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Percorso della pagina
  1. Area di Scienze
  2. Corso di Laurea Magistrale
  3. Matematica [F4002Q - F4001Q]
  4. Insegnamenti
  5. A.A. 2025-2026
  6. 1° anno
  1. Sistemi Dinamici, Informazione, Complessità
  2. Introduzione
Insegnamento Titolo del corso
Sistemi Dinamici, Informazione, Complessità
Codice identificativo del corso
2526-1-F4002Q026
Descrizione del corso SYLLABUS

Syllabus del corso

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Obiettivi

ll corso ha l’obiettivo di fornire conoscenze e competenze nell’ambito della teoria dei sistemi dinamici, della teoria dell’informazione e della complessità algoritmica, nonché la capacità di applicarle in contesti teorici e applicativi. Gli obiettivi formativi sono articolati secondo i cinque Descrittori di Dublino:

1. Conoscenza e capacità di comprensione
Il corso fornisce allo studente

  • le conoscenze di nozioni di base della moderna teoria dei sistemi dinamici, della teoria dell’informazione e della complessità algoritmica;
  • le competenze utili a comprendere i metodi dimostrativi connessi alla teoria ed a condurre in modo autonomo l’approfondimento di alcune delle tematiche sopra citate;
    .

2. Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Lo studente fornisce le conoscenza e capacità necessarie all’applicazione delle nozioni acquisite allo studio di sistemi dinamici elementari, alla risoluzione di esercizi di diversi gradi di difficoltà, all’analisi anche computazionale di sequenze simboliche di diversa natura, con particolare attenzione alle applicazioni in campo biologico e letterario.

3. Autonomia di giudizio
Il corso favorisce:
• la capacità di valutare criticamente le tecniche e i risultati matematici presentati;
• l’autonomia nello studio e nell’approfondimento di tematiche avanzate;
• la riflessione sui limiti e sulle potenzialità delle metodologie impiegate.

4. Abilità comunicative
Al termine del corso, lo studente saprà:
• esporre concetti teorici in modo chiaro e rigoroso;
• descrivere strategie risolutive e metodi matematici;
• utilizzare un linguaggio scientifico appropriato in contesti sia specialistici sia divulgativi.

5. Capacità di apprendimento
Il corso sviluppa:
• le competenze necessarie per proseguire gli studi in ambito matematico o interdisciplinare;
• la capacità di aggiornamento autonomo;
• l’attitudine al problem solving anche in contesti non standard.

Contenuti sintetici

Il corso intende fornire allo studente una conoscenza approfondita del quadro teorico necessario allo studio e analisi di sequenze simboliche di diversa natura. I principali contenuti comprendono: approccio statistico ai sistemi dinamici, sorgenti di informazione, contenuto di informazione algoritmica.

Programma esteso

Il corso è suddiviso in tre parti:

  1. Esempi di sistemi dinamici a tempo discreto. Cenni di dinamica topologica. Dinamica simbolica. Ricorrenza, misure invarianti ed ergodiche. Teoremi ergodici. Mescolamento. Entropia di Kolmogorov-Sinai.
  2. Entropia di Shannon. Entropia relativa, mutua informazione. Equipartizione asintotica. Tasso di entropia per processi stocastici stazionari. Codici: disuguaglianza di Kraft, codici ottimali, stima dell’efficienza di un codice. Compressori universali. Algoritmo LZ78.
  3. Macchine di Turing. Calcolatori universali. Complessità algoritmica di Kolmogorov. Probabilità universale. Problema dell’arresto. Numero di Chaitin. Teorema di Brudno.

Prerequisiti

È sufficiente avere familiarità con le conoscenze, competenze e abilità apprese durante la laurea triennale, in particolare nei corsi di Sistemi Dinamici e Meccanica Classica, Teoria della Misura e Calcolo delle Probabilità.

Modalità didattica

Lezioni frontali in modalità erogativa, con uso di lavagna.
Il corso è previsto in lingua italiana ma potrebbe essere tenuto in lingua inglese in presenza di studenti stranieri.

Materiale didattico

Non c’è un unico testo che copra tutti gli argomenti del corso, di conseguenza verranno dati di volta in volta dal docente riferimenti opportuni. Verranno inoltre fornite note del docente per alcune parti del corso.

Gran parte degli argomenti trattati si possono trovare nei testi seguenti:

  • M.Brin & G. Stuck, "Introduction to Dynamical Systems", Cambridge University Press. 2002 (1 copia disponibile al prestito in biblioteca; (e-book disponibile sul sito della biblioteca)
  • P.Walters, “An Introduction to Ergodic Theory”, GTM 89, Springer-Verlag (2 copie disponibili al prestito in biblioteca; (e-book non disponibile in biblioteca)
  • T. M. Cover & J. A. Thomas, “Elements of Information Theory”, 2nd ed., Wiley-Interscience (2 copie disponibili al prestito in biblioteca; (e-book disponibile sul sito della biblioteca)
  • M.Li, P.Vitányi, “An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications”, second edition, GTCS, Springer-Verlag, 1997; (e-book disponibile sul sito della biblioteca)

Periodo di erogazione dell'insegnamento

II semestre.

