- Methods of Applied Analysis
- Summary
Course Syllabus
Obiettivi
**Obiettivi formativi secondo i 5 Descrittori di Dublino
Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding)
Lo studente acquisirà la conoscenza dei concetti fondamentali, sviluppati con rigore logico-deduttivo.
**Conoscenza e capacità di comprensione applicate (Applying knowledge and understanding)
Lo studente sarà in grado di applicare in modo autonomo e flessibile le conoscenze acquisite alla risoluzione di esercizi, problemi matematici e situazioni applicative, anche in contesti diversi da quello puramente teorico, sviluppando tecniche e strategie risolutive appropriate.
**Autonomia di giudizio (Making judgements)
Lo studente svilupperà la capacità di analizzare criticamente i concetti appresi e di valutare in modo autonomo la correttezza e la coerenza logica di definizioni, teoremi, dimostrazioni e procedimenti risolutivi. Verrà incentivata l’elaborazione personale dei contenuti e il riconoscimento dei collegamenti tra diversi ambiti.
**Abilità comunicative (Communication skills)
Lo studente acquisirà la capacità di esporre in maniera chiara, rigorosa ed efficace i contenuti teorici, utilizzando correttamente il linguaggio matematico e logico-formale, sia in forma scritta che orale. Sarà anche in grado di presentare la soluzione di problemi ed esercizi in modo articolato e giustificato, dimostrando padronanza del lessico specialistico.
**Capacità di apprendere (Learning skills)
Il corso fornirà allo studente gli strumenti concettuali e metodologici necessari per affrontare con successo problemi di tipo applicativo. Verrà stimolata la capacità di studio autonomo e di gruppo e l’acquisizione di un metodo di apprendimento fondato sulla comprensione profonda, sull’argomentazione logica e sulla pratica ragionata.
Contenuti sintetici
Corso monografico su Traffico veicolare.
- Modelli macroscopici: LWR e sistemi $2x2$
- Reti stradali: incroci, semafori, rotonde ...
- Problemi di controllo: sincronizzazione dei segnali semaforici, auto a guida autonoma...
Programma esteso
- Modellizzazione mediante equazioni alle derivate parziali.
- Metodo delle caratteristiche.
- Leggi di conservazione iperboliche.
- Metodi numerici di approssimazione per leggi di conservazione.
Prerequisiti
Contenuti dei corsi di analisi della laurea triennale.
Spazi di Banach e di Hilbert e spazi Lᵖ.
Modalità didattica
Lezioni frontali svolte in modalità erogativa, in presenza: 56 ore, 8 cfu
Corso erogato in lingua inglese.
Materiale didattico
- A. Bressan. Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem. Vol. 20. Oxford University Press on Demand, 2000.
- L.C. Evans. Partial differential equations, American Mathematical Society.
- M. Garavello, K. Han, B. Piccoli. Models for vehicular traffic on networks, AIMS, 2016.
- R. J. LeVeque. Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge University Press, 2002.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame scritto. All'esame viene richiesto di rispondere ad alcune domande relative al materiale svolto. Le risposte devono essere precise, esaurienti e coerenti con le domande.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
**Learning Objectives according to the Dublin Descriptors
**Knowledge and understanding
Students will acquire a solid understanding of the fundamental concepts, developed with logical and rigorous methods.
**Applying knowledge and understanding
Students will be able to autonomously and flexibly apply the acquired knowledge to solve exercises, mathematical problems, and basic applications, even in contexts beyond pure theory. They will develop appropriate techniques and problem-solving strategies.
**Making judgements
Students will develop the ability to critically analyze the concepts learned and to independently assess the logical consistency and correctness of definitions, theorems, proofs, and problem-solving methods. Personal reflection and the ability to connect different areas of Applied Analysis will be encouraged.
**Communication skills
Students will be able to clearly, rigorously, and effectively communicate theoretical content using proper mathematical and formal language, both in written and oral form. They will also be able to present the solutions of exercises and problems in a well-structured and justified manner, demonstrating mastery of mathematical vocabulary.
**Learning skills
The course will provide students with the conceptual and methodological tools needed to successfully tackle problems of applicable type. Independent and shared study skills will be fostered, together with a learning approach based on deep understanding, logical reasoning, and reflective practice in problem-solving.
Contents
Vehicular Traffic.
- Macroscopic models: LWR and $2x2$ systems
- Road networks: junctions, traffic lights, roundabout ...
- Control problems: traffic lights timings, autonomous vehicles...
Detailed program
- Modeling using partial differential equations.
- Method of characteristics.
- Hyperbolic conservation laws.
- Numerical methods for conservation laws.
Prerequisites
Knowledge of basic courses of Analysis.
Banach and Hilbert spaces. Lᵖ spaces.
Teaching form
64 hours of in-person, lecture-based teaching (8 ECTS)
Course delivered in English.
Textbook and teaching resource
- A. Bressan. Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem. Vol. 20. Oxford University Press on Demand, 2000.
- L.C. Evans. Partial differential equations, American Mathematical Society.
- M. Garavello, K. Han, B. Piccoli. Models for vehicular traffic on networks, AIMS, 2016.
- R. J. LeVeque. Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge University Press, 2002.
Semester
Second period.
Assessment method
Written examination: Students will answer questions covering the course content. Answers must be precise, detailed, comprehensive, and consistent with the topic.
Office hours
By appointment.