Syllabus del corso
Obiettivi formativi
L'obiettivo principale che l'insegnamento si prefigge è quello di introdurre lo studente al calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali, con particolare riferimento a quegli elementi della teoria che trovano maggior applicazione nelle scienze statistiche ed economiche.
Il presente insegnamento pertanto contribuisce a consolidare le conoscenze e la capacità di comprensione nell'ambito dell'analisi matematica, in coerenza con l'area di apprendimento Matematica del corso di laurea triennale in Scienze Statistiche ed Economiche.
Lo studente rivisiterà le nozioni di limite, continuità, differenziabilità, convessità/concavità, estremalità ed integrabilità, già incontrate nel corso di Analisi Matematica I, confrontandosi con differenze ed analogie, alla luce del mutato e più variegato contesto vettoriale-topologico che caratterizza lo spazio euclideo ad n dimensioni.
In particolare, apprenderà concetti nuovi come derivata direzionale, gradiente, matrice jacobiana, matrice hessiana, curva o superficie di livello, moltiplicatori, cambiamento di coordinate, che gli permetteranno di impadronirsi delle tecniche fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in più variabili.
L'acquisizione dei summenzionati elementi lo metteranno in grado di saper affrontare specificatamente le seguenti problematiche:
-
utilizzare le derivate parziali (prime e successive) per approssimare una funzione di più variabili (definita esplicitamente o implicitamente) e controllare l'errore;
-
riconoscere l'eventuale proprietà di concavità/convessità di una funzione attraverso strumenti del calcolo differenziale;
-
determinare estremi liberi e vincolati (in presenza di varie tipologie di vincolo) di una funzione di più variabili;
-
calcolare integrali multipli, sia propri sia generalizzati, impiegando varie tecniche di calcolo (metodo di riduzione, cambiamento di variabili, simmetrie).
Lo sviluppo di tali capacità, di utilità sia in area di apprendimento Statistica che in area di apprendimento Economica, verrà realizzato attraverso la risoluzione guidata di esercizi e problemi di graduale complessità, mirata alla formazione di un giudizio autonomo sulla scelta degli elementi teorici di analisi matematica da impiegare, combinare ed adattare, nei diversi casi di studio.
Un obiettivo parallelo dell'insegnamento è quello di abituare lo studente, sia in fase di lettura di un testo, sia in fase di produzione, all'utilizzo del linguaggio formale in uso, relativamente ai temi trattati, nella comunicazione matematica, con particolare riferimento alla:
-
definizione di un concetto/proprietà matematica ed alla formulazione di enunciati di teoremi;
-
descrizione della metodologia risolutiva di un problema (corretta esposizione di calcoli e della loro giustificazione, nonchè di un ragionamento logico-deduttivo).
Il raggiungimento di quest'ultimo obiettivo, insieme all'acquisizione dei contenuti fondamentali proposti nell'insegnamento, metterà in grado lo studente di accedere autonomamente a materiale di approfondimento dei temi (su indicazione del docente).
Contenuti sintetici
Elementi di calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali.
Programma esteso
I. Funzioni di più variabili reali
I.1 Struttura vettoriale-topologica di R^n;
I.2 Limiti e continuità;
I.3 Derivate parziali e direzionali, gradiente;
I.4 Differenziabilità ed iperpiano tangente;
I.5 Derivate successive e matrice hessiana;
I.6 Formula di Taylor;
I.7 Convessità/concavità per funzioni di più variabili;
I.8 Estremi liberi.
II. Funzioni definite implicitamente
II.1 Sistemi di equazioni e curve/superfici di livello;
II.2 Teorema della funzione implicita di U. Dini;
II.3 Estremi vincolati e metodo dei moltiplicatori di Lagrange;
II.4 Invertibilità di funzioni a valori vettoriali.
