Course Syllabus
Obiettivi
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Conoscenza e capacità di comprensione
Il corso fornisce agli studenti una conoscenza avanzata dei concetti fondamentali, delle definizioni e dei principali risultati della teoria dei processi stocastici in tempo discreto. Particolare attenzione sarà dedicata alla teoria delle martingale, evidenziandone il ruolo centrale nella probabilità moderna e nelle sue applicazioni. Gli studenti approfondiranno la comprensione delle strutture probabilistiche essenziali e acquisiranno familiarità con il formalismo matematico avanzato utilizzato nel settore. -
Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Gli studenti svilupperanno la capacità di applicare gli strumenti teorici e le tecniche probabilistiche apprese per risolvere esercizi, analizzare modelli e affrontare problemi legati ai processi stocastici in tempo discreto. Saranno in grado di applicare in modo rigoroso i principali risultati teorici, come i teoremi di arresto opzionale, i teoremi di convergenza per le martingale e altri principi fondamentali, a problemi concreti di teoria della probabilità e discipline affini. -
Autonomia di giudizio
Il corso promuoverà la capacità di ragionamento critico e autonomo degli studenti nell’ambito matematico. Gli studenti impareranno a valutare la correttezza degli argomenti, a selezionare gli strumenti matematici più idonei nella risoluzione dei problemi e a esaminare criticamente le ipotesi e i limiti dei risultati all'interno della teoria dei processi stocastici. -
Abilità comunicative
Gli studenti miglioreranno la loro capacità di comunicare in modo chiaro e rigoroso concetti matematici avanzati, sia oralmente che in forma scritta, utilizzando il linguaggio e il formalismo propri della teoria della probabilità. Saranno incoraggiati a presentare dimostrazioni, discutere risultati teorici e spiegare l’applicazione dei concetti principali a diversi contesti nell’ambito dei processi stocastici. -
Capacità di apprendimento
Al termine del corso, gli studenti avranno rafforzato la capacità di studio autonomo e di acquisizione di nuove conoscenze nell’ambito della probabilità avanzata e dei processi stocastici. Saranno preparati per approfondire ulteriormente tali argomenti attraverso corsi specialistici, attività di ricerca o applicazioni di modelli stocastici in matematica, finanza o altre discipline quantitative.
Contenuti sintetici
Complementi di probabilità, Legge e speranza condizionale. Martingale a tempo discreto. Mercati finanziari e Martingale. Esempi e applicazioni.
Programma esteso
- Complementi di Probabilità: Funzione caratteristica, unicità e connessione con la convergenza debole. Vettori gaussiani. Criteri di compattezza rispetto alla convergenza in legge.
- Legge e speranza condizionale. Definizioni e proprietà. Esistenza della speranza condizionale di una variabile aleatoria rispetto a una sigma algebra. Proprietà fondamentali: proprietà della torre, disuguaglianza di Jensen, lemma del congelamento (freezing). Teoremi di passaggio al limite.
- Martingale a tempo discreto. Definizione ed esempi (somme di v.a. indipendenti centrate, prodotto di v.a. indipendenti e di media 1, martingale chiuse). Integrale di un processo prevedibile. Martingale arrestate. Teorema di arresto opzionale. Applicazioni: tempo di primo passaggio di una passeggiata aleatoria su Z; problema della rovina del giocatore. Lemma sugli attraversamenti (upcrossing). Convergenza quasi certa delle martingale limitate in L^1. Martingale limitate in L^2. Uniforme integrabilità e convergenza in L^1. Dimostrazione della legge forte dei grandi numeri. Disuguaglianza massimale. Disuguaglianza di Doob, convergenza in L^p. Esempi: processi di ramificazione di Galton-Watson. Applicazioni alla convergenza di somme di variabili alaeatorie
- Mercati finanziari a tempo discreto. Arbitraggio e misura martingala equivalente
Prerequisiti
Sono necessarie le nozioni del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e più variabili reali e quelle del calcolo delle probabilità con teoria della misura. È utile conoscere definizioni e prime proprietà degli spazi L^p e degli spazi di Hilbert.
Modalità didattica
Si utilizza un approccio didattico ibrido che combina didattica erogativa (DE) e didattica interattiva (DI). Nella DE si fornisce la conoscenza di definizioni, risultati ed esempi rilevanti, il cui scopo è di fornire competenze e abilità necessarie per utilizzare tali nozioni nella risoluzione di esercizi e nell'analisi di problemi (anche legati ad applicazioni extra-matematiche). La DI prevede interventi attivi degli studenti tramite risposte a domande e problemi posti dal docente, brevi interventi, discussioni collettive e solitamente viene svolta nella seconda parte della lezione. Non è possibile stabilire precisamente a priori il numero di ore dedicate alla DE e alla DI, poiché le modalità si intrecciano in modo dinamico per adattarsi alle esigenze del corso e favorire un apprendimento partecipativo e integrato, combinando teoria e pratica.
Materiale didattico
- Jean Jacod & Philip Protter: Probability essentials
- D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press (1991).
- Dispense e appunti dei docenti (disponibili sulla piattaforma di e-learning).
- Testi e soluzioni dei temi delle prova scritta degli anni precedenti (disponibili sulla piattaforma di e-learning).
