Course Syllabus
Obiettivi
Lo scopo di questo corso è presentare alcuni risultati elementari di Teoria dei Numeri, Topologia, Geometria e Combinatoria. La parola “elementare” va interpretata nel senso che tali argomenti non richiedono particolari conoscenze preliminari. La presentazione dei risultati avverrà in modo progressivo, sottolineando come l’introduzione degli argomenti e dei problemi preliminari possa essere facilmente compresa anche da studenti delle scuole superiori. Successivamente, gli stessi problemi verranno sviluppati fino a raggiungere aspetti molto profondi e moderni della matematica.
Questa progressività ha inoltre lo scopo di mostrare esempi di argomenti che possono essere presentati e compresi in un contesto scolastico, senza tuttavia trascurare un adeguato approfondimento puramente matematico per una trattazione più completa e rigorosa.
- Conoscenza e capacità di comprensione
Gli studenti acquisiranno conoscenze relative ai concetti e ai risultati fondamentali della teoria dei numeri, della topologia, della geometria e della combinatoria. Comprenderanno come problemi apparentemente semplici possano condurre a risultati matematici profondi e come tali argomenti possano essere introdotti in modo progressivo.
- Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Gli studenti saranno in grado di applicare strumenti matematici elementari ma rigorosi a problemi appartenenti a diverse aree della matematica. Svilupperanno la capacità di riconoscere strutture e connessioni tra nozioni elementari e risultati più avanzati, utilizzando tali strumenti anche nella preparazione e presentazione del seminario finale.
- Autonomia di giudizio
Attraverso l’analisi dei problemi e del loro sviluppo, gli studenti acquisiranno la capacità di valutare criticamente argomentazioni matematiche e di individuare i metodi più appropriati per affrontare problemi complessi. Saranno inoltre in grado di valutare chiarezza, efficacia e profondità di differenti approcci e modalità di presentazione matematica.
- Abilità comunicative
La prova d’esame, basata sulla presentazione di un seminario, contribuirà a rafforzare la capacità degli studenti di esporre con chiarezza idee matematiche, sia oralmente sia per iscritto, utilizzando una terminologia appropriata e una struttura logica rigorosa. Gli studenti svilupperanno inoltre la capacità di comunicare concetti complessi in modo accessibile ed efficace.
- Capacità di apprendimento
Attraverso lo studio di problemi che evolvono da un livello elementare a uno avanzato, gli studenti svilupperanno maggiore autonomia nello studio e nella comprensione della matematica. Acquisiranno la capacità di approfondire argomenti in modo indipendente e di consultare criticamente la letteratura matematica a diversi livelli.
Contenuti sintetici
Introduzione a temi elementari di teoria dei numeri, geometria, topologia e combinatoria, con particolare attenzione allo sviluppo progressivo di problemi matematici da un livello introduttivo a risultati e metodi più avanzati.
Programma esteso
Numeri primi: densità dei numeri primi, postulato di Bertrand, problema di Basel, formula di Willans, teorema di Dirichlet.
Elementi di teoria di Ramsey e applicazioni alla combinatoria, alla geometria e all’analisi.
Applicazioni della topologia.
Risultati geometrici utili nello studio di problemi aritmetici, con particolare attenzione alle somme di quadrati.
Problemi ed esempi di probabilità.
Elementi della teoria di enumerazione di Pólya.
Formula di Eulero e sue applicazioni.
Prerequisiti
I prerequisiti del corso coincidono con le conoscenze acquisite negli insegnamenti obbligatori della laurea triennale in matematica.
Si sottolinea che il termine “elementare”, utilizzato nella descrizione del corso, non deve essere interpretato come sinonimo di “semplice”, ma nel senso che gli argomenti trattati richiedono prerequisiti matematici limitati.
Modalità didattica
L’insegnamento si svolge in presenza e prevede lezioni frontali in modalità erogativa (DE).
Le lezioni saranno registrate e le registrazioni rese disponibili sulla pagina e-learning del corso.
Materiale didattico
Dispense del corso fornite durante il corso.
P.Cameron, Combinatorics, topics, techniques, algorithms, Cambridge university press,
G. Travaglini, Numbers and Figures, American Mathematical Society (2023).
M. Bramanti, G. Travaglini, Studying Mathematics: The Beauty, the Toil and the Method, Springer (2018).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L’esame consiste nella presentazione orale di un seminario della durata di 45–60 minuti su un argomento scelto dallo studente e approvato dal docente. L’argomento deve essere coerente con i temi trattati durante il corso e sviluppato con una gradualità analoga a quella adottata nelle lezioni.
La prova orale è finalizzata a verificare:
la comprensione dei contenuti matematici trattati;
la capacità di applicare strumenti e metodi matematici in modo rigoroso;
la capacità di organizzare ed esporre un argomento matematico in modo chiaro e logicamente strutturato;
la capacità di collegare aspetti elementari e sviluppi più avanzati della teoria.