III. Integrazione multipla
III.1 Funzioni a scala e loro integrali;
III.2 Integrabilità (secondo Riemann) ed integrale di una funzione limitata su un iperretangolo;
III.3 Integrale multiplo su insiemi semplici e metodo di riduzione;
III.4 Cambiamento di variabile negli integrali multipli;
III.5 Coordinate polari nel piano e nello spazio;
III.6 Integrali multipli su domini illimitati.
Prerequisiti
Il contenuto dei seguenti insegnamenti: "Analisi Matematica I" e "Algebra Lineare".
Metodi didattici
Tutte le lezioni sono svolte in presenza in modalità erogativa:
28 ore di lezione;
24 ore di esercitazione.
Modalità di verifica dell'apprendimento
La modalità di verifica si basa su una prova scritta obbligatoria, e, in caso di superamento della prova scritta con una valutazione sufficiente (>=18/30), su una prova orale facoltativa (su richiesta del docente o della/o studentessa/studente). Se vi sono le condizioni, sono previste prove d'esame parziali in itinere.
Le prove scritte sono volte ad accertare l'acquisizione di competenze teoriche, di tecniche di calcolo e d'utilizzo dei principali strumenti, e di capacità di risolvere problemi analoghi a quelli discussi e commentati in aula durante le lezioni dell'insegnamento. Esse si strutturano in:
4 PROBLEMI/ESERCIZI;
1 DOMANDA APERTA, eventualmente articolata in più punti.
La risoluzione di problemi/esercizi richiede la razionalizzazione di una questione matematica, l'applicazione di uno o più principi, talora opportunamente combinati, nonchè l'uso degli strumenti di calcolo appresi, mentre nella domanda aperta è richiesta una succinta ma pertinente esposizione teorica (ad esempio, la definizione formale di nozioni, la formulazione di enunciati e, ove previsto, la loro giustificazione, il confronto tra nozioni, la produzione di esempi e/o controesempi relativi a prefissate proprità) degli argomenti in programma.
La prova orale, facoltativa, è intesa ad accertare l'apprendimento di tutti gli elementi di teoria proposti a lezione nonchè la capacità di applicazione degli stessi. Essa prevede pertanto un COLLOQUIO DI DISCUSSIONE SULLO SCRITTO, seguito da un COLLOQUIO SU ARGOMENTI SVOLTI A LEZIONE.
In caso di superamento della prova scritta e della prova orale, il voto finale sarà determinato da una media tra l'esito della prova scritta e della prova orale.
I criteri seguiti dalla commissione d'esame per valutare le prove scritte e l'eventuale prova orale terranno conto dell'abilità di enucleare i temi che emergono affrontando un problema, del rigore metodologico nella risoluzione dei problemi, delle capacità di espressione precisa e rigorosa di concetti quantitativi attraverso un linguaggio formale, della completezza di trattazione nell'esposizione di questioni teoriche.
La valutazione finale della prova è espressa in trentesimi.
Sia nella prova scritta, sia nell'eventaule prova orale, viene applicata la seguente gradazione di giudizio in relazione ai seguenti parametri:
- Conoscenza concettuale e capacità di comprensione
- Capacità di applicare conoscenza e comprensione
- Capacità comunicative e argomentative
- Capacità di apprendimento, di autovalutazione e di autoregolazione
Votazione < 18
Conoscenza e Comprensione: Lo studente identifica solo parzialmente le caratteristiche dei concetti. Le connessioni tra i concetti risultano frammentarie e scarsamente supportate da conoscenze teoriche.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente individua solo alcuni elementi rilevanti nell'analisi di un problema o di un esercizio, senza riuscire a integrarli in un’analisi organica.
Capacità comunicative e argomentative: Nella prova scritta e orale lo studente elabora un’argomentazione essenziale, priva di articolazione logica e caratterizzata da numerose imprecisioni espositive.
Capacità di apprendimento, di autovalutazione e di autoregolazione: Lo studente riesce a ricostruire solo alcuni aspetti del proprio percorso di apprendimento e sviluppo professionale.
