Syllabus del corso
Obiettivi
Il corso fornisce un'introduzione all'analisi di Fourier e alle sue applicazioni alla teoria del segnale. Al termine del corso lo studente sarà in grado di comprendere gli aspetti fondamentali della teoria del segnale, con particolare riferimento alle applicazioni musicali. Non sono richieste conoscenze specifiche di teoria musicale.
Più specificamente, i risultati di apprendimento attesi comprendono:
- la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari proprie dell'Analisi di Fourier, con particolare riferimento alla convergenza in media, puntuale e uniforme delle serie e degli integrali di Fourier; la conoscenza e la comprensione della Trasformata di Fourier discreta, dell'algoritmo della trasformata di Fourier veloce e dei risultati fondamentali riguardanti la diffusione di onde sonore.
- la capacità di applicare il bagaglio di conoscenze sopra descritte alla costruzione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi aventi diversi gradi di difficoltà (a partire da semplici esercizi di applicazione delle definizioni e dei risultati illustrati nel corso fino a esercizi che richiedono la capacità di sviluppare in modo originale concetti appresi nel corso).
Descrizione secondo i 5 Descrittori di Dublino
🔹 1. Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente acquisirà una comprensione approfondita dei fondamenti teorici dell’analisi di Fourier, con particolare attenzione alla convergenza (puntuale, uniforme, in media) di serie e integrali di Fourier, alla trasformata discreta di Fourier (DFT) e all’algoritmo FFT. Saranno inoltre trattati elementi di propagazione delle onde sonore e modellizzazione dei segnali, con riferimenti alle applicazioni in ambito musicale e fisico. Tali contenuti saranno presentati con rigore matematico, e collocati in un contesto più ampio di analisi armonica.
🔹 2. Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Lo studente sarà in grado di applicare i concetti e i risultati teorici appresi all’analisi e alla sintesi di segnali, alla risoluzione di problemi complessi, e alla costruzione di modelli matematici anche in contesti interdisciplinari (fisica, elaborazione del suono, ingegneria). Sarà in grado di sviluppare e implementare algoritmi di trasformata di Fourier in casi pratici, con attenzione sia agli aspetti computazionali che concettuali.
🔹 3. Autonomia di giudizio
Lo studente svilupperà capacità critiche nel valutare la validità e i limiti delle tecniche dell’analisi armonica, distinguendo tra modelli ideali e scenari reali. Sarà in grado di selezionare strumenti teorici adeguati a problemi specifici, anche in contesti non standard, e riflettere sull’adeguatezza delle ipotesi matematiche utilizzate.
🔹 4. Abilità comunicative
Lo studente sarà in grado di comunicare in modo chiaro, rigoroso ed efficace i concetti matematici dell’analisi armonica, sia a interlocutori specialisti sia a interlocutori di ambiti affini (ad esempio in ambito musicale, fisico o ingegneristico). Sarà in grado di redigere relazioni tecniche e di presentare argomenti teorici e applicativi, anche con l’ausilio di strumenti digitali.
🔹 5. Capacità di apprendere
Il corso fornirà le competenze necessarie per proseguire autonomamente l’approfondimento dell’analisi armonica e delle sue applicazioni, ad esempio verso lo studio della trasformata di Fourier generalizzata, delle distribuzioni temperate, dell’analisi spettrale e dell’elaborazione digitale dei segnali. Lo studente sarà in grado di affrontare testi specialistici e articoli di ricerca, e di utilizzare la conoscenza acquisita come base per studi futuri o attività di ricerca.
Contenuti sintetici
Fondamenti di Analisi di Fourier in una variabile (serie e trasformata di Fourier). Applicazioni all'analisi del segnale e, in particolare, alla musica.
Programma esteso
- Sistemi ortonormali e criterio di Vitali-Dalzell
- Proprietà elementari delle serie di Fourier in una variabile. Convergenza in media e puntuale (il test di Dini e il Teorema di Jordan). Medie di Cesaro e loro convergenza puntuale. Applicazione alla corda vibrante
- Analisi di Fourier nel disco unitario del piano e applicazioni alle onde stazionarie del tamburo
- La trasformata di Fourier in una variabile. Lo spazio di Schwarz. Formula di inversione e formula di Plancherel.
