- Area di Scienze
- Corso di Laurea Magistrale
- Scienze e Tecnologie Geologiche [F7402Q - F7401Q]
- Insegnamenti
- A.A. 2026-2027
- 1° anno
- Statistica
- Introduzione
Syllabus del corso
Obiettivi
Conoscenza e capacità di comprensione:
-
Comprendere i concetti fondamentali della probabilità e della statistica. -
Riconoscere quando un fenomeno può essere rappresentato come aleatorio. -
Comprendere il comportamento delle medie di un grande numero di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
-
Applicare i concetti di probabilità e statistica a situazioni reali caratterizzate da aleatorietà. -
Stimare la probabilità di eventi in contesti concreti. -
Selezionare tra diversi modelli aleatori quello più adatto alla descrizione di un problema reale. -
Stimare parametri ignoti a partire da un campione casuale. -
Applicare test statistici per verificare ipotesi sui parametri di una distribuzione e interpretarne correttamente l'esito.
Autonomia di giudizio:
-
Valutare criticamente la plausibilità di ipotesi statistiche in relazione al contesto di raccolta dei dati. -
Discutere le implicazioni teoriche e pratiche dei modelli probabilistici adottati.
Abilità comunicative:
-
Comunicare in modo chiaro e rigoroso le analisi condotte, i metodi statistici utilizzati e le conclusioni tratte.
Capacità di apprendimento:
-
Sviluppare la capacità di approfondire in modo autonomo le tematiche probabilistiche e statistiche, anche in relazione a dati raccolti personalmente o da fonti esterne. -
Maturare un approccio critico e riflessivo all’interpretazione di fenomeni aleatori.
Contenuti sintetici
Corso di base in metodi statistici:
- statistica descrittiva
- probabilità/modelli aleatori
- statistica inferenziale: stime puntuali, intervallari e test d'ipotesi
Programma esteso
Il programma è unico per frequentanti e non frequentanti.
Statistica Descrittiva
Vettori di dati, Media, varianza, deviazione standard. Istogrammi. Mediana, quartili, quantili, Boxplot. Covarianza e coefficiente di correlazione, diagramma di dispersione.
Probabilità
Probabilità di eventi; indipendenza di eventi. Variabili aleatorie discrete, densità, funzione di ripartizione, media e varianza di v.a. discreta. Esempi: uniforme discreta, binomiale, geometrica, Poisson. Variabili aleatorie continue, densità, funzione di distribuzione, media, varianza. Esempi: uniforme continua, esponenziale, gaussiana. Legge dei grandi numeri.
Teorema dei limite centrale (uso delle tavole della normale standard).
Statistica Inferenziale
Campioni, stimatori, stimatori non distorti. Stimatore della media. Stimatore non distorto della varianza. Intervalli di confidenza per la media (a varianza nota e ignota).
Test d'ipotesi. Errore di prima e di seconda specie. Livello di significatività. P-value.
Test su una media (monolatero e bilatero a varianza nota e ignota). Test su due medie. Test chi quadro di adattamento e di indipendenza.
Regressione lineare.
Prerequisiti
Operazioni su insiemi; significato di funzione; analisi matematica (massimi e minimi di funzione, concetti di serie, integrazione di funzioni su R).
Modalità didattica
- 10 lezioni da 2 ore e una lezione da 1 ora, svolte in modalità erogativa in presenza (DE, totale 21 ore);
- 9 lezioni da 1 ore svolte in modalità erogativa da remoto (DE asincrona, totale 9 ore);
- 5 lezioni da 1 ora svolte in modalità interattiva da remoto (DI asincrona, totale 5 ore);
- 1 attività di esercitazione da 12 ore svolta in modalità interattiva (DI asincrona) da remoto.
Materiale didattico
Testi di riferimento:
- Calcolo delle probabilità e Statistica, di Marco Bramanti, Esculapio Editore.
- Esercizi di probabilità e statistica, di Bertacchi, Bramanti e Guerra, Esculapio Editore
Altro materiale sulla piattaforma elearning.unimib.it:
- Trasparenze delle lezioni
- Video di alcune lezioni
- Video di esercizi
- Quiz a risposta multipla
- Esercizi interattivi sulla piattaforma wims.matapp,unimib.it
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre (marzo-giugno)
Modalità di verifica del profitto e valutazione
La valutazione si basa su un esame scritto (obbligatorio), del lavoro online (facoltativo) e una prova orale facoltativa.