Votazione 18-22
Conoscenza e Comprensione: Lo studente riconosce e restituisce la maggior parte delle caratteristiche concettuali e riesce a fornirne una spiegazione relativamente coerente, sebbene con qualche imprecisione. I riferimenti teorici sono presenti ma non sempre in modo rigoroso.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente è in grado di riconoscere un numero significativo di elementi e di fornire una spiegazione parziale, pur evidenziando alcune lacune nell’analisi.
Capacità comunicative e argomentative: Nella prova orale lo studente costruisce un’argomentazione di base, dotata di una struttura minima ma con alcune imprecisioni.
Capacità di apprendimento, di autovalutazione e di autoregolazione: Lo studente dimostra una consapevolezza di base del proprio percorso di apprendimento, riuscendo a tracciare collegamenti essenziali tra le esperienze formative, sebbene con alcune imprecisioni.
Votazione 23-27
Conoscenza e Comprensione: Lo studente dimostra una comprensione approfondita delle caratteristiche concettuali. Nell'elaborazione della prova scritta o nella discussione orale le spiegazioni risultano ben articolate e supportate da un uso adeguato dei riferimenti teorici.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente individua con precisione gli elementi essenziali di una questione matematica. L’applicazione delle conoscenze avviene con un rigore metodologico non sempre solido.
Capacità comunicative e argomentative: Nella prova scritta lo studente sviluppa un’argomentazione coerente e ben organizzata, dimostrando una buona padronanza del linguaggio e una struttura logico-argomentativa solida. La comunicazione risulta chiara ed efficace.
Capacità di apprendimento, di autovalutazione e di autoregolazione: Lo studente analizza il proprio percorso di apprendimento in modo chiaro e strutturato, mettendo in evidenza relazioni significative tra le diverse tappe evolutive e dimostrando una buona capacità di riflessione critica.
Votazione 28-30
Conoscenza e Comprensione: Lo studente evidenzia una padronanza completa dei concetti, articolando connessioni complesse e fornendo spiegazioni esaustive. I riferimenti teorici sono utilizzati con pertinenza e rigore.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente evidenzia una capacità avanzata di analisi di un problema, individuando e interpretando in modo esaustivo tutti gli elementi salienti. L’applicazione delle conoscenze avviene con rigore metodologico, supportato da un’argomentazione solida e articolata.
Capacità comunicative e argomentative: Nella prova scritta o orale lo studente elabora un’argomentazione solida e articolata, con un impianto logico rigoroso e un elevato livello di coerenza testuale. Il discorso è fluido e ben strutturato.
Capacità di apprendimento, di autovalutazione e di autoregolazione: Lo studente evidenzia una capacità avanzata di autoriflessione, elaborando un’analisi articolata e approfondita del proprio percorso di apprendimento e sviluppo professionale. Le connessioni tra esperienze formative e concetti teorici risultano chiare, coerenti e rigorose.
Testi di riferimento
1. M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, "Analisi matematica 2", Zanichelli, Bologna, 2009;
2. S. Salsa, A. Squellati, "Esercizi di Analisi metematica 2", Zanichelli, Bologna, 2011.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Lingua di insegnamento
Italiano.
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The main objective of the course is to introduce the student to differential and integral calculus for functions of several real variables, with particular reference to those elements of the theory that find greater application in statistical and economic sciences.
The present course therefore contributes to consolidating knowledge and understanding in the field of mathematical analysis, in line with the Mathematics learning area of the three-year degree course in Statistical and Economic Sciences.
The student will revisit the notions of limit, continuity, differentiability, convexity/concavity, extremality and integrability, already encountered in the course of Mathematical Analysis I, comparing differences and analogies, in light of the changed and more varied vector-topological setting that characterizes the n-dimensional Euclidean space.
