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  1. Science
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  3. Matematica [F4002Q - F4001Q]
  4. Courses
  5. A.A. 2025-2026
  6. 1st year
  1. Higher Analysis
  2. Summary
Insegnamento Course full name
Higher Analysis
Course ID number
2526-1-F4002Q014
Course summary SYLLABUS

Course Syllabus

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Obiettivi

Obiettivi formativi secondo i Descrittori di Dublino:

Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente acquisirà una solida comprensione teorica dei concetti fondamentali della teoria delle funzioni a variazione limitata e delle funzioni assolutamente continue in una dimensione, delle distribuzioni (nel senso di Schwartz) e degli spazi di Sobolev. Tali conoscenze si estendono a esempi significativi e contesti applicativi, anche trasversali rispetto ad altre aree della matematica.

Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e alla risoluzione di problemi concreti in ambito matematico, inclusi contesti legati all’analisi numerica, alla fisica matematica e alla probabilità. Sarà in grado di sviluppare dimostrazioni rigorose e costruire esempi significativi, anche in ambito interdisciplinare.

Autonomia di giudizio
Attraverso la riflessione sui contenuti teorici e pratici del corso, lo studente svilupperà capacità critiche nell’analisi di problemi avanzati, sapendo valutare la rilevanza e i limiti degli strumenti dell’analisi moderna in diversi contesti applicativi.

Abilità comunicative
Lo studente sarà in grado di comunicare in modo chiaro, preciso e coerente contenuti matematici di livello avanzato, sia in forma scritta che orale. Saprà presentare argomentazioni teoriche e discutere applicazioni in ambiti matematici e scientifici affini, anche a interlocutori non specialisti.

Capacità di apprendimento
Il corso contribuirà a sviluppare la capacità di apprendimento autonomo, favorendo l’acquisizione di strumenti concettuali e tecnici che lo studente potrà impiegare nell’approfondimento individuale, nella preparazione della tesi magistrale e nell’eventuale proseguimento degli studi in ambito di ricerca.

Contenuti sintetici

Funzioni a variazione limitata. Funzioni assolutamente continue. Elementi di teoria delle distribuzioni. Spazi di Sobolev. Problemi ellittici del secondo ordine.

Programma esteso

Funzioni a variazione limitata. Funzioni assolutamente continue.
Funzioni a variazione limitata e loro caratterizzazione. Il teorema di ricoprimento di Vitali. Derivabilità quasi ovunque delle funzioni monotone. Le funzioni assolutamente continue. Caratterizzazione delle funzioni assolutamente continue come integrali di funzioni sommabili.

Elementi di teoria delle distribuzioni.
Definizioni e esempi. Le derivate di una distribuzione. Convergenza di distribuzioni. Operazioni con le distribuzioni.

Spazi di Sobolev.
Motivazioni, definizioni e proprietà. Teorema di Morrey. Disuguaglianza di Sobolev. Immersioni di Sobolev. Operatori di prolungamento. Operatori di traccia.

Problemi ellittici del secondo ordine.
Lemma di Lax-Milgram. Problemi ellittici del secondo ordine: formulazione variazionale, esistenza di soluzioni. Disuguaglianza di Poincaré. Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger. Problemi ellittici con condizioni al bordo di Neumann.

Prerequisiti

Calcolo in più variabili, algebra lineare, fondamenti di spazi di Hilbert e di spazi Lᵖ.

Modalità didattica

56 ore di lezione svolte in modalità erogativa, in presenza (8 cfu).

Corso erogato in lingua inglese.

Materiale didattico

  • Dispense disponibili sulla pagina e-learning del corso.
  • A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. American Mathematical Society, 2013.
  • H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science & Business Media, 2010.
  • L.C. Evans. Partial differential equations, American Mathematical Society, 1998.
  • G. Leoni. A First Course in Sobolev Spaces. Second Edition, American Mathematical Society, 2017.

Periodo di erogazione dell'insegnamento

I semestre.

