Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze riguardanti i fondamenti dell'Analisi Funzionale. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere e analizzare le principali tecniche e i metodi dimostrativi connessi alla teoria, e le abilità utili ad applicarle per affrontare problemi in diversi ambiti della matematica. Particolare enfasi verrà posta sulla risoluzione di problemi da parte degli studenti.
*Obiettivi formativi
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1. Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente acquisirà una conoscenza chiara e sistematica dei principali concetti dell’analisi funzionale, in particolare riguardo all'analisi su spazi localmente compatti di Hausdorff, spazi di funzioni continue e Lp, topologia deboli e debole (debole stella), compattezza nelle topologie deboli e teoremi di rappresentazione di Riesz.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente sarà in grado di applicare i metodi appresi alla risoluzione di esercizi e problemi, in contesti di difficoltà variabile, mostrando padronanza delle tecniche di problem solving e comprensione delle strutture matematiche di base.
3. Autonomia di giudizio
Lo studente svilupperà la capacità di comprendere e valutare criticamente definizioni, enunciati e dimostrazioni, riconoscendo gli strumenti concettuali più adatti per l’analisi e la risoluzione dei problemi proposti.
4. Abilità comunicative
Lo studente saprà esporre i concetti fondamentali del corso con chiarezza e rigore, utilizzando correttamente il linguaggio matematico.
5. Capacità di apprendimento
Lo studente svilupperà le competenze necessarie per proseguire in autonomia lo studio dell’analisi, con capacità di consultazione di testi scientifici, risorse online e risorse didattiche adeguate.
Contenuti sintetici
Spazi localmente compatti di Hausdorff. Spazi di funzioni continue e Lp, topologia deboli e debole* (debole stella). Compattezza nelle topologie deboli. Teoremi di rappresentazione di Riesz.
Programma esteso
Spazi metrici, spazi vettoriali normati, compattezza della bolla chiusa e dimensione.
Spazi di funzioni continue, e compattezza tramite il Teorema di Ascoli-Arzelà.
Funzionali lineari e topologia debole su uno spazio normato. Funzionali subadditivi positivamente omogenei. Forma generale del Teorema di Hahn-Banach. Convessità e separazione mediante iperpiani.
Topologia debole* (debole stella). Biduale ed embedding di James. Il Teorema di Banach-Alaoglu: compattezza debole* della palla chiusa nel duale.
Cenni alla riflessività degli spazi di Banach e uniforme convessità.
Prerequisiti
Elementi di teoria dell’integrazione astratta, elementi di teoria degli spazi Lᵖ, elementi di topologia generale. Conoscenze di base sugli spazi di Banach e sugli spazi di Hilbert. Abilità di problem-solving in matematica.
Modalità didattica
56 ore di lezione, 8 CFU. Didattica erogativa e interattiva, in presenza e mista.
Le lezioni frontali sono organizzate per introdurre i principali concetti teorici, presentare le principali idee nella dimostrazione dei teoremi e analizzare esplicitamente esempi/problemi. Durante il corso saranno assegnati degli esercizi da svolgere in autonomia con lo scopo di allenare le proprie capacità di problem solving, e di approfondire qualche aspetto della teoria. Lezioni in video corredate da attività online per facilitare e testare la comprensione dei concetti potranno essere previste durante l'anno.
Il corso è previsto in lingua inglese.
Materiale didattico
Referenze bibliografiche
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011
- G.B. Folland. Real analysis. Modern techniques and their applications. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999.
- W. Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill Book Co., New York, third edition, 1987
- T. Bühler and D. A. Salamon. Functional analysis. Graduate Studies in Mathematics, volume 191. AMS, Providence, RI, 2018
Ulteriore materiale
Sulla pagina E-Learning del corso verranno distribuiti i seguenti documenti:
- Alcune note del corso, o collegamenti a materiale online
- Esercizi e problemi.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame sarà scritto, con orale facoltativo. Non sono previste prove in itinere. La parte scritta consisterà nella risoluzione di esercizi/problemi, con lo scopo di testare la comprensione degli studenti sul programma del corso e le loro abilità di problem-solving.
