Course Syllabus
Obiettivi
Obiettivi formativi secondo i Descrittori di Dublino:
Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente acquisirà una solida comprensione teorica dei concetti fondamentali della teoria dei giochi. In particolare, al completamento dell’insegnamento, conoscerà i concetti di gioco non cooperativo, di strategie pure, mista e comportamentali, di corrispondenza di miglior risposta e di vari tipi di equilibrio, di gioco cooperativo a utilità trasferibile e non trasferibile. Tali conoscenze si estendono a esempi significativi e contesti applicativi, anche a discipline trasversali rispetto ad altre aree della matematica.
Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e alla risoluzione di problemi concreti in ambito matematico, in particolare a contesti legati all’analisi economica. Sarà in grado di sviluppare dimostrazioni rigorose e costruire esempi significativi, anche in ambito interdisciplinare.
Autonomia di giudizio
Attraverso la riflessione sui contenuti teorici e pratici del corso, lo studente svilupperà capacità logiche e critiche nell’analisi di problemi in diversi contesti applicativi, in particolare di tipo economico.
Abilità comunicative
Lo studente sarà in grado di comunicare in modo chiaro, preciso e coerente i contenuti matematici del corso in forma scritta e orale. Saprà presentare argomentazioni teoriche e discutere applicazioni in ambiti matematici e scientifici affini, anche a interlocutori non specialisti.
Capacità di apprendimento
Il corso contribuirà a sviluppare la capacità di apprendimento autonomo, favorendo l’acquisizione di strumenti concettuali e tecnici che lo studente potrà impiegare nell’approfondimento individuale e nella preparazione della tesi magistrale.
Contenuti sintetici
Giochi strategici ed equilibrio di Nash, giochi in forma estesa, giochi cooperativi.
Programma esteso
1. INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI GIOCHI
Problemi di decisione, preferenze. Funzione di utilità. Problema di decisione convesso e funzioni di utilità lineari. Lotterie. Funzione di utilità di von Neumann e Morgenstern.
2. GIOCHI STRATEGICI
Definizione di gioco strategico a n giocatori. Equilibrio di Nash. Corrispondenza di miglior risposta. Punti fissi di una corrispondenza e caratterizzazione degli equilibri. Teorema di Kakutani. Teorema di Nash.
Giochi a due giocatori a somma zero. Valore del gioco. Relazione tra esistenza di equilibri di Nash e valore del gioco.
Estensione miste di giochi finiti. Supporto per una strategia mista e corrispondenza di miglior risposta in strategie pure. Caratterizzazione degli equilibri. Bimatrix game. Matrix game. Teorema di minimax di Von Neumann. Algoritmo per 2xm-matrix game. Equilibri perfetti.
Strategie strettamente dominanti ed eliminazione iterata.
3. GIOCHI IN FORMA ESTESA
Insieme delle scelte. Gioco in forma estesa a memoria perfetta. Gioco in forma estesa a informazione perfetta. Strategie pure, comportamentali, miste. Strategie equivalenti. Teorema di Kuhn. Equilibrio di Nash di per un gioco in forma estesa.
Decomposizione e sottogioco. Equilibrio perfetto nei sottogiochi. Metodo di induzione a ritroso. Teorema di esistenza di equilibri perfetti nei sottogiochi.
4. GIOCHI COOPERATIVI
Coalizione. Giochi a utilità non trasferibile (NTU-game). Problemi di contrattazione (Bargaining). Punti Pareto efficienti. Regola di allocazione. Soluzione di Nash. Giochi a utilità trasferibile (TU-game). Nucleo e concetti relativi. Valore di Shapley. Nucleolo. Giochi convessi.
Applicazioni.
Prerequisiti
Le conoscenze di base e i principali risultati di algebra lineare e analisi in ambito finito-dimensionale.
Modalità didattica
56 ore di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza (8 CFU).
Corso erogato in lingua inglese.
Parte delle ore sarà dedicata all'illustrazione dei principali risultati della teoria; la rimanente parte sarà dedicata allo svolgimento di esercizi di applicazione della teoria svolta.
Materiale didattico
J. Gonzalez-Diaz, I. Garcia-Jurado and M.G. Fiestras-Janeiro, An Introductory Course on Mathematical Game Theory, American Mathematical Society
M. Maschler, E. Solan, S. Zamir, Game Theory, Cambridge University Press
Appunti del docente disponibili sulla pagina elearning del corso
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Modalità d’esame:
non sono previste prove in itinere.
L'esame finale consiste in una prova scritta e in un'eventuale prova orale (facoltativa).
Scritto (e orale)
Prova scritta: consiste in domande aperte, in particolare:
a) esercizi che permettono al docente di valutare la capacità dello studente di applicare la teoria nella risoluzione di problemi o nella verifica di semplici risultati teorici;
b) domande aperte di tipo teorico, in cui si chiede allo studente di produrre dimostrazioni tra quelle proposte e/o di fornire in modo completo alcune definizioni, enunciati di teoremi, dando qualche esempio.
