Syllabus del corso
Obiettivi formativi
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Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding)
Al termine del corso, lo studente avrà acquisito una solida comprensione delle tecniche fondamentali del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale. Tali conoscenze costituiranno le basi teoriche per la successiva formalizzazione e analisi di modelli quantitativi utilizzati nella statistica e nell’economia. Particolare attenzione sarà rivolta alla comprensione dei concetti di limite, continuità, derivata, integrale, serie numeriche e funzioni elementari. -
Conoscenza e capacità di comprensione applicate (Applying knowledge and understanding)
Lo studente sarà in grado di utilizzare in modo consapevole gli strumenti di base del calcolo infinitesimale per:
- risolvere problemi matematici legati a funzioni di una variabile reale;
- analizzare proprietà qualitative di una funzione (come zeri, crescenza, decrescenza, estremi relativi, asintoti, simmetrie e integrabilità);
- applicare le tecniche del calcolo in semplici contesti modellistici tratti dalla microeconomia e dalla statistica di base.
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Autonomia di giudizio (Making judgements)
Lo studente svilupperà la capacità di interpretare criticamente affermazioni espresse in linguaggio matematico e di valutare in modo autonomo la coerenza logica di soluzioni e procedimenti. Sarà inoltre in grado di scegliere e giustificare i metodi analitici più appropriati per lo studio di una funzione o la risoluzione di un problema applicativo, in particolare in ambito statistico. -
Abilità comunicative (Communication skills)
Lo studente acquisirà la capacità di comunicare con precisione e rigore i contenuti matematici appresi, utilizzando correttamente il linguaggio simbolico e formale. Saprà esporre in modo chiaro le strategie risolutive adottate, argomentare le scelte effettuate e presentare in forma comprensibile risultati quantitativi e qualitativi anche a interlocutori non specialisti, in contesti multidisciplinari. -
Capacità di apprendere (Learning skills)
Il corso fornirà allo studente strumenti concettuali e metodologici utili per affrontare con autonomia e spirito critico lo studio di argomenti successivi, sia in ambito matematico che statistico. Saranno promosse capacità di astrazione e generalizzazione che favoriranno l’apprendimento attivo e la comprensione di modelli quantitativi più complessi.
Contenuti sintetici
- Insiemi Numerici
- Successioni
- Serie
- Limiti e continuità
- Derivate
- Primiteve e integrali
Programma esteso
La retta reale
Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi e funzioni
Elementi di topologia della retta reale
Successioni
Il concetto di limite
Limitatezza e convergenza
Successioni monotone
i teoremi di confronto
Limiti notevoli
La gerarchia delle successioni divergenti e delle successioni infinitesime
Sottosuccessioni
Serie
Serie a termini di segno definitivamente costante
Serie a termini di segno non costante
Riordinamenti
Limiti e continuità
Funzioni
Limiti di funzioni
I teoremi algebrici e di confronto per limiti di funzioni
Il Teorema sul limite della funzione
Limiti di funzioni
Limiti all’infinito e asintoti
Continuità e Teoremi sulle funzioni continue
Limiti notevoli
(Appendice) Costruzione della funzione esponenziale e della funzione logaritmo273
Derivate
Motivazioni e definizioni
Rapporti tra continuità e derivabilità
Punti angolosi, flessi a tangente verticale e cuspidi
Calcolo delle derivate
Derivata della funzione composta
Derivata della funzione inversa
Proprietà globali delle funzioni
Teoremi di Fermat , Rolle, Lagrange e Cauchy
Convessità e derivabilità
Formula di Taylor
Serie di Taylor della funzione
Primitive ed integrali
Integrali indefiniti
I teoremi di integrazione per parti e per sostituzione per integrali indefiniti
Integrazione delle funzioni
Integrali definiti
Proprietà dell’integrale definito
Il Teorema fondamentale del calcolo integrale
Integrali generalizzati
Il criterio del confronto integrale per la convergenza delle serie
Prerequisiti
Il Corso non prevede formalmente propedeuticità interne al corso di laurea. E' però fortemente consigliato allo studente un ripasso (eventualmente guidato da tutor) degli argomenti di matematica tipicamente presenti nei programmi delle scuole secondarie superiori. Più precisamente:
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algebra: equazioni di primo e secondo grado, principio di annullamento del prodotto e principio di identità dei polinomi;
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geometria analitica: equazioni di rette, coniche (parabole, ellissi, iperboli), funzioni esponenziali e logaritmiche;
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trigonometria piana: angoli in radianti, funzioni seno, coseno, tangente, identità fondamentale della trigonometria, formule di addizione, duplicazione e di bisezione;
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disequazioni in una variabile reale.
