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Percorso della pagina
  1. Area di Scienze
  2. Corso di Laurea Magistrale
  3. Matematica [F4002Q - F4001Q]
  4. Insegnamenti
  5. A.A. 2025-2026
  6. 1° anno
  1. Geometria Riemanniana
  2. Introduzione
Insegnamento Titolo del corso
Geometria Riemanniana
Codice identificativo del corso
2526-1-F4002Q012
Descrizione del corso SYLLABUS

Syllabus del corso

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Obiettivi

1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding)
Al termine del corso, gli studenti e le studentesse avranno acquisito una solida conoscenza dei fondamenti della geometria Riemanniana classica, incluse le nozioni di metrica riemanniana, connessione di Levi-Civita, geodetiche e curvatura. Sapranno comprendere il legame tra struttura locale (differenziale) e forma globale (topologica) delle varietà riemanniane.

2. Conoscenza e capacità di comprensione applicate (Applying knowledge and understanding)
Gli studenti e le studentesse saranno in grado di applicare le nozioni apprese a esempi concreti, verificando le proprietà geometriche delle varietà riemanniane. Sapranno calcolare geodetiche, curvature e analizzare esempi significativi come sfere, spazi iperbolici, prodotti (deformati), e varietà modello.

3. Autonomia di giudizio (Making judgements)
Il corso mira a sviluppare la capacità di analizzare criticamente le strutture geometriche studiate, formulando giudizi autonomi sulla validità delle proprietà e dei risultati appresi. Gli studenti saranno stimolati a riflettere sul significato geometrico dei concetti teorici e sulla loro interazione con la topologia delle varietà.

4. Abilità comunicative (Communication skills)
Attraverso discussioni teoriche, e verifiche lasciate da svolgere a casa, gli studenti saranno incoraggiati a esprimere in modo chiaro e rigoroso i concetti della geometria Riemanniana, sia in forma scritta che orale. Saranno in grado di presentare dimostrazioni, esempi e argomentazioni logico-matematiche in modo efficace.

5. Capacità di apprendere (Learning skills)
Il corso fornirà gli strumenti teorici e metodologici per affrontare in autonomia lo studio di sviluppi avanzati della geometria Riemanniana. Gli studenti saranno in grado di approfondire argomenti non trattati esplicitamente a lezione, completando dimostrazioni, consultando testi specialistici e integrando le conoscenze in un percorso di apprendimento continuo.

Contenuti sintetici

Al fine di fornire il supporto intuitivo necessario per affrontare lo studio delle varietà Riemanniane, il corso prenderà le mosse da alcuni aspetti introduttivi sulla teoria classica locale e globale delle superfici regolari nello spazio Euclideo tridimensionale. Quindi, partendo dal problema dell’esistenza di una metrica Riemanniana su una generica varietà differenziale, si passerà alla nozione di derivazione di Levi-Civita, e di corrispondente trasporto parallelo, che consentirà di definire il concetto di curva geodetica come curva ad accelerazione nulla. Attraverso la lunghezza di curve, verrà introdotta una distanza intrinseca che indurrà la topologia della varietà soggiacente e, di qui, si entrerà negli aspetti globali delle geodetiche che si concretizzeranno nella nozione di completezza e nelle sue caratterizzazioni metriche (Teorema di Hopf-Rinow). Lo studio del tensore di curvatura di Riemann e delle sue tracce precederà la parte culminante del corso che, tempo permettendo, sarà dedicata al legame tra il segno della curvatura e la topologia di una varietà Riemanniana completa.

Programma esteso

  1. Cenno alle superfici regolari nello spazio Euclideo e alle loro curvature
  2. Definizione ed esistenza delle metriche Riemanniane
  3. Connessione di Levi-Civita e trasporto parallelo
  4. Geodetiche e mappa esponenziale
  5. La struttura metrica intrinseca di una varietà Riemanniana
  6. Le curvature di una varietà Riemanniana
  7. Campi di Jacobi e punti coniugati
  8. Risultati globali
    8.1) Teoria globale delle geodetiche e completezza
    8.2) Il Teorema di Bonnet-Myers
    8.3) (tempo permettendo) Il Teorema di Cartan-Hadamard

Prerequisiti

Calcolo differenziale in più variabili, nozioni di base sulle varietà differenziabili, algebra lineare e multilineare.

Modalità didattica

56 ore svolte in modalità erogativa, in presenza (8 cfu).

Le lezioni si svolgono in italiano, e ove necessario, in inglese.

Materiale didattico

Testi per la parte introduttiva sulla teoria delle superfici

M. P. do Carmo, Differential geometry of curves & surfaces. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2016.

M. Abate; F. Tovena, Curves and surfaces. Unitext, 55 Springer, Milan, 2012.

Testi di base sulla Geometria Riemanniana

M. P. do Carmo Riemannian geometry. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992.

Lee, John M. Introduction to Riemannian manifolds. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer, Cham, 2018.

Ulteriore materiale didattico (come le note delle lezioni) verrà fornito durante il corso

Testi per approfondimenti

S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine Riemannian geometry. Third edition. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004.

