Course Syllabus

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Lo scopo del corso è quello di introdurre gli studenti agli strumenti matematici dei modelli di finanza in tempo continuo con particolare acento su processi stocastici, integrazione stocastica ed il loro impiego nelprincipali modelli di prezzo dei derivati.
Al termine del corso gli studenti saranno in grado di:

  1. comprendere i principali concetti dei processi stocastici in tempo continuo adoperatiin finanza matematica, incluse le martingale, il moto Browniano, la variazione quadratica e gli integrali sotcastici;
  2. applicare il calcolo di Ito per risolvere semplici equazioni differenziali stocastiche e derivare i principali risultati adoperati in finanza matematica;
  3. comprendere la logica della vlautazione neutrale al rischio ed il ruoòlo delle misure equivalenti di martingale nell'asset pricing;
  4. derivare e interpretare la formula di Black-Scholes sia in una prospettiva PDE che con misure equivalenti di martingala;
  5. riconoscere gli aspetti principali ed i limiti dei modelli base di volatilità stocastica, incluso il modello di Hull-White e di Heston;
  6. risolvere esercizi utilizzando l'appropriata notazione matematica, un ragionamento rigoroso ed una interpretazione economica coerente.

Il corso copre gli strumenti matematici necessari per la finanza in tempo continuo e le loro applicazioni al prezzo dei derivati. Gli argomenti includono fondamenti di probabilità, aspettativa condizionata, procesi a variazione finita, martingale, moto Browniano, variazione quadratica, integrale di Ito, formula di Ito, cambiamento di misura, il modello di Black & Scholes, il Teorema Fondamentale dell'Asset Pricing ed un'introduzione ai modelli con volatilità stocastica

  1. Richiami di probabilità:
    (a) spazi di probabilità,
    (b) proprietà del valore atteso,
    (c) costruzione e proprietà del valore ateso condizionato;
  2. Processi a variazione finta:
    (a) definizione e proprietà;
    (b) l'integrale stocastico rispetto a un processo VF;
  3. Martingale:
    (a) definizione e principali proprietà;
    (b) il moto Browniano e le sue proprietà;
    (c) la variazione quadratica di una martingala;
  4. Integrale di Ito:
    (a) l'integrale elementare;
    (b) il teorema di estensione di Ito;
    (c) propretà dell'integrale stocastico rispetto ad una martingala;
  5. Lemma di Ito e martingala esponenziale:
    (a) l'espansione di Ito;
    (b) il suo uso nella risoluzione di alcune equazioni differenziali stocastiche;
  6. Formula di Tanaka e cambiamento di probabilità:
    (a) l'integrazione per parti e la variazioni delle caratteristiche di un processo di Ito al cambiare della probabilità sottostante;
  7. Modello di Black & Scholes:
    (a) caratteristiche struttturali;
    (b) la PDE di Black & Scholes;
    (c) la misura equivalente;
  8. Teorema fondamentale dell'Asset Pricing:
    (a) l'esistenza delle probabilità neutrali al rischio e la loro applicazione nell'asset pricing;
  9. Modelli a volatilità stocastica:
    (a) le componenti stocastiche dela volatilità e la completezza dei mercati;
    (b) Il modello di Hull-White;
    (c) il modello di Heston.
  10. Alcuni titoli derivati

Gli studenti devono avere una preparazione solida in probabilità, statistica e metodi matematici. In particolare, devono avere familiarità coi concetti di variabile aleatoria, aspettativa, probabilità condizionata, calcolo, algebra lineare e equazioni differenziali elementari. Conoscennze pregresse di matematica fnanziaria sono auspicabili ma non necessarie.

Il corso prevede lezioni ed esercitazioni per un totale di 42 ore. Le lezioni introducono i concetti teorici ed i risultati matematici mentre le esercitazioni si concentrano su esempi specifici, applicazioni e l'interpretazione del modelli in tempo continuo. Il materiale didattico predisposto, quali gli appunti di lezione, potranno risultare utili nella preparazione.

La valutazione del corso si basa su un esame scritto che include esercizi ideati per valutare sia la competenza tecnica che la comprensione concettuale. Gli esercizi servono a valutare l'abilità degli studentui nell'uso degli strumenti matematici introdotti nel corso, quali l'integraazione stocastica, la formula di Ito, la formula del cambiamento di misura e le tecniche di prezzo per i derivati. Il voto finale tiene in conto la corettezza delle soluzioni, il rigore del ragionamento e l'uso appropriat della notazione, la capacità di giustificare correttamente ogni passaggio e la comprensione dei nessi tra proprietà matematiche e applicazioni finanziarie.