Metodi didattici
Tutte le lezioni sono svolte in presenza, in modalità erogativa (DE), per un totale di 84 ore.
Le lezioni frontali si propongono di trasmettere l'idea che sta alla base di un concetto o nozione matematici inclusi nel programma, e di abituare gli studenti alla loro formalizzazione. Con questi presupposti, gli studenti vengono condotti ad una corretta interpretazione di asserzioni relative ai contenuti e, successivamente, alla loro applicazione per la risoluzione di vario genere di problemi. Al fine di implementare con efficacia questo schema di trasmissione dei contenuti (cioè, nozione-formalizzazione-relazione con altre nozioni (teoremi)-tecniche di calcolo ed utilizzo in contesti applicativi), durante le lezioni viene dato ampio spazio alla discussione di esempi sia di specifiche nozioni, in casi particolarmente significativi ed illuminanti, sia all'applicazione di tecniche di calcolo e risoluzioni di problemi ad esse relativi.
Vengono anche proposti agli studenti percorsi (opzionali) di verifica del proprio apprendimento, durante l'erogazione del corso, attraverso molteplici serie di esercizi da svolgersi in autonomia, poi discussi in apposite sessioni di confronto con i tutor. L' occasione fornisce la possibilità di interagire con il personale docente (titolare del corso e tutor), anche al fine di evidenziare criticità che si manifestino nella fase di apprendimento.
Modalità di verifica dell'apprendimento
La modalità di verifica si basa su una prova scritta obbligatoria, e, in caso di superamento della prova scritta con una valutazione sufficiente (>=18/30), su una prova orale facoltativa (su richiesta del docente o della/o studentessa/studente). In alternativa alla prova scritta, lo studente può sostenere due prove scritte in itinere (prove parziali) che avranno luogo una sola volta durante l'anno accademico, rispettivamente a metà circa del Corso e subito dopo il termine delle lezioni.
Le prove scritte, sia parziali che comprensive di tutto il programma, posseggono la medesima struttura ma per le prove parziali il numero delle domande e degli esercizi è dimezzato. Esse sono volte ad accertare l'acquisizione di competenze teoriche, di tecniche di calcolo e d'utilizzo dei principali strumenti, e di capacità di risolvere problemi analoghi a quelli discussi in aula durante le lezioni del Corso.
Le prove scritte complete son composte da 4 DOMANDE A RISPOSTA CHIUSA (quesiti con scelta a risposta multipla) e 2 DOMANDE A RISPOSTA APERTA sugli argomenti principali del Corso, con la finalità di rilevare l'acquisizione dei fondamentali del programma e 4 PROBLEMI/ESERCIZI. La risoluzione di problemi/esercizi richiede la razionalizzazione di una questione matematica, l'applicazione di uno o più principi, talora opportunamente combinati, nonchè l'uso degli strumenti di calcolo appresi, mentre nelle domande aperte è richiesta una succinta ma pertinente esposizione teorica (ad esempio, la definizione formale di nozioni, la formulazione di enunciati e, ove previsto, la loro giustificazione, il confronto tra nozioni, esempi e/o controesempi) degli argomenti in programma.
Nel caso delle prove in itinere, il voto finale è determinato come media aritmetica (ove necessario approssimata per eccesso) delle due votazioni conseguite (alla prima ed alla seconda prova).
