Course Syllabus

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Il corso ha l'obiettivo di fornire agli studenti gli strumenti matematici dinamici necessari per analizzare e comprendere l'evoluzione temporale di sistemi complessi in ambito ecologico, economico e socio-ambientale. A partire dai fondamenti delle equazioni differenziali e delle equazioni alle differenze, lo studente acquisirà la capacità di formalizzare matematicamente la dinamica di popolazioni, risorse naturali e variabili economiche, comprendendo il ruolo cruciale della non-linearità nel generare comportamenti quali-quantitativamente diversi: equilibri stabili o instabili, oscillazioni periodiche, biforcazioni e caos deterministico.

Parallelamente, il corso introduce lo studente all'evoluzione storica del pensiero modellistico, da Malthus (1798) a Verhulst (1838), Gompertz (1825), Lotka-Volterra (1920-1926) fino ai modelli integrati più recenti come il World3 (1972), Brander-Taylor (1998), Pezzey-Anderies (2001) e HANDY (2014). Lo studente acquisirà consapevolezza del valore euristico dei modelli matematici come "esperimenti mentali" per esplorare scenari di sostenibilità o collasso, nonché dei limiti intrinseci di ciascuna modellistica.

Un elemento qualificante del corso è l'integrazione della biodiversità come tema trasversale: lo studente comprenderà il ruolo della diversità biologica come fondamento dei servizi ecosistemici e come fattore di resilienza, nonché gli strumenti modellistici (relazione specie-area, metapopolazioni, modelli spaziali) per quantificare gli effetti della frammentazione degli habitat e del degrado ambientale.

Al termine del corso, lo studente sarà in grado di:

  • Formalizzare matematicamente semplici problemi dinamici in ambito ecologico ed economico, traducendo in equazioni differenziali o alle differenze le relazioni qualitative tra variabili (popolazione, risorse, ricchezza, inquinamento).

  • Analizzare la dinamica di modelli a una o più variabili, determinando punti di equilibrio, studiandone la stabilità mediante analisi lineare (autovalori per sistemi di ODE, derivata per mappe unidimensionali) e interpretando i risultati in termini di sostenibilità o vulnerabilità del sistema.

  • Simulare numericamente i modelli proposti, utilizzando strumenti computazionali per esplorare l'effetto della variazione dei parametri e per visualizzare traiettorie, ritratti di fase e diagrammi di biforcazione.

  • Valutare criticamente i modelli esistenti (World3, HANDY, Brander-Taylor, ecc.) identificandone assunzioni, limiti, campi di validità e implicazioni per le politiche di sostenibilità, inclusi i trade-off tra sviluppo economico, conservazione della biodiversità e salute pubblica.

  • Applicare le nozioni di capacità portante, resilienza e soglie ecologiche all'analisi di casi studio quali la gestione delle risorse rinnovabili, la conservazione degli habitat, gli effetti della disuguaglianza sulle dinamiche di collasso.

  • FONDAMENTI MATEMATICI

  • ORIGINI E MODELLI DI POPOLAZIONE E BIODIVERSITÀ

  • INTEGRAZIONE ECONOMIA-AMBIENTE

PARTE 1: FONDAMENTI MATEMATICI

  • Equazioni Differenziali
    Definizioni e classificazioni: ODE lineari e non-lineari, primo ordine e sistemi
    Interpretazione geometrica: campi di direzione e ritratti di fase
    Soluzione analitica per ODE lineari del primo ordine
    Il concetto di punto di equilibrio e stabilità

  • Equazioni alle Differenze
    Definizione e interpretazione dei modelli a tempo discreto
    Crescita geometrica e mappa logistica come esempio introduttivo
    Stabilità dei punti fissi in una dimensione
    Biforcazioni: il concetto di cambio di regime

  • Strumenti per l'Analisi Dinamica
    Sistemi di equazioni differenziali: punti di equilibrio
    Analisi di stabilità lineare: autovalori e loro interpretazione
    Cicli limite e biforcazioni: transizioni tra comportamenti qualitativamente diversi