In particular, he will learn new concepts such as directional derivative, gradient, Jacobian matrix, Hessian matrix, level curve or surface, multipliers, change of coordinates, which will allow him to master the fundamental techniques of differential and integral calculus in several variables.
The acquisition of the above-mentioned elements will enable him to specifically address the following problems:
-
use partial derivatives (first and successive) to approximate a function of several variables (defined explicitly or implicitly) and control the error;
-
recognize the possible concavity/convexity property of a function through differential calculus tools;
-
determine unconstrained and constrained extrema (in the presence of various types of constraints) of a function of several variables;
-
calculate multiple integrals, both proper and generalized, using various computational techniques (reduction method, change of variables, symmetries).
The development of these skills, of use both in Statistics and in Economics areas, will be achieved through the guided resolution of exercises and problems of gradual complexity, aimed at forming an autonomous judgment on the choice of theoretical elements from mathematical analysis to be used, combined and adapted in the different case studies.
A parallel objective of the teaching is to accustom the student, both in the reading phase of a text and in the production phase, to the use of the formal language in use, in relation to the topics covered, in mathematical communication, with particular reference to:
-
definition of a mathematical concept/property and formulation of theorem statements;
-
description of the methodology for solving a problem (correct presentation of calculations and their justification, as well as logical-deductive reasoning).
The achievement of this last objective, together with the acquisition of the fundamental contents proposed in the teaching, will enable the student to independently access in-depth material on the topics (as indicated by the teacher).
Contents
Elements of differential and integral calculus for functions of several real variables.
Detailed program
I. Functions on several real variables
I.1 Topological-vector structure of R^n;
I.2 Limits and continuity;
I.3 Partial and directional derivatives, gradient;
I.4 Differentiability and tangent hyperplane;
I.5 Higher order derivatives and Hessian matrix;
I.6 Taylor's formula;
I.7 Convexity/concavity for multivariable functions;
I.8 Uncontrained extrema.
II. Functions implicitly defined
II.1 Equation systems and level curve/surfaces;
II. 2 Implicit function theorem;
II.3 Constrained extrema and Lagrangian multiplier method;
II.4 Invertibility for vector-valued functions.
III. Mutiple integration
III.1 Step functions and their integral;
III.2 Riemann integrability and integral for bounded functions over a n-dimensional interval;
III.3 Multiple integral over simple domains and reduction method;
III.4 Change of variable in multiple integration;
III.5 Polar coordinates in the plane and in the 3d space;
III.6 Multiple integral over unbounded domains.
Prerequisites
The contents of the following courses: "Mathematical Analysis I" and "Linear Algebra".
Teaching methods
All classes are conducted in person in a lecture-based format:
28 hours of lectures;
24 hours of practical exercises.
Assessment methods
The assessment method is based on a mandatory written test and, in case of passing the written test with a sufficient grade (>=18/30), on an optional oral test (upon request of the teacher or the student). If the conditions are met, interim partial examinations may be held.
The written tests are designed to ascertain the acquisition of theoretical skills, calculation techniques and use of the main tools, and the ability to solve problems similar to those discussed and commented on in the classroom during the lessons of the course. They are structured in:
4 PROBLEMS/EXERCISES;
1 OPEN QUESTION, possibly devided into several points.
The resolution of problems/exercises requires the rationalization of a mathematical question, the application of one or more principles, sometimes appropriately combined, as well as the use of the calculation tools learned, while in the open question a succinct but pertinent theoretical exposition is required (for example, the formal definition of notions, the formulation of statements and, where applicable, their justification, the comparison between notions, the production of examples and/or counterexamples relating to pre-established properties) of the topics in the program.
The oral exam, optional, is intended to verify the learning of all the theoretical elements proposed in class as well as the ability to apply them. It therefore includes a DISCUSSION INTERVIEW ON THE WRITTEN SUBJECT, followed by an INTERVIEW ON TOPICS COVERED IN CLASS.