La prova orale, facoltativa, è intesa ad accertare l'apprendimento di tutti gli elementi di teoria proposti a lezione nonchè la capacità di applicazione degli stessi. Essa prevede pertanto un COLLOQUIO DI DISCUSSIONE SULLO SCRITTO, seguito da un COLLOQUIO SU ARGOMENTI SVOLTI A LEZIONE.
Il voto della prova orale è un valore compreso tra -2 e 4 che va a sommarsi alla valutazione dello scritto per determinare la valutazione finale.
I criteri seguiti dalla commissione d'esame per valutare le prove (sia in itinire sia finali) terranno conto del rigore metodologico nella risoluzione dei problemi, delle capacità di espressione precisa e rigorosa di concetti quantitativi, della completezza di trattazione nell'esposizione di questioni teoriche.
Testi di riferimento
D. Addona, B. Gariboldi e L. Lorenzi, Analisi Mathetatica 1, Esculapio 2022
D. Addona, B. Gariboldi e L. Lorenzi, Analisi Mathetatica 1 - Esercizi, Esculapio 2023
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2008
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2011
A. Guerraggio, Matematica, Pearson, 2014.
Ulteriore materiale, in particolare esercizi (proposti e risolti) per la verifica dell'apprendimento o simulazioni di prove d'esame, è reso disponibile sulla pagina dedicata al corso.
Per recuperare le nozioni elencate tra i prerequisiti si consiglia, tra gli altri,
M. Buscema, F. Lattanzi, L. Mazzoli, A. Veredice, M. Castellani, F. Gozzi, Precorso di Matematica, Società Editrice Esculapio, Bologna, 2022.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
ll Corso viene erogato nel primo semestre dell'Anno Accademico.
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
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Knowledge and understanding
At the end of the course, students will have acquired a solid understanding of the fundamental techniques of differential and integral calculus for real functions of a real variable. This knowledge will form the theoretical basis for the formalization and analysis of quantitative models used in statistics and economics. Special attention will be devoted to understanding the concepts of limit, continuity, derivative, integral, numerical series, and elementary functions. -
Applying knowledge and understanding
Students will be able to consciously use the basic tools of infinitesimal calculus to:
- solve mathematical problems involving real-variable functions;
- analyze qualitative properties of a function (such as zeros, growth, decrease, relative extrema, asymptotes, symmetries, and integrability);
- apply calculus techniques in simple modeling contexts from microeconomics and basic statistics.
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Making judgements
Students will develop the ability to critically interpret statements expressed in mathematical language and to independently assess the logical coherence of solutions and procedures. They will also be able to select and justify the most appropriate analytical methods for studying a function or solving an applied problem, especially in statistical contexts. -
Communication skills
Students will acquire the ability to communicate learned mathematical content with precision and rigor, using symbolic and formal language appropriately. They will be able to clearly present problem-solving strategies, explain their choices, and effectively communicate quantitative and qualitative results even to non-specialist audiences in multidisciplinary contexts. -
Learning skills
The course will provide students with conceptual and methodological tools useful for independently and critically tackling the study of subsequent topics, both in mathematics and statistics. Skills in abstraction and generalization will be promoted to support active learning and understanding of more complex quantitative models.
Contents
- Subsets of the real line
- Sequences
- Series
- Limits and continuity
- Differential calculus
- Integral calculus
Detailed program
The Real Line
- Maximum, minimum, supremum and infimum of sets and functions
- Elements of topology on the real line
Sequences
- The concept of limit
- Boundedness and convergence
- Monotonic sequences
- Comparison theorems
- Notable limits
- The hierarchy of divergent and infinitesiml sequences
- Subsequences
Series
- Series with eventually constant sign terms
- Series with non-constant sign terms
- Rearrangements
Limits and Continuity
- Functions
- Limits of functions
- Algebraic and comparison theorems for limits of functions
- The theorem on the limit of a function
- Limits at infinity and asymptotes
- Continuity and theorems on continuous functions
- Notable limits
- (Appendix) Construction of the exponential and logarithmic functions
Derivatives
- Motivations and definitions
- Relationship between continuity and differentiability
- Sharp points, vertical tangent inflection points, and cusps
- Computation of derivatives
- Derivative of composite functions
- Derivative of the inverse function
- Global properties of functions
- Theorems of Fermat, Rolle, Lagrange, and Cauchy
- Convexity and differentiability
- Taylor’s formula
- Taylor series of a function
Integrals
- Indefinite integrals
- Theorems of integration by parts and by substitution for indefinite integrals
- Integration of functions
- Definite integrals
- Properties of the definite integral
- The Fundamental Theorem of Calculus
- Improper integrals
- The integral comparison test for convergence of series
Prerequisites
No inner prerequisite. A refreshement (guided by a tutor, if any) is strongly advised, which should concern the main topics typically taught at the high school. More precisely:
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algebra: solving algebraic equations of first and second degree, product cancellation and polynomial identity principle;
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Cartesian geometry: lines, conics (parable, ellipse, hyperbole), exponential and logarithmic functions;
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trigonometry on the plane: angles in radiants, fundamental trigonometrical functions (sine, cosine and tangent) and related formulae;
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unidimensional inequalities.