- Trasformata di Fourier in più variabili. L'equazione delle onde e la propagazione del suono. Risoluzione dei problemi di Cauchy relativi. Medie sferiche.
- Le trasformate di Fourier discreta e veloce.
- Teorema di Paley-Wiener, formula di sommazione di Poisson e teorema del campionamento.
- La trasformata di Gabor e gli spettrogrammi
- Applicazioni alla musica e alla digitalizzazione del suono.
Prerequisiti
Per poter seguire con profitto il corso, lo studente deve conoscere i contenuti usualmente propri dei corsi di Analisi I-II e algebra lineare: calcolo per funzioni di più variabili reali, convergenza puntuale e uniforme di serie di funzioni, integrale di Lebesgue, calcolo matriciale. E' utile una buona conoscenza delle proprietà fondamentali dello spazio L2, delle teorie elementari degli spazi di Hilbert e delle funzioni olomorfe.
Gli studenti non in possesso dei requisiti sopra elencati sono invitati a contattare tramite posta elettronica il docente, che provvederà a dare indicazioni bibliografiche utili a colmare le lacune e a fornire eventuale ulteriore supporto.
Modalità didattica
56 ore di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza (8 cfu), con uso di lavagna.
Parte delle ore sarà dedicata all'illustrazione dei principali risultati della teoria; la rimanente parte sarà dedicata alla risoluzione di problemi, in precedenza assegnati, di applicazione della teorla svolta.
Il corso è previsto in lingua italiana.
Materiale didattico
Sono disponibili sulla piattaforma e-learning le dispense del corso redatte dal docente che contengono tutto il materiale che sarà illustrato a lezione nonché numerosi problemi, alcuni dei quali tratti da temi d'esame degli anni precedenti.
Approfondimenti di aspetti della teoria si possono trovare nei testi seguenti:
- Stein-Shakarchi, Fourier Analysis, Princeton University Press
- Steiglitz, A Digital Signal Processing Primer, Princeton University Press
- D. Benson, Music: a Mathematical Offering, disponibile gratuitamente all'indirizzo https://homepages.abdn.ac.uk/d.j.benson/pages/html/music.pdf
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
E' prevista una prova in itinere, che sarà valutata con gli stessi criteri, descritti qui sotto, delle prove scritte.
Prova scritta, contenente domande di carattere teorico (dimostrazioni di parte dei risultati discussi a lezione) e problemi di applicazione della teoria, sovente di tipo simile a quelli illustrati durante le esercitazioni. Una valutazione sufficiente dell'elaborato presuppone che sia la valutazione delle conoscenze teoriche richieste, sia quella delle abilità necessarie allo svolgimento degli esercizi di applicazione della teoria risultino sufficienti. Le votazioni delle due parti dello scritto concorreranno in ugual misura alla votazione finale.
La valutazione terrà conto dell'esattezza delle risposte, della chiarezza espositiva e della proprietà di linguaggio matematico utilizzato.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
The aim of the course is to illustrate some basic material in Fourier analysis, of wide use in analysis and applications. Applications to signal processing will be given. At the end of the course the student will be able to understand the basic issues concerning the theory of signal processing, with emphasis on musical applications. No specific knowledge of musical theory is assumed.
Specifically, the expected learning outcomes include:
- the knowledge and understanding of the fundamental definitions and statements, as well as of the basic strategies of proof in Fourier Analysis and Signal Processing, focusing on the convergence of Fourier series and integrals (pointwise, in mean, uniform), the treatment of the Discrete Fourier Transform and the Fast Fourier Transform, and the diffusion of sound waves;
- the skill to apply such conceptual background to the construction of concrete examples and to the solution of exercises, ranging from routine to challenging (starting with routine exercise that require straightforward application of the definitions and the results given during the lectures, up to exercise that require deep understanding of the matter and the ability of developing original ideas).