  • Caos deterministico

PARTE 2: LE ORIGINI E MODELLI DI POPOLAZIONE E BIODIVERSITÀ

  • Il Modello di Malthus (1798)
    La Crescita Illimitata
    Modello esponenziale
    Analisi: Soluzione esponenziale, tempo di raddoppio, crescita esplosiva, Assenza di freni endogeni
    La versione discreta

  • Il Modello di Verhulst (1838)
    La Capacità Portante
    Analisi: Punti di equilibrio, stabilità di K, crescita sigmoide
    La versione discreta: Mappa logistica
    cascata di raddoppi di periodo, caos

  • Il Modello di Gompertz (1825)
    La assimmetria
    Il tasso di crescita variabile
    La versione discreta
    Biforcazioni caos

  • Modello di Lotka-Volterra (1920-1926)
    Interazione Preda-Predatore
    Analisi: Cicli limite, punto di equilibrio, dinamiche oscillanti

  • Modello di MacArthur e Wilson (1967)
    La Relazione Specie-Area
    Frammentazione degli Habitat

  • Modello di Levins (1969)
    Modelli di metapopolazione
    Modelli Spaziali per la biodiversità
    Analisi dinamica
    Comportamenti complessi

PARTE 3: L'INTEGRAZIONE ECONOMIA-AMBIENTE

  • Il Modello World3 (1972)
    I Limiti della Crescita su Scala Globale
    Modello di dinamica dei sistemi di Forrester e Meadows
    Interazione tra popolazione, produzione industriale, inquinamento e risorse
    Collasso vs. stabilizzazione

  • Il Modello di Brander e Taylor (1998)
    L'Isola di Pasqua
    Modello preda-predatore con scelta economica
    Allocazione del lavoro tra sussistenza e produzione di "prestigio"

  • Il Modello di Pezzey e Anderies (2001)
    Estensione del Modello di Taylor
    Introduzione di un requisito di sussistenza minimo
    Politiche di conservazione (tasse, quote)

  • Il Modello HANDY (Human And Nature DYnamics) (2014)
    Modello a 3 variabili: Popolazione, Ricchezza, Risorse Naturali
    Disuguaglianze
    Punti di equilibrio (sostenibile, collasso),
    biforcazioni (Hopf, transcritica)

Questi sono i prerequisiti minimi senza i quali il corso non può essere seguito, gli studenti devono arrivare con queste conoscenze già acquisite; per alcuni degli argomenti di algebra lineare è previsto un modulo di ripasso iniziale.

  • Funzioni elementari
    Conoscenza approfondita di esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche.

  • Equazioni e Funzioni
    Risoluzione di equazioni: Equazioni lineari, quadratiche, esponenziali e logaritmiche.
    Studio di funzione: Calcolo di limiti, asintoti, punti di massimo/minimo.

  • Calcolo Differenziale e Integrale
    Derivate: Concetto di derivata come tasso di variazione, regole di derivazione (prodotto, quoziente, catena).
    Integrali: Integrazione di funzioni elementari, integrazione per parti, sostituzione.

  • Algebra Lineare di Base
    Vettori e matrici: Operazioni fondamentali (somma, prodotto, inversa).
    Determinante e autovalori: Concetto di autovalore e autovettore, calcolo del determinante per matrici
    Sistemi lineari: Risoluzione di sistemi di equazioni lineari.

  • Equazioni e Funzioni
    Risoluzione di equazioni: Equazioni lineari, quadratiche, esponenziali e logaritmiche.
    Studio di funzione: Calcolo di limiti, asintoti, punti di massimo/minimo.

Lezioni di teoria ed esercitazioni frontali; tutte le 32 ore di lezione e di esercitazione sono di tipo erogativo, da sviluppare lungo 16 incontri.

La valutazione finale consiste in un esame scritto, che può essere completato da un esame orale facoltativo.
Nell'esame scritto, gli studenti devono risolvere esercizi ed eventualmente rispondere a domande aperte. Gli esercizi riguardano le modellistiche proposte durante lo svolgimento del corso.
Nell'esame orale, gli studenti devono essere in grado di discutere tutti gli argomenti trattati nel corso, includendo sia gli aspetti teorici sia pratici. L'esame orale opzionale può influire sia positivamente sia negativamente sul voto finale.

