Course Syllabus
Obiettivi
Il corso di "Stochastic Methods and Models" mira a fornire agli studenti una selezione approfondita di metodi, concetti e modelli avanzati della teoria della probabilità e dei processi stocastici, sia da un punto di vista teorico che pratico.
Al termine del corso, gli studenti avranno acquisito i seguenti risultati di apprendimento, espressi secondo i Descrittori di Dublino:
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Conoscenza e Capacità di Comprensione (Knowledge and understanding):
Gli studenti avranno una conoscenza approfondita e specialistica dei risultati avanzati della teoria della probabilità (grandi deviazioni), dei processi stocastici (catene di Markov a tempo continuo) e della modellazione stocastica (grafi casuali). Saranno in grado di comprendere e interpretare formalmente concetti complessi legati a eventi rari, processi di Poisson, passeggiate aleatorie e proprietà dei grafi casuali. -
Capacità di Applicare Conoscenza e Comprensione (Applying knowledge and understanding):
Gli studenti saranno in grado di applicare le nozioni teoriche avanzate acquisite alla soluzione di esercizi complessi e all'analisi critica di problemi e modelli stocastici in contesti sia accademici che applicativi. Avranno una comprensione operativa del linguaggio della probabilità e padronanza di tecniche di dimostrazione avanzate, come il coupling. -
Autonomia di Giudizio (Making judgements):
Gli studenti saranno capaci di formulare giudizi autonomi e critici sulla pertinenza e l'applicabilità di specifici metodi e modelli stocastici per l'analisi di fenomeni complessi. Sapranno valutare la validità delle assunzioni e le implicazioni dei risultati ottenuti da modelli stocastici avanzati. -
Abilità Comunicative (Communication skills):
Gli studenti saranno in grado di comunicare in modo chiaro e rigoroso, sia oralmente che per iscritto, concetti complessi, risultati di analisi e dimostrazioni relative a metodi e modelli stocastici, a specialisti e non specialisti. Il corso, essendo tenuto in inglese, potenzierà ulteriormente queste abilità in un contesto internazionale. -
Capacità di Apprendimento (Learning skills):
Gli studenti avranno sviluppato le capacità di apprendimento necessarie per affrontare in autonomia ulteriori studi in ambiti correlati alla probabilità avanzata, ai processi stocastici e alla modellazione matematica, nonché per rimanere aggiornati sugli sviluppi della ricerca scientifica nel settore. Saranno in grado di approfondire argomenti specifici utilizzando testi e risorse avanzate
Contenuti sintetici
L'insegnamento si apre con alcuni risultati di grandi deviazioni, teoria che fornisce un quadro che permette di studiare eventi rari su scala esponenziale. Nella seconda parte del corso si approfondiscono le catene di Markov a tempo discreto e si introducono le catene di Markov a tempo continuo, dando particolare importanza al Processo di Poisson, essendo un esempio naturale di processo stocastico a tempo continuo con stati discreti. La terza parte del corso è dedicata ad approfondimenti sulle proprietà delle passeggiate aleatorie, un argomento fondamentale e ricco di spunti. L'ultima parte del corso si occupa della teoria dei grafi aleatori, un argomento di ricerca che sta ricevendo grande attenzione.
Programma esteso
1. Grandi deviazioni
- Il teorema di Cramér
- Entropia relativa e teorema di Sanov
- Il principio di grandi deviazioni
- Il principio di contrazione e il lemma di Varadhan
2. Catene di Markov a tempo discreto e continuo
- Richiami (irriducibilità, classificazione degli stati)
- Proprietà di Markov forte
- Misure invarianti e convergenza all'equilibrio
- Semigruppi e generatori su spazi numerabili
- Processo di Poisson
3. Passeggiate aleatorie
- Passeggiate aleatorie semplici: Passeggiate aleatorie semplici monodimensionali, Teorema di Polya
- Passeggiate aleatorie su grafi: Problema di Dirichlet, Passeggiate aleatorie in ambiente aleatorio
- Ricorrenza e transienza per catene di Markov numerabili: Funzione di Liapunov e criteri di Foster-Lamperti
4. Grafi aleatori
- Il modello di Erdős–Rényi
- Soglie nel modello di Erdos-Renyi: Connettività e l'emergere di un componente gigante
Prerequisiti
Le conoscenze, competenze e abilità impartite negli insegnamenti di calcolo delle probabilità e processi stocastici (variabili aleatorie, martingale, legge condizionale) oltre che quelle impartite nei corsi di analisi matematica.
