Course Syllabus
Obiettivi
Obiettivi formativi secondo i Descrittori di Dublino:
Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente acquisirà una solida comprensione teorica dei concetti fondamentali dell'ottimizzazione e dell'analisi convessa in ambito finito-dimensionale. In particolare, al completamento dell’insegnamento, conoscerà le estensioni del teorema di Weierstrass, il principio variazionale di Ekeland, i teoremi dell'alternativa, le proprietà di regolarità delle funzioni convesse, il teorema di Fritz John per problemi di programmazione non lineare, il significato economico dei moltiplicatori, la dualità lagrangiana, e nozioni e tecniche di ottimizzazione per funzioni a valori vettoriali.
Tali conoscenze si estendono a esempi significativi e contesti applicativi, anche a discipline trasversali rispetto ad altre aree della matematica.
Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite alla modellizzazione e alla risoluzione di problemi concreti in ambito matematico, in particolare a contesti legati all’analisi economica. Sarà in grado di sviluppare dimostrazioni rigorose e costruire esempi significativi, anche in ambito interdisciplinare.
Autonomia di giudizio
Attraverso la riflessione sui contenuti teorici e pratici del corso, lo studente svilupperà capacità logiche e critiche nell’analisi di problemi in diversi contesti applicativi, in particolare di tipo economico.
Abilità comunicative
Lo studente sarà in grado di comunicare in modo chiaro, preciso e coerente i contenuti matematici del corso in forma scritta e orale. Saprà presentare argomentazioni teoriche e discutere applicazioni in ambiti matematici e scientifici affini, anche a interlocutori non specialisti.
Capacità di apprendimento
Il corso contribuirà a sviluppare la capacità di apprendimento autonomo, favorendo l’acquisizione di strumenti concettuali e tecnici che lo studente potrà impiegare nell’approfondimento individuale e nella preparazione della tesi magistrale.
Contenuti sintetici
Ottimizzazione finito-dimensionale, elementi di analisi convessa, teoria della dualità, ottimizzazione vettoriale.
Programma esteso
Introduzione all'ottimizzazione statica. Richiami di calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali.
Ottimizzazione globale. Teorema di Weierstrass e sue estensioni.
Ottimizzazione locale.
Principio variazionale di Ekeland.
Teoremi dell'alternativa.
Convessità di insiemi.
Funzioni convesse. Proprietà di regolarità.
Minimizzazione di funzioni convesse.
Programmazione non lineare. Teorema di Fritz John.
Lagrangiana e lagrangiana debole associate. Qualificazione dei vincoli.
Moltiplicatore e funzione valore.
Teoria della dualità lagrangiana.
Introduzione all'ottimizzazione vettoriale.
Spazi vettoriali parzialmente ordinati.
Nozioni di soluzione per un problema di ottimizzazione vettoriale.
Scalarizzazione e condizioni di ottimalità.
Prerequisiti
Il corso presuppone le conoscenze di base e i principali risultati di algebra lineare e analisi in ambito finito-dimensionale.
Modalità didattica
56 ore di lezione svolte in modalità erogativa in presenza (8 CFU)
Corso erogato in lingua inglese
Materiale didattico
Referenze:
O. Guler, Foundations of Optimization, Springer, 2010 (disponibile in formato elettronico)
S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2009
M. Ehrgott, Multicriteria Optimization, Springer 2005
Ulteriori referenze:
M. S. Bazaraa, H. D. Sherali, C. M. Shetty, Nonlinear Programming, John Wiley & Sons, 1993
L. Berkovitz, Convexity and Optimization in Rⁿ, John Wiley & Sons, 2002
J. Jahn, Vector Optimization, Springer, 2011
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Modalità d’esame:
- non sono previste prove in itinere.
- nella prova finale, sia in quella scritta che in quella orale, vengono valutati: la conoscenza delle metodologie, il rigore di ragionamento,
la capacità di illustrare con la terminologia adeguata i risultati presentati - la valutazione delle prove (scritta, orale) terrà conto prevalentemente della conoscenza degli argomenti richiesti e del rigore di ragionamento.
Scritto e/o orale
Prova scritta: consiste in domande aperte, in particolare:
a) esercizi che permettono al docente di valutare la capacità dello studente di applicare la teoria nella risoluzione di problemi o nella verifica di semplici risultati teorici
b) quesiti di tipo teorico, in cui si chiede allo studente una dimostrazione tra quelle proposte, oppure di fornire in modo completo alcune definizioni, enunciati di teoremi, dando qualche esempio.