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L'esame scritto contiene domande a risposta multipla (del genere presente in piattaforma elearning), domande teoriche a risposta aperta (su definizioni o risultati teorici evidenziati nelle trasparenze delle lezioni) e esercizi (del tipo presente sulla piattaforma wims). La durata dell'esame scritto è variabile fra 1 ora e mezza e le due ore e mezza.
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Quando sia tecnicamente possibile, l'esame è parzialmente informatizzato e consiste di:
- domande aperte (definizioni/proprietà/risultati teorici) in genere su carta, più domande a risposta multipla (su piattaforma informatica) sempre sugli aspetti più teorici, per un peso totale di 1/3 del voto dello scritto. Per questa parte non è consentito consultare materiale didattico né altri strumenti.
- esercizi (su piattaforma informatica) di applicazione di quanto visto nel corso, con possibili domande a risposta aperta in cui mostrare esempi concreti di applicazione, per un peso totale di 2/3 del voto dello scritto. Per questa parte è consentito l'uso di un formulario manoscritto su foglio A4 (un foglio solo, fronte e retro) e di una calcolatrice scientifica non programmabile.
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L'orale è a richiesta del docente e/o dello studente (ogni qualvolta il docente o lo studente ne ravvedano la necessità, in particolare risulta obbligatorio per chi avesse un voto compreso fra i 16 e i 18/30 nello scritto, mentre chi avesse voto inferiore a 16 non può richiedere l'orale, risultando in ogni caso insufficiente). Qualora venga sostenuto l'orale, il suo punteggio fa media con il voto dello scritto. L'orale può consistere in colloquio di discussione sullo scritto; colloquio sulla relazione di laboratorio; colloquio sugli argomenti svolti a lezione; colloquio sugli argomenti svolti a lezione e sui testi di esame; colloquio su argomenti di approfondimento non trattati a lezione. La durata dell'orale, se svolto, è tra i 15 e i 30 minuti.
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L'esame scritto può essere sostituito da due prove intermedie, una calendarizzata a metà corso (in genere in aprile) e l'altra a giugno. La prima prova verte sulla prima parte del programma (ed è unicamente scritta), la seconda sulla seconda parte (e può esservi l'orale facoltativo). E' ammesso alla seconda prova intermedia chi ha ottenuto un voto di almeno 14/30 nella prima prova intermedia. Il voto medio ottenuto nelle due prove si sostituisce dunque al voto dell'esame scritto.
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Negli esami scritti/orali (come nelle prove intermedie) è valutata la correttezza e completezza delle risposte. In domande ed esercizi sono valutate, fra l'altro, le capacità di scegliere modelli aleatori adeguati, conoscerne le proprietà caratteristiche, stimare le probabilità o i parametri, discutere tramite test le proprietà dei parametri del modello.
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Il lavoro online consiste nello svolgimento di quiz e esercizi online su piattaforma e-learning e wims e in un lavoro di gruppo (facoltativo) in cui si applicano le nozioni del corso ad un insieme di dati. Nel lavoro online è valutata (in modo automatico) la correttezza delle risposte date. Essendo le domande ed esercizi analoghi alle prove d'esame, sono in esse valutate le stesse competenze che sono valutate nell'esame (si veda il capoverso precedente). Il lavoro di gruppo è una analisi di dati scelti dagli studenti (i dati devono essere approvati dal docente, eventualmente il docente si riserva la possibilità di proporre un insieme di dati alternativo; il docente fornisce alcuni set di dati tra cui gli studenti possono scegliere), e consegnata attraverso la piattaforma elearning per la correzione da parte del docente, in cui si valuta la capacità di analisi critica e di applicazione dei concetti del corso ad un caso reale (in particolare la capacità di estrarre informazioni dai dati), nonché la capacità espositiva. Si ricorda che la consegna dell'elaborato non è obbligatoria ma facoltativa. Il lavoro online e del gruppo forniscono complessivamente un punteggio da 0 a 7 punti (1.5 punti se tutti i quiz sono svolti almeno una volta con voto almeno 24; 2.5 punti se tutti gli esercizi wims sono svolti almeno una volta con voto almeno 24; da -1 a 3 la valutazione del lavoro di gruppo).
L'elaborato deve essere consegnato entro le scadenze previste per i vari appelli. I quiz e gli esercizi vanno svolti entro le 24 ore precedenti la data dell'esame scritto (le valutazioni prese in considerazione saranno quelle ottenute prima delle 24 ore precedenti l'esame).