Modalità didattica
Il corso consiste in 56 ore di insegnamento in presenza, basato su lezioni frontali, equivalenti a 8 CFU. È diviso in due componenti principali:
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**Teorico: **con un focus sulla presentazione di definizioni, risultati ed esempi rilevanti.
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Pratico: con un focus sulle competenze necessarie per applicare le conoscenze teoriche sia all'analisi dei modelli che alla soluzione degli esercizi.
Il corso sarà condotto in inglese.
Materiale didattico
Appunti delle lezioni del docente.
Testi di riferimento:
- F. den Hollander. Large Deviations, Fields Institute Monographs, vol. 14. AMS (2008).
- E. Pardoux. Markov Processes and Applications: Algorithms, Networks, Genome and Finance, Wiley (2008).
- Q. Berger, F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilità: un primo corso attraverso esempi, modelli e applicazioni (II edizione), Springer (2021).
- T. M. Liggett. Continous time Markox Processes (An Introduction), American Mathematical Society (2010).
- G. Last, M. Penrose. Lectures on the Poisson Process, Cambridge University Press (2017).
- S. Asmussen, Applied Probability and Queues, Springer (2003).
- R. Durrett. Probability: theory and examples. 5th edition (2019). The book can be downloaded for free from his personal webpage https://services.math.duke.edu/~rtd/.
- R. Lyons and Y. Peres, Probability on Trees and Networks, Cambridge University Press (2016). The book can be downloaded for free from Lyons homepage https://rdlyons.pages.iu.edu/prbtree/book.pdf.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame si articola in due parti: una consegna di esercizi svolti in autonomia, che contribuisce per un sesto al voto finale, e una prova orale, che contribuisce per cinque sesti al voto finale, espresso in trentesimi.
La consegna di esercizi consiste nella risoluzione di alcuni esercizi proposti durante il corso, che lo studente dovrà svolgere in autonomia e consegnare con un anticipo di almeno 5 giorni rispetto alla prova orale, e ha lo scopo di valutare la continuità dell'apprendimento e le abilità pratiche.
La prova orale consiste in un colloquio della durata indicativa di 30-60 minuti in cui vengono valutate la conoscenza delle definizioni, enunciati ed esempi presentati durante il corso e la competenza e abilità nell'esposizione di una selezione di argomenti con i dettagli delle dimostrazioni.
Ci saranno 6 appelli d'esame (due a giugno/luglio, uno a settembre, tre a gennaio/febbraio).
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
The "Stochastic Methods and Models" course aims to provide students with an in-depth selection of advanced methods, concepts, and models from probability theory and stochastic processes, from both a theoretical and practical point of view.
Upon completion of the course, students will have acquired the following learning outcomes, expressed according to the Dublin Descriptors:
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Knowledge and understanding:
Students will possess deep and specialized knowledge of advanced results in probability theory (large deviations), stochastic processes (continuous-time Markov chains), and stochastic modeling (random graphs). They will be able to formally understand and interpret complex concepts related to rare events, Poisson processes, random walks, and properties of random graphs. -
Applying knowledge and understanding:
Students will be able to apply the acquired advanced theoretical notions to solve complex exercises and critically analyze stochastic problems and models in both academic and applied contexts. They will have an operational understanding of probabilistic language and master advanced proof techniques, such as coupling. -
Making judgements:
Students will be capable of formulating independent and critical judgments on the relevance and applicability of specific stochastic methods and models for analyzing complex phenomena. They will know how to evaluate the validity of assumptions and the implications of results obtained from advanced stochastic models. -
Communication skills:
Students will be able to communicate clearly and rigorously, both orally and in writing, complex concepts, analysis results, and proofs related to stochastic methods and models, to both specialists and non-specialists. The course, being conducted in English, will further enhance these skills in an international context. -
Learning skills:
Students will have developed the learning skills necessary to autonomously undertake further studies in fields related to advanced probability, stochastic processes, and mathematical modeling, as well as to stay updated on developments in scientific research within the field. They will be able to delve into specific topics using advanced texts and resources.