Teaching methods
All class lectures are in-person lessons, for a total amount of 84 hours.
Class lectures are aimed at exposing the main ideas behind a notion formulated in mathematical terms and at enabling students to adequately formalize them. In this way, students are enabled to read statements about the contents and to apply them for solving problems of various kind. In order to implement this way of content trasmission (i.e. notion-mathematical formalization-connection with other notions-calculus techniques-employement in applications), all during the class lectures emphasis is given to discussing examples and specific concepts in illustrative cases, as well as to employment of calculus techniques and problem solving.
During the teaching period, some exercise sessions are organized helping the autonomuous learning as well as (optional) self-assessment sessions, through various groups of exercizes to be solved and then discussed with the tutor. In that occasion, students can interact with the teacher, as to detect learning criticalities.
Assessment methods
Students are supposed to pass a written examinaton. For all those students who have passed the written examination, scoring a value >=18/30, an oral examination is upon request (by the teacher and the student). Interim assessments are also organized once per academic year, usually after the first half of the course and then at the end. For interim assessments, final marks are given as an arithmetic average of the partial scores.
The written examination, both mid-term and complete, aims at certifying the student skills about theoretical contents and calculus techniques provided in the course, as well as their capability in problem solving.
It consists of 2 CLOSED QUESTIONS and 2 OPEN QUESTIONS about the main subjects of the course, aimed at checking the proficiency of the basic elements and 4 PROBLEMS/EXERCISES .
Problems/exercises require to formalize a mathematical issue, to apply and combine principles, and to perform computations by means of given calculus tools, while open questions require to expose in detail some theoretical subject (e.g. providing formal definitions, theorem statements, and, whenever requested, proofs, as well as examples and counterexamples) within the course contents.
In the (optional) oral examination students are questioned about all theoretical contents of the course. During the oral examiniation students must be able to argue the solution approaches proposed in their written test and to discuss in full details the theoretical contents of the course.
The evaluation of the oral exam will be a number between -2 and 4 to be added to the evaluation of the written exam.
The assessment for exams (in both cases, mid-term and complete) will take into acoount the methodological rigor in problem solving and in expressing mathematical concepts as well as the completeness and depth in exposing theoretical issues.
Material for exam simulations is also provided.
Textbooks and Reading Materials
D. Addona, B. Gariboldi e L. Lorenzi, Analisi Mathetatica 1, Esculapio 2022
D. Addona, B. Gariboldi e L. Lorenzi, Analisi Mathetatica 1 - Esercizi, Esculapio 2023
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2008
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2011
A. Guerraggio, Matematica, Pearson, 2014.
Some additional material, in particular anthologies of exercises (with solution and comments) and exam simulations, are provided in the web-page associated to the course.
For refreshing prerequisites, reference to
M. Buscema, F. Lattanzi, L. Mazzoli, A. Veredice, M. Castellani, F. Gozzi, Precorso di Matematica, Società Editrice Esculapio, Bologna, 2022
is advised.
Semester
First Semester
Teaching language
Italian
Sustainable Development Goals
Staff
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Sergio Alejandro Gomez Macias
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Gianmario Tessitore