Slide del corso e materiale didattico, comprensivo di esercizi e soluzioni, fornito sulla piattaforma di e-learning.
Per approfondimenti e per le fonti originarie dei metodi matematici e delle modellistiche considerate si rinvia ai seguenti:

FONDAMENTI MATEMATICI

  • Hirsch, M. W., Smale, S., & Devaney, R. L. (2004). Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos (2nd ed.). Elsevier Academic Press.
  • Brauer, F., & Castillo-Chavez, C. (2012). Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology (2nd ed.). Springer.
  • Elaydi, S. N. (2005). An Introduction to Difference Equations (3rd ed.). Springer.

LE ORIGINI E MODELLI DI POPOLAZIONE E BIODIVERSITÀ

  • Malthus, T. R. (1798). An Essay on the Principle of Population. London: J. Johnson.
  • Verhulst, P. F. (1838). Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. Correspondance Mathématique et Physique, 10, 113-121.
  • Gompertz, B. (1825). On the nature of the function expressive of the law of human mortality, and on a new mode of determining the value of life contingencies. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 115, 513-583.
  • Lotka, A. J. (1925). Elements of Physical Biology. Baltimore: Williams & Wilkins.
  • Volterra, V. (1926). Fluctuations in the abundance of a species considered mathematically. Nature, 118, 558-560.
  • MacArthur, R. H., & Wilson, E. O. (1967). The Theory of Island Biogeography. Princeton University Press.
  • Levins, R. (1969). Some demographic and genetic consequences of environmental heterogeneity for biological control. Bulletin of the Entomological Society of America, 15, 237-240.

L'INTEGRAZIONE ECONOMIA-AMBIENTE

  • Forrester, J. W. (1971). World Dynamics. Wright-Allen Press.
  • Meadows, D. H., Meadows, D. L., Randers, J., & Behrens, W. W. (1972). The Limits to Growth. Universe Books.
  • Brander, J. A., & Taylor, M. S. (1998). The simple economics of Easter Island: A Ricardo-Malthus model of renewable resource use. American Economic Review, 88(1), 119-138.
  • Pezzey, J. C. V., & Anderies, J. M. (2001). The effect of subsistence requirements on the collapse of a resource-dependent society. Journal of Economic Behavior & Organization, 45(2), 145- 165.
  • Motesharrei, S., Rivas, J., & Kalnay, E. (2014). Human and nature dynamics (HANDY): Modeling inequality and use of resources in the collapse or sustainability of societies. Ecological
  • Economics, 101, 90-102.

Primo semestre

Inglese

ISTRUZIONE DI QUALITÁ
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The course aims to provide students with the mathematical dynamical tools necessary to analyze and understand the temporal evolution of complex systems in ecological, economic, and socio-environmental contexts. Starting from the fundamentals of differential equations and difference equations, students will acquire the ability to mathematically formalize the dynamics of populations, natural resources, and economic variables, understanding the crucial role of nonlinearity in generating qualitatively and quantitatively different behaviors: stable or unstable equilibria, periodic oscillations, bifurcations, and deterministic chaos.

In parallel, the course introduces students to the historical evolution of modeling thought, from Malthus (1798) to Verhulst (1838), Gompertz (1825), Lotka-Volterra (1920-1926), up to the most recent integrated models such as World3 (1972), Brander-Taylor (1998), Pezzey-Anderies (2001), and HANDY (2014). Students will become aware of the heuristic value of mathematical models as "thought experiments" to explore sustainability or collapse scenarios, as well as the intrinsic limitations of each modeling approach.

A qualifying element of the course is the integration of biodiversity as a cross-cutting theme: students will understand the role of biological diversity as the foundation of ecosystem services and as a factor of resilience, as well as the modeling tools (species-area relationship, metapopulations, spatial models) to quantify the effects of habitat fragmentation and environmental degradation.