Contents
The course starts with an introduction to large deviations, a theory that provides tools to investigate the probability of rare events at exponenial scale. In the second part of the course some advanced results on discrete time Markov chains are given, as well as an introduction to the continuous counterpart. In particular, the Poisson process will receive special attention, being a natural example of continuous-time stochastic process having discrete states. In the third part of the course we shall study topics related to random walks, a fundamental and rich object in probability. In the last part of the course we will discuss the theory of random graphs, a research topic that is receiving great attention.
Detailed program
1. Large deviations
- Cramer's Theorem
- Relative entropy and Sanov's Theorem
- Large deviations principle
- The contraction principle and Varadhan's lemma
2. Discrete & Continuous-time Markov chains
- Reminders (irreducibility, classification of states)
- Markov property
- Invariant measures and convergence to equilibrium
- Semigroups and generators on countable spaces
- Poisson process
3. Random walks
- Simple random walk: path properties for the one-dimentional case, Polya's Theorem
- Random walks on graphs: Harmonic functions, Dirichlet problem, Random walks in random environments
- Recurrence and transience of countable Markov chains: Lyapunov functions and Foster-Lamperti's criteria
4. Random graphs
- Erdős–Rényi model
- Thresholds in the Erdős–Rényi model: Connectivity and the emergence of a giant component
Prerequisites
The knowledge, competences and skills taught in classical probability and stochastic processes courses (random variables, martingales, conditional law) as well as those taught in mathematical analysis courses.
Teaching form
The course consists of 56 hours of in-person, lecture-based teaching, equivalent to 8 ECTS. It is divided into two main components:
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Theoretical: with focus on presenting definitions, results, and relevant examples.
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Practical: with focus on the skills necessary to apply theoretical knowledge to both model analysis and exercise solutions.
The course will be conducted in English.
Textbook and teaching resource
Course's lecture notes by the lecturer.
Reference textbooks:
- F. den Hollander. Large Deviations, Fields Institute Monographs, vol. 14. AMS (2008).
- E. Pardoux. Markov Processes and Applications: Algorithms, Networks, Genome and Finance, Wiley (2008).
- Q. Berger, F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilità: un primo corso attraverso esempi, modelli e applicazioni (II edizione), Springer (2021).
- T. M. Liggett. Continous time Markox Processes (An Introduction), American Mathematical Society (2010).
- G. Last, M. Penrose. Lectures on the Poisson Process, Cambridge University Press (2017).
- S. Asmussen, Applied Probability and Queues, Springer (2003).
- R. Durrett. Probability: theory and examples. 5th edition (2019). The book can be downloaded for free from his personal webpage https://services.math.duke.edu/~rtd/.
- R. Lyons and Y. Peres, Probability on Trees and Networks, Cambridge University Press (2016). The book can be downloaded for free from Lyons homepage https://rdlyons.pages.iu.edu/prbtree/book.pdf.
Semester
Spring term
Assessment method
The exam consists of two parts*:* individual assignment of exercises contribuiting one sixth to the final grade, and an oral exam contribuiting five sixths to the final grade, which will be converted as a 30 point score.
The individual assignment of exercises consists in the resolution of some exercises proposed during the course, which have to be solved autonomously by the students and due (at least) 5 days before the oral exam. This examination tests the continuity of learning as well as practical skills.
The oral exam consists in an interview lasting about 30-60 minutes and tests the knowledge of definitions, statements and examples presented during the course, as well as presentation skills related to a selection of topics and detailed proofs.
There will be 6 exam sessions (two in June/July, one in September and three in January/February)..
Office hours
By appointment
Sustainable Development Goals
Staff
-
Tal Orenshtein
