Syllabus del corso
Obiettivi
Una varietà simplettica è una varietà differenziabile dotata di una forma simplettica, ossia una 2-forma differenziale chiusa ovunque non-degenere (e ha pertanto dimensione pari). Per esempio, la sfera unitaria nello spazio euclideo 3-dimensionale possiede una struttura simplettica standard. Altri esempi 'canonici' sono i fibrati cotangenti di varietà differenziali e lo spazio proiettivo complesso. La Geometria Simplettica è la branca della Geometria che studia le proprietà delle varietà simplettiche.
L'interesse per la Geometria Simplettica origina dalla meccanica hamiltoniana, il che lega strettamente tale disciplina alla Fisica Matematica e alla Fisica Classica: su una varietà simplettica, a ogni funzione è associato naturalmente un campo vettoriale e quindi un sistema dinamico, e le equazioni di Hamilton sono le corrispondenti equazioni di flusso.
Oltre a essere una branca in intenso sviluppo della Geometria per il suo interesse intrinseco, la Geometria Simplettica è strettamente legata a diversi ambiti della Matematica moderna.
Per esempio, la Geometria Simplettica dei fibrati cotangenti è cruciale nello studio degli operatori pseudodifferenziali e degli operatori integrali di Fourier, ed è alla base dell'Analisi Semiclassica, mentre le proprietà simplettiche delle orbite coaggiunte di un gruppo di Lie (le orbite per l'azione coaggiunta sulla coalgebra di Lie) è intimamente legata allo studio delle rappresentazioni irriducibili.
La Geometria Simplettica è inoltre un punto di vista indispensabile in Geometria differenziale (reale e complessa). Per esempio, il flusso geodetico di una varietà riemanniana è un caso particolare di sistema hamiltoniano e ammette la sua interpretazione più naturale nel linguaggio simplettico, e una classe importantissima di varietà complesse, cosiddette di Kaehler, è contraddistinta dall'esistenza di una struttura simplettica 'compaitibile' con la struttura complessa (le varietà proiettive sono una sottoclasse di quelle di Kaehler).
L'approccio simplettico ha giocato un ruolo cruciale negli sviluppi recenti più innovativi della Geometria Differenziale complessa.
Lo scopo del corso è discutere ed approfondire i concetti di base della Geometria Simplettica, a partire dagli aspetti locali per poi rivolgere l’attenzione alle proprietà globali di una varietà simplettica.
Una particolare enfasi verrà data allo studio delle sottovarietà lagrangiane e alle loro proprietà funtoriali, che sono una chiave importante per interpretare gli operatori integrali di Fourier.
Tempo permettendo, verranno inoltre approfonditi i concetti di azione hamiltoniana, di mappa momento e di riduzione simplettica; quest'ultima costruzione permette di costruire una nuova struttura simplettica 'quoziente' a partire da una varietà simplettica dotata di simmetrie.
I risultati di apprendimento attesi comprendono:
- Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate in geometria simplettica; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria.
- Capacità: la capacità di riconoscere il ruolo dei concetti e delle tecniche simplettiche in diversi ambiti della matematica pura (equazioni differenziali, geometria riemanniana, geometria complessa, teoria delle rappresentazioni) e nella modellizzazione di fenomeni fisici (fisica matematica); la capacità di applicare tale bagaglio concettuale alla costruzione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi; la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro e preciso sia i contenuti teorici del corso, sia le loro applicazioni a situazioni specifiche, anche inerenti ad altri ambiti.
Contenuti sintetici
Spazi vettoriali simplettici, varietà simplettiche, flussi Hamiltoniani e simplettomorfismi, forme canoniche delle strutture simplettiche, mappe momento e riduzioni simplettiche. Esempi notevoli di riduzioni simplettiche.
Programma esteso
· Algebra lineare simplettica.
· Struttura simplettica di un fibrato cotangente, equazioni di Hamilton, parentesi di Poisson.
· Varietà simplettiche, loro sottovarietà notevoli e rispettivi intorni.
· Isotopie e teoremi di Darboux e di Moser.