- Elenco delle dimostrazioni che possono essere richieste durante la prova orale (disponibili sulla piattaforma di e-learning).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame scritto e orale. Voto in trentesimi. Non vengono effettuate prove in itinere
Nella prova scritta, che contiene ESERCIZI, PROBLEMI e DOMANDE DI TEORIA a risposta aperta, viene valutata la abilità operativa di risolvere esercizi utilizzando le conoscenze fornite nel corso. La prova scritta viene valutata con un voto in trentesimi. È necessario ottenere una valutazione di almeno 16/30 nella prova scritta per accedere alla prova orale, che consta in un COLLOQUIO DI DISCUSSIONE SULLO SCRITTO E SUGLI ARGOMENTI SVOLTI A LEZIONE. Nell'orale viene valutata se lo studente ha acquisito le competenze necessarie a presentare una selezione delle dimostrazioni svolte in aula, e, soprattutto, la conoscenza critica e operativa delle definizioni e dei risultati del corso, anche mediante l’illustrazione di esempi e controesempi. La valutazione finale risulterà dalla combinazione ragionata tra la valutazione della prova scritta e quella della prova orale. L'esame è superato se il voto è almeno 18/30.
Ci saranno 6 appelli d'esame
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
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Knowledge and understanding
The course provides students with an advanced understanding of the fundamental concepts, definitions, and main results in the theory of stochastic processes in discrete time. Particular emphasis will be placed on the theory of martingales, highlighting its central role in modern probability and its applications. Students will deepen their comprehension of key probabilistic structures and will acquire familiarity with advanced mathematical formalism used in the field. -
Applying knowledge and understanding
Students will develop the ability to apply the theoretical tools and probabilistic techniques to solve exercises, analyze models, and tackle problems involving discrete-time stochastic processes. They will be able to rigorously apply fundamental results, such as optional stopping theorems, martingale convergence theorems, and other core principles, to concrete problems in probability theory and related areas. -
Making judgements
The course will foster the students’ capacity for autonomous critical thinking in mathematical reasoning. They will learn to evaluate the validity of arguments, to choose appropriate mathematical tools in solving problems, and to critically assess the hypotheses and limitations of the results within the theory of stochastic processes. -
Communication skills
Students will improve their ability to clearly and rigorously communicate advanced mathematical concepts, both orally and in writing, using the specific language and formalism of probability theory. They will be encouraged to present proofs, discuss theoretical results, and explain the application of key concepts to diverse contexts within stochastic processes. -
Learning skills
Upon completion of the course, students will have strengthened their ability to engage in autonomous study and to acquire new knowledge in advanced probability and stochastic processes. They will be equipped to deepen their understanding through further specialized courses, research activities, or applications of stochastic models in mathematics, finance, or other quantitative disciplines.
Contents
Complements of probability, Conditional law and conditional expectation. Martingales in discrete time. Financial markets and Martingales. Examples and applications.
Detailed program
- Advanced probability: Characteristic function, uniquenessand relations with convergence in law. Gaussian vectors. Compactness creteria for the convergence in law.
- Conditional law and expectation. Definitions and properties. Existence of conditional expectation of a random variable with respect to a sigma algebra. Fundamental properties: tower property, Jensen inequality, freezing. Limit theorems.
- Discrete-time Martingales. Definition and examples (sums of independent centered r.v.s, products of independent r.v.s with expectation 1, closed martingales). Integral of a predictable process. Stopped Martingales. Optional stopping theorem. Applications: first hitting time of a random walk on Z; the gambler's ruin problem. Upcrossing Lemma. Almost sure convergence of martingales bounded in L^1 norm. Martingales bounded in L^2 norm. Uniform integrability and convergence in L^1. Proof of the strong law of large numbers. Maximal inequality. Doob's inequality, convergence in L^p. Examples: Galton-Watson branching processes. Applicastion to the convergence of sums of random variables
- Financial markets with discrete time. Arbitrage and equivalent martingale measure.
Prerequisites
Knowledge of differential and integral calculus for functions of one and more real variables, as well as measure-theoretical probability theory is needed. It is also useful to know definitions and basic properties of L^p spaces and Hilbert spaces.
Teaching form
A hybrid teaching approach is used, combining lecture-based (DE) and interactive teaching (DI) methods. The DE includes theoretical lessons in which the knowledge about definitions, results and relevant examples is given, in order to give the skills and abilities needed to use the previous notions to solve exercises and to deal with problems (also related to extra-mathematical applications). The DI involves active student participation through answering questions and problems posed by the instructor, short presentations, and group discussions, usually conducted in the second part of the lesson. The exact number of hours dedicated to DE and DI cannot be predetermined, as the methods intertwine dynamically to adapt to the course needs, fostering participatory and integrated learning by combining theory and practice
Textbook and teaching resource
- Jean Jacod & Philip Protter: Probability essentials
- D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press (1991).
- Lecture notes (available on the e-learning platform)
- Written tests from previous years, with detailed solutions (available on the e-learning platform).
- List of proofs that may be requested during the oral examination (available on the e-learning platform).
Semester
First (fall) semester.
Assessment method
Written and oral exam. Mark out of thirty. There are no ongoing tests.
The written test, containing PROBLEMS, EXERCISES, and THEORETICAL QUESTIONS with open answers evaluates the operational ability to solve exercises, it receives a mark out of thirty. It is necessary to obtain an evaluation of at least 16/30 in the written test to access the oral exam, that consists in a DISCUSSION OF THE WRITTEN TEST AND OF THE TOPICS TREATED DURING LECTURES. It evaluates the capacity to present a selection of proofs and, above all, the critical and operational knowledge of the definitions and results presented during the course, also by means of examples and counterexamples. The oral exam will therefore deal with the topics treated during lectures. The final evaluation will result from the combination between the evaluation of the written test and that of the oral examination. The exam is passed if the evaluation is at least 18/30.
There will be 6 exam sessions.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
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Federica Masiero
