal docente. L'esame orale verte su tutto il programma del corso e deve essere svolto pochi giorni dopo lo scritto, in base alle disponibilità del docente. In tal caso il voto finale è una media della prova scritta e della prova orale.
Durante lo scritto è consentito l'uso della calcolatrice scientifica, ma non è ammesso l'uso di appunti, libri e strumenti tecnologici.
Testi di riferimento
Testo consigliato (con esercizi):
- G. Dall'Aglio (2003). Calcolo delle Probabilità. Zanichelli, terza edizione.
Testi di consultazione:
- Grimmett G. and Stirzaker D. (2001). Probability and random processes. Oxford University Press.
Eserciziari:
- Epifali, I. e Ladelli, L. (2021). Esercizi di probabilità per l'ingegneria, le scienze e l'economia. Edizioni La Dotta.
- Grimmett G. and Stirzaker D. (2000). One Thousand Exercises in Probability: Third Edition. Oxford Univseristy Press.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre, primo ciclo.
Lingua di insegnamento
Italiano.
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course in Applied Probability aims to provide students with advanced knowledge of probability theory, essential for understanding statistical methodology and applying it in the economic, business, and financial domains.
In terms of knowledge and understanding, the course introduces the fundamental notions of probability calculus, with particular emphasis on Kolmogorov’s axiomatization. Topics covered include Gaussian vectors, random variables, and random vectors. Various modes of convergence for random variables and vectors will be studied, including limit theorems for sequences of random variables.
With regard to the ability to apply knowledge and understanding, students will learn how to determine the distribution of random vectors (both discrete and continuous). They will be able to study the convergence of sequences of random variables using advanced probabilistic tools such as the cumulative distribution function, the moment generating function, and the characteristic function. Finally, students will be able to work with Gaussian vectors.
As for independent judgment, students will be capable of critically evaluating results obtained through probabilistic analyses, correctly applying theorems to study convergence or the probability distribution of random vectors.
In terms of communication skills, the course will enable students to clearly and rigorously present complex concepts from probability theory, using appropriate mathematical language grounded in measure theory.
Finally, with respect to learning skills, students will be equipped to use probabilistic tools to understand: advanced methodologies in multivariate statistical analysis, advanced methods of statistical inference in both classical and Bayesian frameworks, spatial statistical models, models for high-dimensional data, and complex sampling designs.
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Contents
We start with the different defintions of Probability, and then we move to introduce the axiomatic definition of Probability which is due to Kolmogorov. Then, we analyze the elementary properties of probability, namely Boole's inequality, continuity, monotonicity; the Borel-Cantelli lemmas will be stated and prooved.
A huge part of the class will be devoted to random vectors in a n-dimensional Euclidean space and their transformations, including some hints on measure theory. Moreover the conditional expectation will be introduced and analyzed in detail.
In the second part of the lectures, we focus on convergences of random variables: in distribution, in probability, almost surely and in mean. Besides, we will prove and state the limit theorems of probability and their consequences.
Finally, the general defintion of Gaussian random vectors will be provided, along with suitable applications.
Many exercises will be solved during the whole course.
Detailed program
- INTRODUCTION. Some historical hints on probability. The definitions of probability: classical, frequentist and subjective. The principle of coherence by B. de Finetti and its consequences. The axiomatic definition by Kolmogorov.
- AXIOMS OF PROBABILITY. The axiomatic definition of probability and the consequences: monotonicity, continuity, Boole's inequality, etc.. The Borel-Cantelli lemmas. Conditioning and independence of events.
- RANDOM VECTORS AND RANDOM VARIABLES. Definitions: random vectors (discrete and continuous case). Distributions and cumulative distribution functions. Relations between random variables: conditioning and independence. Transformations of random vectors.
- EXPECTED VALUES. Expected values, variance and covariance. Markov inequality. The conditional expectation and its properties.
- MEASURE THEORY: HINTS. The probability is a measure. The Lebesgue integral and the expected value. General defintion of conditional expected value given a sigma-algebra.
- CONVERGENCES OF RANDOM VARIABLES. Convergences of random variables: in distribution, in probability, in mean and almost surely. Relations among convergences. The weak law of large numbers, the strong law by Kolmogorov (without proof).
- GENERATING FUNCTIONS. The characteristic function and the moment generating function. The Lévy continuity theorem. The central limit theorem and the delta method.
- GAUSSIAN RANDOM VECTORS. Gaussian random vectors: general defintion based on characteristic functions.
Prerequisites
Knowledge of the topics of Mathematical Anaysis (I and II) and Probability of the Bachelor in Statistics.
Teaching methods
Class lectures. The lectures will be in-person, during the lectures several exercises will be done.
Assessment methods
The exam is written, the oral test is not mandatory. In the written test, the student is asked to solve exercises and to answer some questions concerning probability theory. The exercises aims to ensure the ability of the students to apply the concepts of probability, whereas the theoretical questions aim to verify the knowledge of the notions of Probability. The theoretical questions may also focus on proofs.
The oral test is optional, and it may be requested by the student or by the instructor some days after the written test. The oral exam will focus on questions of the theory developed during the course.
Textbooks and Reading Materials
Theory:
- G. Dall'Aglio (2003). Calcolo delle Probabilità. Zanichelli, terza edizione.
- Grimmett G. and Stirzaker D. (2001). Probability and random processes. Oxford University Press.
Exercises:
- Epifali, I. e Ladelli, L. (2021). Esercizi di probabilità per l'ingegneria, le scienze e l'economia. Edizioni La Dotta.
- Grimmett G. and Stirzaker D. (2000). One Thousand Exercises in Probability: Third Edition. Oxford Univseristy Press.
Semester
Fall semester.
Teaching language
Italian.