S. Shreve, Stochastic Calculus for Finance, Springer, 2004.

Appunti predisposti dal docente.

Primo semestre

Italiano. La tecnologia matematica, la terminologia e alcune fonti potrebbero essere in inglese.

ISTRUZIONE DI QUALITÁ
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The course introduces students to the mathematical foundations of continuous-time financial modelling, with
particular emphasis on stochastic processes, stochastic integration and their use in the pricing of financial
derivatives.
By the end of the course, students are expected to be able to:

  1. understand the main concepts of continuous-time stochastic processes used in mathematical finance, including martingales, Brownian motion, quadratic variation and stochastic integrals;
  2. apply Ito calculus to solve simple stochastic differential equations and to derive key results used in financial modelling;
  3. explain the logic of risk-neutral valuation and the role of equivalent martingale measures in asset pricing;
  4. derive and interpret the Black-Scholes equation and the corresponding pricing formula from both PDE and martingale-measure perspectives;
  5. recognise the main features and limitations of basic stochastic volatility models, including the Hull-White and Heston frameworks;
  6. solve exercises using appropriate mathematical notation, rigorous reasoning and coherent economic interpretation.

The course covers the mathematical tools required for continuous-time finance and their applications to derivative pricing. Topics include probability foundations, conditional expectation, finite variation processes, martingales, Brownian motion, quadratic variation, Ito integration, Ito formula, change of measure, the Black-Scholes model, the Fundamental Theorem of Asset Pricing, and introductory stochastic volatility models.

  1. Probability foundations: probability spaces, random variables, expected value, conditional expectation and basic convergence concepts relevant to continuous-time models.
  2. Finite variation processes: definition, main properties and integration with respect to finite variation processes.
  3. Martingales and Brownian motion: martingales in discrete and continuous time, Brownian motion, filtration, adapted processes and basic path properties.
  4. Quadratic variation: definition and interpretation; quadratic variation of Brownian motion and martingales; relevance for stochastic calculus.
  5. Stochastic integration: elementary stochastic integrals, construction of the Ito integral and main properties of stochastic integrals with respect to martingales.
  6. Ito formula and stochastic differential equations: Ito formula, exponential martingales and applications to the solution of simple stochastic differential equations.
  7. Tanaka formula and integration by parts: extension of Ito calculus, local time intuition and integration-by-parts formula for stochastic processes.
  8. Change of measure: Radon-Nikodym derivatives, equivalent probability measures and changes in the characteristics of stochastic processes under a new measure.
  9. The Black-Scholes model: assumptions and structure of the model; self-financing portfolios; Black-Scholes PDE; option pricing through the equivalent martingale measure approach.
  10. Fundamental Theorem of Asset Pricing: absence of arbitrage, risk-neutral measures and their use in the valuation of contingent claims.
  11. Stochastic volatility models: motivations, stochastic components of volatility, market completeness and incompleteness; overview of the Hull-White and Heston models.
  12. Selected derivatives and applications: examples of derivative securities and applications of the tools developed in the course to basic pricing problems.

Students are expected to have a solid background in probability, statistics and mathematical methods. In particular, familiarity with random variables, expectation, conditional probability, basic calculus, linear algebra and elementary differential equations is recommended. Previous exposure to basic financial mathematics is useful but not strictly required.

Teaching is based on lectures and problem-solving classes for a total of 42 hours. Lectures introduce the
theoretical concepts and mathematical results, while classes focus on exercises, applications and the
interpretation of continuous-time financial models. Additional online materials, such as lecture notes or
exercises, may be used to support individual study.

Assessment is based on a written examination. The exam includes exercises designed to assess both technical competence and conceptual understanding. Exercises evaluate the students ability to use the mathematical tools introduced in the course, including stochastic integration, Ito formula, change of measure and derivative pricing techniques. The final grade takes into account correctness of the solutions, clarity of the mathematical reasoning, appropriate use of notation, ability to justify each step, and understanding of the link between the mathematical model and the financial application.

S. Shreve, Stochastic Calculus for Finance, Springer, 2004.

Lecture Notes

First semester

Italian. Technical terminology, selected references and some teaching materials may be provided in English.

QUALITY EDUCATION
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Key information

Field of research
SECS-S/06
ECTS
6
Term
First semester
Activity type
Mandatory to be chosen
Course Length (Hours)
42
Degree Course Type
2-year Master Degree
Language
English

Staff

    Teacher

  • Gianluca Cassese
    Gianluca Cassese

Students' opinion

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Bibliography

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Enrolment methods

Manual enrolments

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QUALITY EDUCATION - Ensure inclusive and equitable quality education and promote lifelong learning opportunities for all