· Funzioni generatrici, equazione di Hamilton-Jacobi, sua soluzione geometrica.
· Mappe momento e loro proprietà; riduzione simplettica.
· Strutture complesse e quasi-complesse compatibili, varietà di Kähler e varietà quasi-Kähler.
· Orbite coaggiunte e loro struttura simplettica intrinseca.
Prerequisiti
Sono presupposti: una buona familiarità con l'algebra lineare offerta nel biennio della laurea triennale di matematica, in quanto lo studio dell'algebra lineare simplettica ha un'importanza fondazionale per la parte restante del corso; le nozioni di base sulle varietà differenziale e sulle forme differenziali, come introdotte per esempio nei corsi di Geometria II e III. Verrà fatto comunque un breve riepilogo quando necessario.
Modalità didattica
Normalmente questo insegnamento viene impartito in modalità interamente erogativa in presenza, mediante lezioni frontali alla lavagna, che vengono anche videoregistrate e rese disponibili agli studenti sulla piattaforma elearning.
Materiale didattico
Le note delle lezioni scritte dal docente e quelle redatte dal Dott. Massimo Frigerio nell'a.a. 2018/19.
Ulteriori testi raccomandati:
V. Guillemin, S. Sternberg, Symplectic Techniques in Physics, Cambridge University Press
D. McDuff, D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Clarendon Press, Oxford
Letture consigliate:
V. Guillemin, S. Sternberg, Semiclassical Analysis, International Press
J. J. Duistermaat, Fourier Integral Operators, Birkhäuser
Periodo di erogazione dell'insegnamento
I semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste di due prove scritte, seguite da una discussione orale delle stesse. Ciascuna delle prove verterà su una parte del corso (I e II), e sarà finalizzata alla valutazione della conoscenza, della comprensione e delle capacità che costituiscono gli obiettivi formativi dell'insegnamento. L'esatta suddivisione in argomenti tra le due prove verrà comunicata durante il corso con largo anticipo rispetto allo svolgimento delle stesse. Ogni prova consiste di una combinazione flessibile di quesiti teorici (definizioni, enunciati, dimostrazioni) e di quesiti di carattere più pratico (risoluzione di esercizi, costruzione di esempi o controesempi). Ogni prova verrà valutata indipendentemente e concorrerà in egual misura alla determinazione del voto complessivo finale; al fine del superamento dell'esame entrambe le prove dovranno essere sufficienti.
Le due prove scritte possono essere sostenute in appelli differenti. In ogni appello sarà possibile a iscriversi a entrambe le prove scritte, ma solo alla seconda è abbinata la registrazione del voto. La data della discussione orale degli scritti dopo la seconda prova scritta verrà annunciata dopo la correzione della stessa.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
A symplectic manifold is a differentiable manifold endowed with a nondegenerate closed 2-form (and has therefore even dimension). For instance, the 2-sphere in 3-dimensional euclidean space has a standard symplectic structure, as do all cotangent bundles and complex projective space. Symplectic Geometry studies the properties of sympectic manifolds.
Interest for Symplectic Geometry originates in Hamiltonian dynamics, which makes this field tightly related to Mathematical Physics and Classical Physics: the symplectic structure naturally associated a vector field to any smooth function (the 'Hamiltonian'), and Hamilton's equations describe the corresponding flow.
Besides being intensely studied for its intrinsic interest, Symplectic Geometry is intimately related to other branches of mathematics. For example, the symplectic structure of cotangent bundles is crucial in the study of pseudodifferential and Fourier integral operators, and is the unavoidable geometric basis of Semiclassical Analysis, while the symplectic properties of coadjoint orbits of a Lie group offer a geometric interpretation of its irreducible representations.
Furthermore, Symplectic Geometry is an indispensable tool and vantange point in both real and complex Differential Geometry. For instance, the geodesic flow of a Riemannian manifold is a special type of Hamiltonian system, and can most naturally be approached from the symplectic viewpoint. In addition, an extremely important class of complex manifolds, encompassing the complex projective category, is given by the so-called Kaehler manifolds, that are characterized by the existence of a symplectic structure suitably compatible with the complex one.