Modalità di verifica del profitto e valutazione

L'esame consiste in una prova scritta, tesa a verificare il livello delle conoscenze e la capacità di applicarle alla risoluzione di esercizi, l’autonomia di analisi e giudizio, nonché le capacità espositive acquisite dallo studente. La prova si articola in due parti: la prima parte contiene domande di carattere teorico (enunciati, dimostrazioni, definizioni, esempi/controesempi discussi a lezione), mentre la seconda richiede di risolvere esercizi di applicazione della teoria. Le due parti concorrono in egual misura alla determinazione del voto complessivo finale.

Orario di ricevimento

Su appuntamento.

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Aims

Learning objectives according to the Dublin Descriptors:

Knowledge and understanding
Students will gain a solid theoretical understanding of the main concepts in the theory of functions of bounded variation and absolutely continuous functions in one dimension, distributions (in the sense of Schwartz), and Sobolev spaces. This knowledge includes key examples and meaningful applications across various areas of mathematics.

Applying knowledge and understanding
Students will be able to apply the acquired theoretical tools to the modelling and solution of concrete mathematical problems, including those arising in numerical analysis, mathematical physics, and probability theory. They will be capable of constructing rigorous proofs and meaningful examples, even in interdisciplinary contexts.

Making judgements
Students will develop critical thinking skills necessary to evaluate the role and limitations of modern analysis techniques when applied to advanced mathematical problems. They will be able to assess the applicability of such tools in diverse theoretical and applied settings.

Communication skills
Students will be able to clearly and accurately communicate advanced mathematical content, both in written and oral form. They will be able to present theoretical arguments and discuss applications with precision, even with audiences from related scientific fields.

Learning skills
The course will enhance students’ ability to engage in independent study and lifelong learning. It will provide conceptual and technical tools essential for pursuing individual research, preparing the master’s thesis, or continuing studies in doctoral programs or research careers.

Contents

Functions of bounded variation. Absolutely continuous functions. Elements of distribution theory. Sobolev spaces. Second-order elliptic problems.

Detailed program

Functions of Bounded Variation. Absolutely Continuous Functions.
Functions of bounded variation and their characterization. Vitali’s covering theorem. Almost everywhere differentiability of monotone functions. Absolutely continuous functions. Characterization of absolutely continuous functions.

Elements of Distribution Theory.
Definitions and examples. Derivatives of a distribution. Convergence of distributions. Operations with distributions.

Sobolev Spaces.
Motivations, definitions, and properties. Morrey’s theorem. Sobolev inequality. Sobolev embeddings. Extension operators. Trace operators.

Second-Order Elliptic Problems.
Lax-Milgram lemma. Second-order elliptic problems: variational formulation, existence of solutions. Poincaré inequality. Poincaré–Wirtinger inequality. Elliptic problems with Neumann boundary conditions.

Prerequisites

Calculus in several variables, linear algebra, fundamentals of Hilbert and Lᵖ spaces.

Teaching form

56 hours of lectures delivered in a traditional, in-person format (8 ECTS credits).

Course taught in English.

Textbook and teaching resource

  • Notes available on the e-learning page of the course.
  • A. Bressan. Lecture Notes on Functional Analysis. American Mathematical Society, 2013.
  • H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer Science & Business Media, 2010.
  • L.C. Evans. Partial differential equations, American Mathematical Society, 1998.
  • G. Leoni. A First Course in Sobolev Spaces. Second Edition, American Mathematical Society, 2017.

Semester

I semester.

Assessment method

The exam consists of a written test, aimed at verifying the level of knowledge, the ability to apply it to the resolution of exercises, the student's independence in making judgements, as well as his/her communication skills. The test is divided into two parts: the first part contains theoretical questions (statements, proofs, definitions, example/counterexamples illustrated during the course), while the second part contains exercises. The two parts will contribute equally to the determination of the final grade.

Office hours

Upon appointment.

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Key information

Field of research
MAT/05
ECTS
8
Term
First semester
Course Length (Hours)
56
Degree Course Type
2-year Master Degreee
Language
English

Staff

    Teacher

  • Veronica Felli
    Veronica Felli

Students' opinion

View previous A.Y. opinion

Bibliography

Find the books for this course in the Library

Enrolment methods

Manual enrolments
Self enrolment (Student)

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