Syllabus del corso
Obiettivi
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Conoscenze e capacità di comprensione
Al termine del corso, lo studente/la studentessa avrà acquisito una comprensione approfondita della Teoria dei Gruppi e dei metodi fondamentali dell’algebra astratta. Sarà in grado di riconoscere, descrivere e confrontare queste strutture, comprendendone le proprietà e le relazioni tra di esse. -
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente/la studentessa sarà in grado di applicare i concetti teorici appresi per risolvere problemi di algebra, sia attraverso esercizi di routine che in contesti più complessi che richiedano una rielaborazione autonoma della teoria. Sarà in grado di utilizzare metodi algebrici per formalizzare e affrontare problemi in contesti matematici e, dove opportuno, interdisciplinari. -
Autonomia di giudizio
Lo studente/la studentessa svilupperà la capacità di analizzare problemi algebrici in modo critico, valutando diverse strategie risolutive e scegliendo gli strumenti più adeguati. Sarà in grado di formulare congetture e di argomentarne la validità attraverso ragionamenti logici rigorosi. -
Abilità comunicative
Lo studente/la studentessa sarà in grado di esprimere concetti, definizioni, teoremi e dimostrazioni in modo chiaro e rigoroso, utilizzando il linguaggio formale dell’algebra. Sarà anche in grado di discutere soluzioni e strategie con colleghi e docenti, sia oralmente che per iscritto. -
Capacità di apprendere
Il corso fornirà agli studenti/gli studentesse gli strumenti concettuali e metodologici necessari per proseguire in modo autonomo lo studio dell’algebra e di aree matematiche affini. Saranno incoraggiati a sviluppare un approccio attivo all’apprendimento, attraverso la risoluzione di problemi, la consultazione di testi avanzati e la riflessione personale sul significato e sull’applicazione dei concetti.
Contenuti sintetici
Massimo comun divisore e Algoritmo di Euclide per interi e polinomi. Congruenza modulo n. Teoria dei gruppi elementare. Azioni di gruppo. Teoremi di Sylow.
Programma esteso
Divisione con resto per numeri interi e polinomi. Massimo comun divisore e Algoritmo di Euclide per numeri interi e polinomi. Equazioni diofantee lineari in Z. Numeri primi e irriducibili. Primo se e solo se irriducibile in Z. Teorema Fondamentale dell'Artimetica. Teorema di Euclide sui numeri primi.
Congruenza modulo n. Classi di resto. Insieme quoziente Z/nZ. Congruenze lineari e Teorema cinese del resto in Z.
Teoria elementare dei gruppi. Operazioni binarie. Definizione di gruppo ed esempi notevoli. Sottogruppi. Esempi notevoli. Criterio per i sottogruppi. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Sottogruppi di Z. Gruppi ciclici. Ordine di un elemento. Un gruppo ciclico finito ha uno e un solo sottogruppo di ordine d, per ogni divisore d dell'ordine del gruppo. Funzione di Eulero. Generatori di un gruppo ciclico finito. Permutazioni, cicli, scrittura di una permutazione in prodotto di cicli disgiunti. Ordine di una permutazione. Parita' di una permutazione. Il gruppo alterno. Teorema di Lagrange. Piccolo Teorema di Fermat. Sottogruppi normali e gruppo quoziente. Morfismi. Nucleo e immagine. Teoremi di omomorfismo. Prodotto diretto interno ed esterno di gruppi. Caratterizzazione del prodotto diretto.
Azione di un gruppo su un insieme. Orbita e stabilizzatore. Relazione orbita-stabilizzatore. Esempi notevoli di azioni (rappresentazione regolare, coniugio sugli elementi e sui sottogruppi, normalizzante di un sottogruppo). Teorema di Cayley.
Gruppi diedrali. Formula di Burnside. Collane di perline.
Teoremi di Sylow. Applicazioni alla semplicita' di un gruppo finito.
Prerequisiti
Nozioni standard di matematica generale impartite nella scuola secondaria.
Modalità didattica
L'insegnamento prevede Lezioni frontali (48 ore, 6 CFU) ed Esercitazioni (24 ore, 2CFU). Nelle lezioni vengono presentati definizioni, risultati e teoremi rilevanti e si forniscono esempi e analisi di problemi dove vengono utilizzate le nozioni introdotte. Nelle esercitazioni vengono proposti e risolti esercizi relativi alle tematiche presentate a lezione.
Il corso viene erogato in lingua italiana. Sia le lezioni che le esercitazioni sono svolte in modalità erogativa.
Materiale didattico
Testo di riferimento:
I. N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti
Saranno fornite, su questa piattaforma, agli studenti/studentesse delle note integrative su alcuni argomenti del corso.
Altri testi consigliati:
Jacobson, Basic Algebra I, Freeman & Co, 1985
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Semestre II
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Prova scritta obbligatoria e prova orale facoltativa a richiesta dello studente o del docente. Valutazione con voto in trentesimi 18-30/30.