P. Petersen, Riemannian Geometry. Graduate Texts in Mathematics, 171. Springer, 2006.

T. Sakai, Riemannian geometry. Transl. Math. Monogr., 149 American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.

Periodo di erogazione dell'insegnamento

Secondo semestre

Modalità di verifica del profitto e valutazione

La verifica dell’apprendimento avviene attraverso un esame orale tradizionale, durante il quale studentesse e studenti dovranno mostrare di aver acquisito le nozioni di base, le dimostrazioni dei principali teoremi, e la capacità di analisi e di calcolo su alcuni esempi concreti. Gli aspetti introduttivi sulla geometria delle superfici Euclidee non saranno oggetto di verifica. A loro scelta, studentesse e studenti potranno cominciare l'esame con un breve seminario di approfondimento su un tema non trattato durante il corso.

Orario di ricevimento

Su appuntamento

Sustainable Development Goals

ISTRUZIONE DI QUALITÁ
Esporta

Aims

1. Knowledge and understanding
By the end of the course, students will have acquired a solid understanding of the foundations of classical Riemannian geometry, including the concepts of Riemannian metric, Levi-Civita connection, geodesics, and curvature. They will be able to grasp the relationship between the local (differential) structure and the global (topological) shape of Riemannian manifolds.

2. Applying knowledge and understanding
Students will be able to apply the acquired concepts to concrete examples, verifying the geometric properties of Riemannian manifolds. They will be capable of computing geodesics and curvature, and of analyzing significant examples such as spheres, hyperbolic spaces, (warped) products and and model manifolds.

3. Making judgements
The course aims to develop the ability to critically analyze the studied geometric structures and to make independent judgements about the validity of the properties and results learned. Students will be encouraged to reflect on the geometric meaning of theoretical concepts and their interaction with the topology of the manifold.

4. Communication skills
Through theoretical discussions and take-home assignments, students will be encouraged to express the concepts of Riemannian geometry clearly and rigorously, both in written and oral form. They will be able to effectively present proofs, examples, and logical-mathematical arguments.

5. Learning skills
The course will provide the theoretical and methodological tools needed to independently pursue the study of advanced developments in Riemannian geometry. Students will be able to delve into topics not explicitly covered in class, complete proofs, consult specialized texts, and integrate new knowledge within a process of continuous learning.

Contents

In order to provide the intuitive support necessary to approach the study of Riemannian manifolds, the course will begin with some introductory aspects of the classical local and global theory of regular surfaces in three-dimensional Euclidean space. Then, starting from the problem of the existence of a Riemannian metric on a generic differentiable manifold, the course will move on to the notion of the Levi-Civita connection and the corresponding parallel transport, which will allow for the definition of a geodesic as a curve with zero acceleration. Through the concept of curve length, an intrinsic distance will be introduced, which will induce the topology of the underlying manifold. From there, the course will delve into the global aspects of geodesics, culminating in the notion of completeness and its metric characterizations (Hopf–Rinow Theorem). The study of the Riemann curvature tensor and its traces will precede the culminating part of the course, which, time permitting, will be dedicated to the relationship between the sign of curvature and the topology of a complete Riemannian manifold.

Detailed program

  1. Outline of regular surfaces in Euclidean space and their curvatures
  2. Definition and existence of Riemannian metrics
  3. Levi-Civita connection and parallel transport
  4. Geodesics and expontential map
  5. The intrinsic metric structure of a Riemannian manifold
  6. Curvatures of a Riemannian manifold
  7. Jacobi fields and conjugate points
  8. Global results
    8.1) Global theory of geodesics and completeness
    8.2) The Bonnet-Myers Theorem
    8.3) (time permitting) The Cartan-Hadamard Theorem

Prerequisites

Differential calculus in several variables, basic notions of differentiable manifolds, linear and multilinear algebra.

Teaching form

56 hours of of in-person, lecture-based teaching (8 ects)

Lectures are primarily in Italian, and when necessary, in English.

Textbook and teaching resource

Texbooks for the introductory part on the theory of surfaces

M. P. do Carmo, Differential geometry of curves & surfaces. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2016.

M. Abate; F. Tovena, Curves and surfaces. Unitext, 55 Springer, Milan, 2012.

Basic textbooks on Riemannian Geometry

M. P. do Carmo Riemannian geometry. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992.

Lee, John M. Introduction to Riemannian manifolds. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer, Cham, 2018.

Additional teaching material (such as lecture notes) will be provided during the course

Texbooks for further studies

S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine Riemannian geometry. Third edition. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004.

P. Petersen Riemannian Geometry. Graduate Texts in Mathematics, 171. Springer, 2006.

T. Sakai, Riemannian geometry. Transl. Math. Monogr., 149 American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.

Semester

Second semester

Assessment method

The assessment of learning is conducted through a traditional oral exam, during which the student must demonstrate their acquisition of basic concepts, the proofs of the main theorems, and the ability to analyze and perform calculations on some concrete examples. The introductory aspects of the geometry of Euclidean surfaces will not be subject to assessment. At their discretion, students may begin the exam with a brief seminar focusing on an in-depth topic not covered during the course.

Office hours

By appointment

Sustainable Development Goals

QUALITY EDUCATION
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Scheda del corso

Settore disciplinare
MAT/03
CFU
8
Periodo
Secondo Semestre
Ore
56
Tipologia CdS
Laurea Magistrale
Lingua
Italiano

Staff

    Docente

  • SP
    Stefano Pigola

Opinione studenti

Vedi valutazione del precedente anno accademico

Bibliografia

Trova i libri per questo corso nella Biblioteca di Ateneo

Metodi di iscrizione

Iscrizione manuale

Obiettivi di sviluppo sostenibile

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