If the written and oral tests are passed, the final grade will be determined by the average of the results of the written and oral tests.
The criteria followed by the examination board to evaluate the written tests and any oral test will take into account the ability to identify the themes that emerge when addressing a problem, the methodological rigor in solving problems, the ability to express quantitative concepts precisely and rigorously through formal language, and the completeness of treatment in the exposition of theoretical issues.
The final assessment is graded on a 30-point scale.
Both the written examination and oral examination (if any) are assessed according to the following grading criteria, based on these parameters:
Conceptual knowledge and understanding
Ability to apply knowledge and understanding
Communication and argumentation skills
Learning, self-assessment, and self-regulation skills
Grade < 18
Knowledge and Understanding:
The student identifies only some of the characteristics of the concepts. Connections between concepts are fragmented and only weakly supported by theoretical knowledge.
Ability to Apply Knowledge and Understanding:
The student identifies only some relevant elements in the analysis of a problem or exercise, without being able to integrate them into a coherent analysis.
Communication and Argumentation Skills:
In the written and oral examination, the student develops a basic argument lacking logical structure and characterized by numerous inaccuracies in presentation.
Learning, Self-Assessment, and Self-Regulation Skills:
The student is able to reconstruct only some aspects of their learning and professional development process.
Grade 18–22
Knowledge and Understanding:
The student recognizes and describes most conceptual characteristics and is able to provide a relatively coherent explanation, although with some inaccuracies. Theoretical references are present but not always used rigorously.
Ability to Apply Knowledge and Understanding:
The student is able to identify a significant number of relevant elements and provide a partial explanation, while still showing some gaps in the analysis.
Communication and Argumentation Skills:
In the oral examination, the student develops a basic argument with a minimal structure, although some inaccuracies remain.
Learning, Self-Assessment, and Self-Regulation Skills:
The student demonstrates a basic awareness of their learning process and is able to identify essential connections among learning experiences, although with some inaccuracies.
Grade 23–27
Knowledge and Understanding:
The student demonstrates a thorough understanding of the conceptual characteristics. In the written examination or oral discussion, explanations are well articulated and supported by an appropriate use of theoretical references.
Ability to Apply Knowledge and Understanding:
The student accurately identifies the essential elements of a mathematical problem. Knowledge is applied with methodological rigor, although not always consistently.
Communication and Argumentation Skills:
In the written examination, the student develops a coherent and well-organized argument, demonstrating good command of language and a solid logical structure. Communication is clear and effective.
Learning, Self-Assessment, and Self-Regulation Skills:
The student analyzes their learning process in a clear and structured manner, highlighting meaningful relationships among different stages of development and demonstrating good critical reflection skills.
Grade 28–30
Knowledge and Understanding:
The student demonstrates complete mastery of the concepts, establishing complex connections and providing comprehensive explanations. Theoretical references are used appropriately and rigorously.
Ability to Apply Knowledge and Understanding:
The student demonstrates advanced problem-analysis skills, identifying and interpreting all key elements thoroughly. Knowledge is applied with methodological rigor, supported by a solid and well-developed argument.
Communication and Argumentation Skills:
In the written or oral examination, the student develops a strong and sophisticated argument, characterized by rigorous logical organization and a high degree of textual coherence. The presentation is fluent and well structured.
Learning, Self-Assessment, and Self-Regulation Skills:
The student demonstrates advanced self-reflection skills, providing a detailed and in-depth analysis of their learning and professional development process. Connections between learning experiences and theoretical concepts are clear, coherent, and rigorous.
Textbooks and Reading Materials
1. M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, "Analisi matematica 2", Zanichelli, Bologna, 2009;
2. S. Salsa, A. Squellati, "Esercizi di Analisi metematica 2", Zanichelli, Bologna, 2011.
Semester
The course is scheduled in first semester.
Teaching language
Italian.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Amos Uderzo