By the end of the course, students will be able to:

  • Mathematically formalize simple dynamical problems in ecological and economic contexts, translating qualitative relationships between variables (population, resources, wealth, pollution) into differential or difference equations.

  • Analyze the dynamics of single- or multi-variable models, determining equilibrium points, studying their stability through linear analysis (eigenvalues for systems of ODEs, derivatives for one-dimensional maps), and interpreting the results in terms of system sustainability or vulnerability.

  • Numerically simulate the proposed models, using computational tools to explore the effect of parameter variation and to visualize trajectories, phase portraits, and bifurcation diagrams.

  • Critically evaluate existing models (World3, HANDY, Brander-Taylor, etc.) by identifying their assumptions, limitations, domains of validity, and implications for sustainability policies, including trade-offs between economic development, biodiversity conservation, and public health.

  • Apply the notions of carrying capacity, resilience, and ecological thresholds to the analysis of case studies such as renewable resource management, habitat conservation, and the effects of inequality on collapse dynamics.

  • MATHEMATICAL FOUNDATIONS

  • ORIGINS AND MODELS OF POPULATION AND BIODIVERSITY

  • ECONOMY-ENVIRONMENT INTEGRATION

PART 1: MATHEMATICAL FOUNDATIONS

  • Differential Equations
    Definitions and classifications: linear and non-linear ODEs, first-order and systems
    Geometric interpretation: direction fields and phase portraits
    Analytical solution for first-order linear ODEs
    The concept of equilibrium point and stability

  • Difference Equations
    Definition and interpretation of discrete-time models
    Geometric growth and the logistic map as an introductory example
    Stability of fixed points in one dimension
    Bifurcations: the concept of regime change

  • Tools for Dynamical Analysis
    Systems of differential equations: equilibrium points
    Linear stability analysis: eigenvalues and their interpretation
    Limit cycles and bifurcations: transitions between qualitatively different behaviors

  • Deterministic chaos

PART 2: ORIGINS AND MODELS OF POPULATION AND BIODIVERSITY

  • The Malthusian Model (1798)
    Unlimited Growth
    Exponential model
    Analysis: Exponential solution, doubling time, explosive growth, Absence of endogenous brakes
    The discrete version

  • The Verhulst Model (1838)
    Carrying Capacity
    Analysis: Equilibrium points, stability of K, sigmoid growth
    The discrete version: Logistic map
    Period-doubling cascade, chaos

  • The Gompertz Model (1825)
    Asymmetry
    Variable growth rate
    The discrete version
    Bifurcations chaos

  • Lotka-Volterra Model (1920-1926)
    Predator-Prey Interaction
    Analysis: Limit cycles, equilibrium point, oscillatory dynamics

  • MacArthur and Wilson Model (1967)
    Species-Area Relationship
    Habitat Fragmentation

  • Levins Model (1969)
    Metapopulation models
    Spatial Models for biodiversity
    Dynamical analysis
    Complex behaviors

PART 3: ECONOMY-ENVIRONMENT INTEGRATION

  • The World3 Model (1972)
    The Limits to Growth on a Global Scale

  • Forrester and Meadows system dynamics model
    Interaction between population, industrial production, pollution and resources
    Collapse vs. stabilization

  • The Brander and Taylor Model (1998)
    Easter Island
    Predator-prey model with economic choice
    Labor allocation between subsistence and "prestige" production

  • The Pezzey and Anderies Model (2001)
    Extension of the Taylor Model
    Introduction of a minimum subsistence requirement
    Conservation policies (taxes, quotas)

  • The HANDY Model (Human And Nature DYnamics) (2014)
    3-variable model: Population, Wealth, Natural Resources
    Inequality
    Equilibrium points (sustainable, collapse),
    Bifurcations (Hopf, transcritical)

These are the minimum prerequisites without which the course cannot be taken; students must arrive having already acquired this knowledge. For some of the linear algebra topics, an initial review module is planned.

  • Elementary Functions
    In-depth knowledge of exponentials, logarithms, and trigonometric functions.

  • Equations and Functions
    Solving equations: linear, quadratic, exponential, and logarithmic equations.
    Function analysis: computing limits, asymptotes, maximum/minimum points.