Prova orale: la prova orale verte su dimostrazioni, definizioni, esempi/controesempi discussi a lezione, così come su esercizi teorici; è preceduta da una discussione della prova scritta. Possono sostenere la prova orale tutti gli studenti che hanno ottenuto nello scritto una votazione non inferiore a 18. Le due parti concorrono in egual misura alla determinazione del voto complessivo finale.
Gli studenti che hanno riportato una votazione non inferiore a 18 e decidono di non sostenere l’esame orale, possono registrare direttamente il voto.
Lo studente che ottiene una valutazione finale sufficiente può rifiutare il voto per non più di due volte.
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Aims
Learning Objectives According to the Dublin Descriptors:
Knowledge and Understanding
The student will acquire a solid theoretical understanding of the fundamental concepts of game theory. In particular, upon completion of the course, they will be familiar with the notions of non-cooperative games, pure, mixed, and behavioral strategies, best response correspondence, and various types of equilibria, as well as cooperative games with transferable and non-transferable utility. This knowledge extends to significant examples and application contexts, including interdisciplinary connections with other areas of mathematics.
Applying Knowledge and Understanding
The student will be able to apply the acquired knowledge to the modeling and resolution of concrete problems in the mathematical domain, particularly in contexts related to economic analysis. They will be capable of developing rigorous proofs and constructing meaningful examples, also in interdisciplinary contexts.
Making Judgements
Through reflection on both theoretical and practical course content, the student will develop logical and critical thinking skills for analyzing problems in various application contexts, especially in the economic field.
Communication Skills
The student will be able to clearly, precisely, and coherently communicate the mathematical content of the course in written and oral form. They will be able to present theoretical arguments and discuss applications in mathematical and related scientific fields, including to non-specialist audiences.
Learning Skills
The course will help develop autonomous learning abilities by fostering the acquisition of conceptual and technical tools that the student can use for individual study and in preparing their master’s thesis.
Contents
Strategic games and Nash equilibrium, extended-form games, coalitional games.
Detailed program
1. INTRODUCTION TO DECISION THEORY
Decision problems, preferences. Ordinal utility. Linear utility.
2. STRATEGIC-FORM GAMES
Definition of n-player strategic game. Nash equilibrium in strategic games. Best reply correspondence. Kakutani Theorem. Nash Theorem. Two-player zero-sum game: value of the game. Mixed strategies in finite games. Support of a mixed strategy and characterization of Nash equilibria. Bimatrix games. Matrix games. Von Neumann minimax theorem. Algorithms for matrix games. Refinements of Nash equilibrium in finite games. Domination. Elimination of dominated strategies.
3. EXTENSIVE-FORM GAMES
Strategies in extensive games: mixed strategies vs. behaviour strategies. Kuhn Theorem. Nash equilibrium in extensive games. Subgame perfect equilibrium. Rationality, backward induction. Perfect equilibrium.
4. COOPERATIVE GAMES
Coalitions. Nontransferable utility games. Bargaining. Transfer utility games. The core and related concepts. The Shapley value. The nucleolus. Convex games.
Applications.
Prerequisites
Basic concepts and results of linear algebra and analysis in finite-dimensional spaces.
Teaching form
56 hours of lectures delivered in a traditional, in-person format (8 ECTS credits)
The course is taught in English.
Part of the hours will be devoted to illustrating the main results of the theory; the remaining part will focus on exercises applying the theoretical concepts covered.
Textbook and teaching resource
J. Gonzalez-Diaz, I. Garcia-Jurado and M.G. Fiestras-Janeiro, An Introductory Course on Mathematical Game Theory, American Mathematical Society
M. Maschler, E. Solan, S. Zamir, Game Theory, Cambridge University Press
Instructor's notes available on the course page
Semester
II
Assessment method
Examination Methods:
No midterm exams are scheduled.
The final exam consists of a written test and an optional oral exam.
Written (and Oral)
Written Exam: consists of open-ended questions, specifically:
a) exercises that allow the instructor to evaluate the student’s ability to apply theoretical concepts to problem-solving or to verify simple theoretical results;
b) open-ended theoretical questions, in which the student is required to produce selected proofs and/or provide complete definitions, theorem statements, and relevant examples.
Oral Exam: focuses on proofs, definitions, and examples/counterexamples discussed in class, as well as theoretical exercises. It is preceded by a discussion of the written exam. All students who have obtained a grade of at least 18 in the written test are eligible to take the oral exam. Both parts contribute equally to the final grade.
Students who score at least 18 on the written exam and choose not to take the oral exam may directly register their grade.
A student who receives a passing final grade may reject the grade no more than twice.
Office hours
By appointment
Staff
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Rita Pini