L'orale è facoltativo (a richiesta dello studente o del docente), e consisterà in un colloquio sullo scritto e nella risoluzione di ulteriori esercizi/problemi. Senza l'esame orale non è possibile verbalizzare un voto maggiore o uguale al 28.
Orario di ricevimento
Su appuntamento (da concordare via e-mail).
Sustainable Development Goals
Aims
Consistently with the educational objectives of the master degree in Mathematics, this course aims to provide the student with knowledge concerning the fundamentals of Functional Analysis, the skills necessary to understand and analyze the main techniques and proofs related to the theory. The skills useful in applying them to tackle problems in different areas of mathematics will also be provided. Particular emphasis will be placed on problem solving.
*Learning Outcomes.
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1. Knowledge and Understanding
The student will acquire a clear and systematic knowledge of the main concepts of functional analysis, particularly with respect to analysis on locally compact Hausdorff spaces, spaces of continuous functions and Lp, weak and weak (weak star) topologies, compactness in weak topologies, and Riesz representation theorems.
2. Ability to apply knowledge and understanding
The student will be able to apply the methods learned to solving exercises and problems, in contexts of varying difficulty, showing mastery of problem solving techniques and understanding of basic mathematical structures.
3. Autonomy of judgment
The student will develop the ability to understand and analyze definitions, statements, and proofs, recognizing the most appropriate conceptual tools for analyzing and solving proposed problems.
4. Communication Skills
The student will be able to expound the fundamental concepts of the course with clarity and rigor, using mathematical terminology appropriately.
5. Learning skills
The student will develop the skills necessary to pursue the study of analysis independently, with the ability to consult scientific texts, online resources, and appropriate teaching resources.
Contents
Locally compact Hausdorff spaces. Spaces of continuous and Lp functions. Weak and weak* (weak star) topologies. Compactness in the weak topologies. Riesz representation theorems.
Detailed program
Metric spaces, normed vector spaces, compactness of the closed ball and dimension.
Spaces of continuous functions, and compactness through the Ascoli-Arzelà Theorem.
Linear functionals and weak topology on a normed space. Sub-additive positively homogenous functionals. The Hahn-Banach theorem: general form. Convexity and hyperplane separation.
The weak* (weak star) topology. Bi-dual and the James embedding. The Banach-Alaoglu Theorem: weak* compactness of the closed ball in the dual space.
Brief overview of reflexivity and uniform convexity for Banach spaces.
Prerequisites
Elements of the theory of abstract integration, elements of Lᵖ space theory , elements of general topology. Basic knowledge of Banach spaces and Hilbert spaces. Problem-solving skills in mathematics.
Teaching form
56 hours of lectures, 8 CFU. Frontal and interactive lectures, in-person and mixed learning.
Lectures are organized to introduce the main theoretical concepts, to present the main ideas of the proofs of the theorems and to analyze explicit examples/problems. Exercises will be assigned in order to train the problem solving skills of the students, and to elaborate on some aspects of the theory. Lectures in video published on the e-learning platform along with interactive activities may be scheduled during the year.
All the activities are in English.
Textbook and teaching resource
Bibliographic references
- H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.
- G.B. Folland. Real analysis. Modern techniques and their applications. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999.
- W. Rudin. Real and complex analysis. McGraw-Hill Book Co., New York, third edition, 1987
- T. Bühler and D. A. Salamon. Functional analysis. Volume 191 of Graduate Studies in Mathematics. AMS, Providence, RI, 2018.
Further material
On the e-learning page of the course, the following will be made available:
- Some lecture notes, or links to online resources
- Exercises and problems.
Semester
First semester.
Assessment method
The final exam is written, with the possibility of an oral part. There are no partial exams during the course. The written exam consists in the resolution of exercises/problems, with the aim of testing the knowledge of the students on the topics of the course, as well as testing their problem-solving skills.
The oral part of the exam is not mandatory, but it can be asked for by the student or the teacher. It consists of a discussion about the written part of the exam, and the resolution of other exercises/problems. Without an oral exam, it is not possible to obtain a mark greater than or equal to 28.
Office hours
By appointment (to be scheduled via e-mail).
Sustainable Development Goals
Staff
-
Daniele Valtorta