The symplectic approach has played a crucial role in many of the most innovative recent developments in complex Differential Geometry.
We aim to discuss and elaborate on the basic concepts of Symplectic Geometry, starting with the local aspects and then moving on to the more global properties.
Special emphasis will be given to the discussion of Lagrangian submanifolds and their functorial properties, which are essential in the discussion of Fourier integral operators.
Time permitting, we shall approach the theme of Hamiltonian action, moment map and symplectic reduction. The latter contruction leads to a 'quotient' symplectic structure starting from a symplectic manifold endowed with a group of symmetries.
The expected learning outcomes include:
- the knowledge and understanding of the fundamental definitions and statements, as well as of the basic strategies of proof in symplectic geometry; the knowledge and understanding of some crucial examples in which the theory manifests itself;
- the ability to recognize the role that concepts and techniques from symplectic geometry play in various areas of mathematics (such as differential equations, Riemannian geometry, complex geometry, representation theory), and in the mathematical modelling of physical situations (mathematical physics); the skill to apply such conceptual background to the construction of concrete examples and to the solution of exercises; the ability to communicate and explain in a clear and precise manner both the theoretical aspects of the course and their applications to specific situations, possibly to different contexts.
Contents
Symplectic vector spaces, symplectic manifolds, Hamiltonian flows and symplectomorphisms, canonical forms of symplectic structures, moment maps and symplectic reductions. Basic examples of symplectic reductions.
Detailed program
· Symplectic linear algebra.
· Cotangent bundles, Hamiltonian equations, Poisson brackets.
· Symplectic manifolds and special submanifolds, neighborhood theorems.
· Isotopies and theorems of Darboux and Moser.
· Generating functions, Hamilton-Jacobi equations and geometric solution;
· Moment maps and their properties, symplectic reduction;
· Compatible complex and almost complex structures; Kähler and quasi-Kähler manifolds.
· Coadjoint orbits and their natural symplectic structure.
Prerequisites
Prerequisites are: a good familiarity with the concepts of linear algebra offered during the Laurea Triennale in Mathematics, since the study of symplectic linear algebra will play a foundational role in the development of the course; the most basic notions on differentiable manifolds and differential forms, as they are commonly treated say in the courses of Geometry II and III. Brief recalls will be given as needed.
Teaching form
This course will be normally be taught entirely by live lectures at the blackboard, which will also video-recorded and made available to the students through the elearning platform.
Textbook and teaching resource
The hand-written notes by the teacher and the notes in latex by Dr. Massimo Frigerio, who took the course in 2018/19.
Further bibliographic references:
V. Guillemin, S. Sternberg, Symplectic Techniques in Physics, Cambridge University Press
D. McDuff, D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Clarendon Press, Oxford
Recommended readings:
V. Guillemin, S. Sternberg, Semiclassical Analysis, International Press
J. J. Duistermaat, Fourier Integral Operators, Birkhäuser
Semester
1st semester
Assessment method
The exam will comprise two written tests, followed by an oral discussion of them. Each test will deal with a part of the course (I and II), and will be aimed at the evaluation of the knowledge, understanding and skills forming the expected learning outcomes of the course. The precise subdivision of the topics between the two tests will be communicated during the course well in advance with respect to the tests themselves. Each test consists of a flexible combination of theoretical questions (including definitions, statements and proofs) and more practical ones (including exercises, examples and counterexamples). Each test will be evalueated independently, and will concur in the same amount to the determination of the final grade; in order for the student to pass the exam, both tests will need to get a pass grade.
The two written tests may be taken in different exam sessions. In each session, it will be possible to sign up for either test, but it is only the registration to the second one that makes it possible to record the vote. The date of the oral discussion of the tests will be announced following their correction.
For all the duration of the current health crisis, the final oral discussion will take place remotely on the WeBex platform, and the link will be made available through the e-learning page of the course. The modality of the written tests will be detailed later.
Office hours
Upon appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Roberto Paoletti