Modalità di verifica del profitto e valutazione

Non sono previste prove parziali.
L'esame finale consiste in una prova orale, della durata indicativa di 45 minuti in cui lo studente verrà valutato sia sull'apprendimento delle nozioni da un punto di vista matematico (definizioni, enunciati, dimostrazioni) che sulla loro utilità (esempi presentati durante il corso), nonché sulla capacità di maneggiarle in autonomia. In via facoltativa lo studente può integrare il colloquio con la presentazione di un progetto di stampo applicativo o di un approfondimento teorico su argomenti di interesse. La scelta dell'argomento della parte facoltativa va concordata in anticipo col docente. La valutazione dell'eventuale progetto/approfondimento peserà per 1/2 sul giudizio finale.

Orario di ricevimento

Su appuntamento.

Sustainable Development Goals

ISTRUZIONE DI QUALITÁ
Esporta

Aims

The course aims to provide knowledge and skills in the fields of dynamical systems theory, information theory, and algorithmic complexity, as well as the ability to apply these concepts in both theoretical and applied contexts. The learning objectives are structured according to the five Dublin Descriptors:

⸻

  1. Knowledge and Understanding

The course provides students with:
• knowledge of the fundamental concepts of modern dynamical systems theory, information theory, and algorithmic complexity;
• skills needed to understand the related proof techniques and to independently explore and deepen some of the above-mentioned topics.

⸻

  1. Applying Knowledge and Understanding

Students will acquire the knowledge and abilities necessary to:
• apply the acquired concepts to the study of elementary dynamical systems;
• solve exercises of varying levels of difficulty;
• perform computational analysis of symbolic sequences of different types, with particular attention to applications in the biological and literary domains.

⸻

  1. Making Judgements

The course fosters:
• the ability to critically evaluate the presented mathematical techniques and results;
• autonomy in studying and exploring advanced topics;
• reflection on the limitations and potential of the methodologies used.

⸻

  1. Communication Skills

By the end of the course, students will be able to:
• clearly and rigorously present theoretical concepts;
• describe problem-solving strategies and mathematical methods;
• use appropriate scientific language in both specialist and general contexts.

⸻

  1. Learning Skills

The course develops:
• the skills necessary to pursue further studies in mathematics or in interdisciplinary fields;
• the ability to independently update and expand one’s knowledge;
• the aptitude for problem solving, even in non-standard contexts.

Contents

The course aims to provide the student with an in-depth knowledge of the theoretical framework underlying the analysis of symbolic sequences of different origin. The main contents include: statistical approach to dynamical systems, information sources, algorithmic information content.

Detailed program

The course is divided into three parts:

  1. Examples of discrete-time dynamical systems. Elements of topological dynamics. Symbolic dynamics. Ergodic theory. Kolmogorov-Sinai entropy.
  2. Shannon entropy. Relative entropy, mutual information. Asymptotic equipartition. Entropy rate for stationary stochastic processes. Codes: Kraft inequality, optimal codes, efficiency of a code. Universal compressors. LZ78 algorithm.
  3. Turing machines. Universal machines. Kolmogorov algorithmic complexity. Universal probability. Halting problem. Chaitin's number. Brudno's theorem.

Prerequisites

No course of the Master Degree in Mathematics is strictly required for attending the present course. The only prerequisites are the mathematical knowledge, competences and skills acquired during the three-year grade, especially in the courses of Dynamical Systems and Classical Mechanics, Measure Theory, Probability.

Teaching form

Lectures via expository teaching with blackboard.
Lectures are scheduled in Italian but they could be held in English in the presence of foreign students.

Textbook and teaching resource

There is not a single textbook covering all topics.

Many of the topics are covered by:

  • M.Brin & G. Stuck, "Introduction to Dynamical Systems", Cambridge University Press. 2002 (1 copie available in the library; (e-book online)
  • P.Walters, “An Introduction to Ergodic Theory”, GTM 89, Springer-Verlag (2 copies available in the library; (e-book not available)
  • T. M. Cover & J. A. Thomas, “Elements of Information Theory”, 2nd ed., Wiley-Interscience (2 copies available in the library; (e-book online)
  • M.Li, P.Vitányi, “An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications”, second edition, GTCS, Springer-Verlag, 1997; (e-book online)

Lecture notes will be distributed covering all the arguments.

Semester

II Semester.

Assessment method

There are not partial exams. The final evaluation will be an exam (of about 45 minutes) in which the student will be assessed both on mathematical aspects of the theory (definitions, statements, proofs), on the application of the theory (examples discussed during lectures), as well as on the ability to handle the topic independently. Optionally, the student can integrate the exam with the presentation of a project (the choice of the project should be discussed in advance with the instructor). In this case, the relative weight of the project and of the oral examination is equal.

Office hours

Upon appointment.

Sustainable Development Goals

QUALITY EDUCATION
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Scheda del corso

Settore disciplinare
MAT/07
CFU
8
Periodo
Secondo Semestre
Ore
56
Tipologia CdS
Laurea Magistrale
Lingua
Italiano

Staff

    Docente

  • GC
    Giampaolo Cristadoro

Opinione studenti

Vedi valutazione del precedente anno accademico

Bibliografia

Trova i libri per questo corso nella Biblioteca di Ateneo

Metodi di iscrizione

Iscrizione manuale
Iscrizione spontanea (Studente)

Obiettivi di sviluppo sostenibile

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