La valutazione terrà conto:
della correttezza matematica dei contenuti presentati;
del livello di comprensione e approfondimento dell’argomento;
della chiarezza espositiva e dell’efficacia della presentazione;
dell’uso appropriato del linguaggio matematico.
Il voto finale è espresso in trentesimi, con una valutazione minima di 18/30. Non sono previste prove in itinere.
Orario di ricevimento
su appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
The aim of this course is to present some elementary topics and results in Number Theory, Topology, Geometry, and Combinatorics. The term “elementary” refers to the fact that these topics do not require advanced prerequisites. The presentation of the material is progressive, emphasizing how the introduction of the topics and the preliminary problems can be understood even by high school students. Subsequently, the same problems are developed towards deeper and more modern mathematical perspectives.
This progressive approach also aims to provide examples of topics that can be effectively presented and understood in a secondary-school context, while still allowing for a rigorous and more comprehensive mathematical treatment.
Learning outcomes according to the Dublin Descriptors
- Knowledge and understanding
Students will acquire knowledge and understanding of fundamental concepts and results in number theory, topology, geometry, and combinatorics. They will understand how apparently simple problems may lead to deep mathematical results and how such topics can be introduced progressively, including at the high school level.
- Applying knowledge and understanding
Students will be able to apply elementary but rigorous mathematical tools to problems arising in different areas of mathematics. They will develop the ability to recognize structures and connections between elementary notions and more advanced results, using these tools also in the preparation and presentation of the final seminar.
- Making judgements
Through the analysis of problems and their development, students will acquire the ability to critically evaluate mathematical arguments and to identify appropriate methods for addressing complex problems. They will also be able to assess the clarity, effectiveness, and depth of different mathematical approaches and presentations.
- Communication skills
The seminar-based examination will strengthen students’ ability to present mathematical ideas clearly and rigorously, both orally and in writing, using appropriate terminology and logical organization. Students will also develop the ability to communicate complex concepts in an accessible and effective way.
- Learning skills
By working on problems that evolve from an elementary to a more advanced level, students will strengthen their independent learning abilities and their autonomy in the study of mathematics. They will develop the ability to deepen topics independently and to engage critically with mathematical literature at different levels.
Contents
Elementary topics in number theory, geometry, topology, and combinatorics. Progressive development of elementary mathematical problems towards more advanced results and methods.
Detailed program
Prime numbers: density of prime numbers, Bertrand’s postulate, the Basel problem, Willans’ formula, Dirichlet’s theorem.
Elements of Ramsey theory and applications to combinatorics, geometry, and analysis.
Applications of topology.
Geometric results useful in the study of arithmetic problems, with particular emphasis on sums of squares.
Problems and examples in probability theory.
Elements of Pólya’s enumeration theory.
Euler’s formula and its applications.
Prerequisites
The prerequisites for this course are the contents of the compulsory undergraduate courses in mathematics.
It should be emphasized that the term “elementary”, as used in the course description, should not be interpreted as meaning “simple”, but rather as referring to topics that require only limited mathematical prerequisites.
Teaching form
The course is delivered in person and consists of frontal lectures in a delivery-based teaching mode (DE).
Lectures will be recorded and the recordings will be made available on the course e-learning page.
Textbook and teaching resource
Notes of the course given during the lectures.
P.Cameron, Combinatorics, topics, techniques, algorithms, Cambridge university press,
G. Travaglini, Numbers and Figures, American Mathematical Society (2023).
M. Bramanti, G. Travaglini, Studying Mathematics: The Beauty, the Toil and the Method, Springer (2018).
H. Steinhaus, One Hundred Problems in Elementary Mathematics, Dover Publications, 1967.
H. Steinhaus, One Hundred Problems in Elementary Mathematics, Dover Publications, 2011 (reprint).
Semester
First semester
Assessment method
The examination consists of an oral seminar presentation lasting 45–60 minutes on a topic chosen by the student and approved by the instructor. The topic must be consistent with the subjects covered during the course and should be developed with a progression similar to that adopted during the lectures.
The oral examination is aimed at assessing:
the understanding of the mathematical contents discussed during the course;
the ability to apply mathematical methods and tools rigorously;
the ability to organize and present a mathematical topic clearly and logically;
the ability to connect elementary aspects with more advanced developments of the theory.
The evaluation will take into account:
the mathematical correctness of the presented material;
the level of understanding and depth of analysis of the topic;
the clarity and effectiveness of the presentation;
the appropriate use of mathematical terminology.
The final grade is expressed on a 30-point scale, with a minimum passing grade of 18/30. No midterm examinations are planned.
Office hours
by appointment
Sustainable Development Goals
Staff
-
Pablo Spiga