Description based on the Dublin Descriptors
🔹 1. Knowledge and understanding
The student will acquire an in-depth understanding of the theoretical foundations of Fourier analysis, including pointwise, uniform, and mean convergence of Fourier series and integrals, the discrete Fourier transform (DFT), the fast Fourier transform (FFT), and basic aspects of wave propagation and signal modeling. These topics will be addressed with mathematical rigor and situated within the broader framework of harmonic analysis, with applications especially in physics and music.
🔹 2. Applying knowledge and understanding
The student will be able to apply theoretical results to the analysis and synthesis of signals, the solution of complex problems, and the construction of mathematical models in interdisciplinary contexts (e.g., physics, sound processing, engineering). The student will also be able to design and implement Fourier transform algorithms, taking into account both conceptual and computational aspects.
🔹 3. Making judgements
The student will develop critical thinking skills to assess the appropriateness and limitations of harmonic analysis methods. They will be able to choose suitable theoretical tools for specific problems, even in nonstandard contexts, and evaluate the mathematical assumptions underlying the models used.
🔹 4. Communication skills
The student will be able to clearly, rigorously, and effectively communicate the mathematical content of harmonic analysis, both to specialists and to professionals in related fields (e.g., music, physics, engineering). They will be able to write technical reports and present both theoretical and applied topics, possibly supported by digital tools.
🔹 5. Learning skills
The course will equip the student with the ability to further explore harmonic analysis and its applications independently. This includes advanced topics such as the generalized Fourier transform, tempered distributions, spectral analysis, and digital signal processing. The student will be able to read and understand specialized literature and research papers, and to build upon this knowledge for further study or research activities.
Contents
Basics on Fourier series and integrals. Applications to signal analysis, and to music.
Detailed program
- Orthonormal systems and the Vitali-Dalzell criterion
- Basic properties of Fourier series in one variable. Mean and pointwise convergence (Dini's test and Jordan's theorem). The Cesaro means and their pointwise convergence. Applications to the vibrating string.
- Fourier analysis in the unit disc of the plane and applications to the stationary waves of the drum.
- The Fourier transform in one variable. The Schwarz space. Plancherel and inversion formulae.
- The Fourier transform in several variables. The wave equation and propagation of sound and the associated Cauchy problems. Spherical means.
- The discrete and the fast Fourier transforms.
- The Paley-Wiener theorem, Poisson's summation formula and the sampling theorem.
- The Gabor transform and spectrograms
- Applications to music and the digitalization of sound.
Prerequisites
In order to be able to successfully attend the course, the student should know basics of Analysis in and Linear Algebra: calculus for functions of several viariables, pointwise and uniform convergence of series of functions, the Lebesgue integral and basics of measure theory, matrix calculus. A knowledge of the main properties of the space L2 and of the elementary theories of Hilbert spaces and holomorphic function will be valuable.
Students lacking prerequisites are invited to contact the professor by e-mail. He will give them bibliographical suggestions useful to fill the gaps and possibly provide further support.
Teaching form
56 hours of in-person, lecture-based teaching (8 ECTS), with blackboard.
The teaching hours will be dedicated either to the illustration of the main results in the theory, or to the solution of problems (previously assigned) of applications of the theory.
The course will be held in Italian.
Textbook and teaching resource
The Lecure notes of the course are availatble on the e-learning page of the course. They contain all the material that will be illustrated during the lectures, together with many exercises. Amongst them the student will find some of the problems contained in the final tests in recent years.
Material for further reading can be found in the following books:
- Stein-Shakarchi, Fourier Analysis, Princeton University Press
- Steiglitz, A Digital Signal Processing Primer, Princeton University Press
- D. Benson, Music: a Mathematical Offering, available (free) at https://homepages.abdn.ac.uk/d.j.benson/pages/html/music.pdf
Semester
II semester.
Assessment method
There will be one written mid-term exam. Its structure will be similar to that, described below, of all other written examinations.
Written examination, including theoretical questions (proofs of part of the results illustrated during the course) and exercises, often similar to those solved during the class hours. In order to get a positive grade, both the parts including theoretical questions and exercises must get a passing grade. The two parts of the written examination will contribute in the same amount to the determination of the final grade.
The grade will take into account the exactness of the answers, the clarity of the exposition and the command of mathematical language used.
Office hours
Upon appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Stefano Meda