Nella prova scritta si valutano la conoscenza dei contenuti del corso e le competenze acquisite, mediante la risoluzione di problemi. Verranno valutati la correttezza delle risposte, l'appropriatezza del linguaggio matematico utilizzato e il rigore e la chiarezza dell'esposizione. Sono previste 2 prove intermedie.
La prova orale consiste in un’interrogazione sul programma svolto e può essere richiesta solo in caso di sufficienza (18/30) nella prova scritta. Per verbalizzare un voto maggiore di 27/30 e' obbligatorio sostenere anche la prova orale.
Nel corso dell’anno sono previsti 6 appelli d’esame e 2 prove intermedie.
Orario di ricevimento
Per appuntamento da fissarsi previa comunicazione con posta elettronica.
Sustainable Development Goals
Aims
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Knowledge and understanding
At the end of the course, students will have acquired a solid understanding of the fundamental algebraic structures (groups, rings, fields) and the core methods of abstract algebra. They will be able to recognize, describe, and compare these structures, understanding their properties and interrelations. -
Applying knowledge and understanding
Students will be able to apply the theoretical concepts learned to solve algebraic problems, both through routine exercises and in more complex situations requiring autonomous reasoning. They will be capable of using algebraic methods to formalize and address problems in mathematical and, where appropriate, interdisciplinary contexts. -
Making judgements
Students will develop the ability to critically analyze algebraic problems, evaluate different solution strategies, and choose the most appropriate tools. They will be able to formulate conjectures and support their validity through rigorous logical reasoning. -
Communication skills
Students will be able to clearly and rigorously express concepts, definitions, theorems, and proofs, using the formal language of algebra. They will also be able to discuss solutions and strategies with peers and instructors, both orally and in writing. -
Learning skills
The course will equip students with the conceptual and methodological tools necessary to pursue further studies in algebra and related mathematical areas independently. Students will be encouraged to adopt an active approach to learning, through problem-solving, consulting advanced texts, and reflecting on the meaning and application of algebraic concepts.
Contents
Greatest Common Divisor (GCD) and the Euclidean Algorithm for integers and polynomials. Congruence modulo n. Elementary Group Theory. Group Actions. Sylow Theorems.
Detailed program
Euclidean division for integers and polynomials. Greatest Common Divisor (GCD) and the Euclidean Algorithm for integers and polynomials. Linear Diophantine equations in Z. Prime and irreducible elements. Prime if and only if irreducible in Z. Fundamental Theorem of Arithmetic. Euclid's Theorem on prime numbers.
Congruence modulo n. Residue classes. Quotient ring Z/nZ. Linear congruences and the Chinese Remainder Theorem in Z.
Elementary Group Theory. Binary operations. Definition of a group and notable examples. Subgroups. Notable examples. Subgroup criterion. Subgroup generated by a subset. Subgroups of Z. Cyclic groups. Order of an element. A finite cyclic group has exactly one subgroup of order d for each divisor d of the order of the group. Euler's totient function. Generators of a finite cyclic group. Permutations, cycles, and decomposition of a permutation into a product of disjoint cycles. Order of a permutation. Parity of a permutation. The alternating group. Lagrange's Theorem. Fermat's Little Theorem. Normal subgroups and quotient groups. Homomorphisms. Kernel and image. Isomorphism theorems. Internal and external direct products of groups. Characterization of direct products.
Group actions. Orbits and stabilizers. Orbit–stabilizer theorem. Notable examples of group actions (regular representation, conjugation on elements and subgroups, normalizer of a subgroup). Cayley's Theorem. Dihedral groups. Burnside's Lemma. Necklaces.
Sylow Theorems. Applications to the simplicity of finite groups.
Prerequisites
Basic notions of high school algebra and analysis
Teaching form
The course is organized in Lectures (48 hours, 6 CFU) and Exercise classes (24hours, 2CFU). Definitions, results and relevant theorems will be presented in Lectures, providing examples and problems making use of the notions introduced.
Textbook and teaching resource
Textbook
I. N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti
Written notes on some topics available on this platform.
Suggested readings:
Jacobson, Basic Algebra I, Dover, 1985
Semester
Second semester
Assessment method
Written exam, and optional oral exam, only if requested either by the teacher or a student. Assessment graded on a 30-point scale.
The written examination evaluates the knowledge of the course contents and the ability to apply them to problem solving. The correctness of the answers, the mathematical language as well as the rigor and clarity of the exposition will be evaluated. Two partial tests, during the course, allow you to take the oral test.
The oral examination consists of an interview on the course contents and may be requested by a student only after achieving a mark of at least 18/30 in a written exam. To register a grade higher than 27/30, it is mandatory to also take the oral exam.
During the year there are 6 exam sessions and 2 ongoing tests.
Office hours
By appointment via e-mail.