  • Differential and Integral Calculus
    Derivatives: concept of derivative as a rate of change, differentiation rules (product, quotient, chain rule).
    Integrals: integration of elementary functions, integration by parts, substitution.

  • Basic Linear Algebra
    Vectors and matrices: fundamental operations (addition, multiplication, inverse).
    Determinants and eigenvalues: concept of eigenvalue and eigenvector, computation of the determinant for matrices.
    Linear systems: solving systems of linear equations.

  • Equations and Functions
    Solving equations: linear, quadratic, exponential, and logarithmic equations.
    Function analysis: computing limits, asymptotes, maximum/minimum points.

Lectures and in-class exercise sessions; all 32 hours of lectures and exercise sessions are of a lecture-based format, to be delivered over 16 meetings.

Final assessment consists of a written exam, which may be complemented by an optional oral exam.
In the written exam, students are required to solve exercises and may also be asked to answer open-ended questions. The exercises concern the models presented during the course.
In the oral exam, students must be able to discuss all topics covered in the course, including both theoretical and practical aspects. The optional oral exam may affect the final grade either positively or negatively.

Course slides and teaching materials, including exercises and solutions, will be provided on the e-learning platform.
For further details and for the original sources of the mathematical methods and models considered, please refer to the following:

MATHEMATICAL FOUDATIONS

  • Hirsch, M. W., Smale, S., & Devaney, R. L. (2004). Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos (2nd ed.). Elsevier Academic Press.
  • Brauer, F., & Castillo-Chavez, C. (2012). Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology (2nd ed.). Springer.
  • Elaydi, S. N. (2005). An Introduction to Difference Equations (3rd ed.). Springer.

ORIGINS AND MODELS OF POPULATION AND BIODIVERSITY

  • Malthus, T. R. (1798). An Essay on the Principle of Population. London: J. Johnson.
  • Verhulst, P. F. (1838). Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. Correspondance Mathématique et Physique, 10, 113-121.
  • Gompertz, B. (1825). On the nature of the function expressive of the law of human mortality, and on a new mode of determining the value of life contingencies. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 115, 513-583.
  • Lotka, A. J. (1925). Elements of Physical Biology. Baltimore: Williams & Wilkins.
  • Volterra, V. (1926). Fluctuations in the abundance of a species considered mathematically. Nature, 118, 558-560.
  • MacArthur, R. H., & Wilson, E. O. (1967). The Theory of Island Biogeography. Princeton University Press.
  • Levins, R. (1969). Some demographic and genetic consequences of environmental heterogeneity for biological control. Bulletin of the Entomological Society of America, 15, 237-240.

ECONOMY-ENVIRONMENT INTEGRATION

  • Forrester, J. W. (1971). World Dynamics. Wright-Allen Press.
  • Meadows, D. H., Meadows, D. L., Randers, J., & Behrens, W. W. (1972). The Limits to Growth. Universe Books.
  • Brander, J. A., & Taylor, M. S. (1998). The simple economics of Easter Island: A Ricardo-Malthus model of renewable resource use. American Economic Review, 88(1), 119-138.
  • Pezzey, J. C. V., & Anderies, J. M. (2001). The effect of subsistence requirements on the collapse of a resource-dependent society. Journal of Economic Behavior & Organization, 45(2), 145- 165.
  • Motesharrei, S., Rivas, J., & Kalnay, E. (2014). Human and nature dynamics (HANDY): Modeling inequality and use of resources in the collapse or sustainability of societies. Ecological
  • Economics, 101, 90-102.

First semester

English

QUALITY EDUCATION
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Key information

Field of research
SECS-S/06
ECTS
4
Term
First semester
Activity type
Mandatory to be chosen
Degree Course Type
2-year Master Degree
Language
English

Staff

    Teacher

  • AN
    Ahmad Kabir Naimzada

Enrolment methods

Manual enrolments

Sustainable Development Goals

QUALITY EDUCATION - Ensure inclusive and equitable quality education and promote lifelong learning opportunities for all