Prova orale: la prova orale verte su teoremi e dimostrazioni, di cui viene fornito a fine corso un elenco dettagliato, così come su esercizi teorici; è preceduta da una discussione della prova scritta. Possono sostenere la prova orale tutti gli studenti che hanno ottenuto nello scritto una votazione non inferiore a 18. Gli studenti che hanno riportato una votazione non inferiore a 18 e decidono di non sostenere l’esame orale, possono registrare il voto.
In ciascuna prova vengono valutati la correttezza del ragionamento, la chiarezza e il rigore dell'esposizione.
Lo studente che ottiene una valutazione sufficiente nella prova scritta, può rifiutare il voto (dello scritto, o dell'eventuale orale) per non più di due volte.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
Learning objectives according to the Dublin Descriptors:
Knowledge and understanding
The student will acquire a solid theoretical understanding of the fundamental concepts of optimization and convex analysis in finite-dimensional settings. In particular, upon completion of the course, they will be familiar with extensions of the Weierstrass theorem, Ekeland’s variational principle, alternative theorems, regularity properties of convex functions, the Fritz John theorem for nonlinear programming problems, the economic meaning of multipliers, Lagrangian duality, and notions and techniques of optimization for vector-valued functions.
This knowledge also extends to significant examples and applied contexts, including interdisciplinary areas beyond other branches of mathematics.
Applying knowledge and understanding
The student will be able to apply the acquired knowledge to the modelling and solution of concrete problems in mathematical contexts, particularly in areas related to economic analysis. They will be able to develop rigorous proofs and construct meaningful examples, including in interdisciplinary settings.
Making judgments
Through reflection on the theoretical and practical content of the course, the student will develop logical and critical skills in analysing problems in different applied contexts, particularly economic ones.
Communication skills
The student will be able to clearly, precisely, and coherently communicate the mathematical content of the course in both written and oral form. They will be able to present theoretical arguments and discuss applications in related mathematical and scientific fields, including to non-specialist audiences.
Learning skills
The course will contribute to developing independent learning skills, fostering the acquisition of conceptual and technical tools that the student can use for further individual study and for the preparation of the master’s thesis.
Contents
Finite-dimensional optimization, elements of convex analysis, duality theory, multiobjective optimization.
Detailed program
Introduction to optimization problems. Basic calculus tools in Rn.
Unconstrained optimization.
Ekeland variational principle.
Transposition theorems.
Convex analysis for sets and functions.
Nonlinear programming.
Duality theory and convex programming.
Introduction to vector optimization.
Partially ordered vector spaces.
Solution of a vector optimization problem.
Scalarization and optimality conditions.
Prerequisites
Basic concepts and results of linear algebra and analysis in finite-dimensional spaces.
Teaching form
56 hours of lectures delivered in an in-person, lecture-based format (8 ECTS credits)
Course taught in English
Textbook and teaching resource
References:
O. Guler, Foundations of Optimization, Springer, 2010 (available in electronic format)
S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2009
M. Ehrgott, Multicriteria Optimization, Springer, 2005
Additional references:
M. S. Bazaraa, H. D. Sherali, C. M. Shetty, Nonlinear Programming, John Wiley & Sons, 1993
L. Berkovitz, Convexity and Optimization in ℝⁿ, John Wiley & Sons, 2002
J. Jahn, Vector Optimization, Springer, 2011
Semester
II
Assessment method
Examination type:
- there are no intermediate exams.
- in both written and, if applicable, oral part of the exam are judged: the knowledge of the techniques shown during the course, the accuracy of the line of thinking, the ability to illustrate the results of the course
- the evaluation of both written and oral exams will take into account mainly of the knowledge of the subjects and the accuracy of the line of thinking.
Written and oral examination
Written Exam: It consists of open-ended questions, specifically:
a) exercises that allow the instructor to assess the student's ability to apply theory in solving problems or in verifying simple theoretical results
b) theoretical questions, in which the student is asked to provide a proof from those proposed, or to fully present some definitions, statements of theorems, and give a few examples.
Oral Exam: The oral exam covers theorems and proofs, for which a detailed list will be provided at the end of the course, as well as theoretical exercises. It is preceded by a discussion of the written exam. All students who have obtained a score of at least 18 in the written exam are eligible to take the oral exam. Students who have achieved a score of at least 18 and choose not to take the oral exam may record their grade.
Each exam evaluates the correctness of reasoning, clarity, and rigor of presentation.
A student who receives a passing grade on the written exam may decline the grade (of the written exam, or the possible oral exam) no more than twice.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Rita Pini