Ulteriori dettagli sulla pagine elearning del corso.
Il voto finale è composto dal voto dello scritto (+ eventuale orale) in 25esimi (moltiplicare il voto per 25/30) a cui si somma il punteggio del lavoro online. Il punteggio del lavoro online non si applica in caso di voto dello scritto inferiore a 13.5/25 (ovvero 15.6/30).
Viene applicata la seguente griglia di valutazione, in relazione ai parametri:
- Conoscenza concettuale e capacità di comprensione
- Capacità di applicare conoscenza e comprensione
- Capacità comunicative e argomentative
- Capacità di apprendimento, di autovalutazione e di autoregolazione
Votazione < 18
- Lo studente identifica per nulla o parzialmente le caratteristiche dei concetti e non è in grado di formulare una spiegazione organica e esaustiva di tali concetti. Le connessioni tra i concetti risultano assenti o frammentarie e scarsamente supportate da riferimenti teorici.
- Lo studente individua solo alcuni elementi rilevanti, senza riuscire a integrarli in un’analisi organica. La spiegazione risulta frammentaria e priva di approfondimento critico.
- Lo studente elabora un’argomentazione scarna, caratterizzata da numerose criticità espositive e logiche, compromettendo la correttezza e la chiarezza discorsiva.
- Lo studente riesce a ricostruire nessuno o soltanto alcuni aspetti del proprio percorso di apprendimento. Spesso non è in grado di accorgersi dei propri errori e criticità.
Votazione 18-22
- Lo studente riconosce e restituisce la maggior parte delle caratteristiche concettuali e riesce a fornirne una spiegazione relativamente coerente, sebbene con qualche imprecisione. I riferimenti teorici non sono contestualizzati in modo rigoroso.
- Lo studente è in grado di riconoscere un certo numero di elementi e di fornirne una spiegazione parziale, pur evidenziando alcune lacune. L’applicazione delle conoscenze avviene in maniera non sempre sistematica.
- Lo studente costruisce un’esposizione di base, dotata di una struttura minima ma con imprecisioni logiche e discorsive. L’esposizione, sebbene comprensibile da un cultore della materia, risulta talvolta poco fluida.
- Lo studente dimostra una consapevolezza di base del proprio percorso di apprendimento. Sa talvolta accorgersi delle proprie
imprecisioni.
Votazione 23-27
- Lo studente dimostra una comprensione approfondita degli argomenti del corso, stabilendo collegamenti strutturati e coerenti. Le spiegazioni risultano articolate e supportate da un uso dei riferimenti teorici.
- Lo studente individua e applica gli elementi essenziali del corso, riuscendo a spiegarli in un’analisi coerente e ben strutturata. L’applicazione delle conoscenze avviene con un rigore non sempre solido.
- Lo studente sviluppa un’argomentazione coerente e ben organizzata, dimostrando padronanza del linguaggio e una struttura logico-argomentativa solida. La comunicazione risulta chiara ed efficace.
- Lo studente analizza il proprio percorso di apprendimento in modo chiaro e strutturato, dimostrando una buona capacità di riflessione critica.
Votazione 28-30
- Lo studente evidenzia padronanza dei concetti, articolando connessioni e fornendo spiegazioni esaustive. I riferimenti teorici sono utilizzati con pertinenza e rigore. Lo studente è in grado di replicare le dimostrazioni dei fatti principali del corso.
- Lo studente evidenzia una capacità avanzata di spiegare e applicare i metodi visti nel corso. L’applicazione delle conoscenze avviene con rigore metodologico, supportato da un’argomentazione solida e articolata.
- Lo studente elabora un’argomentazione solida e articolata, con un impianto logico rigoroso e un elevato livello di coerenza testuale. Il discorso è fluido, ben strutturato e privo di criticità.
- Lo studente evidenzia una capacità avanzata di autoriflessione, elaborando un’analisi articolata e approfondita del proprio percorso di apprendimento. Le connessioni tra gli aspetti teorici e quelli pratici della propria esperienza formativa risultano interiorizzate con grande consapevolezza.
Orario di ricevimento
Su appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
Knowledge and understanding:
- To understand the fundamental concepts of probability and statistics.
- To recognize when a phenomenon can be modeled as random.
- To understand the behavior of the averages of a large number of independent and identically distributed random variables.
Applying knowledge and understanding:
- To apply concepts of probability and statistics to real-world situations characterized by randomness.
- To estimate the probability of events in concrete contexts.
- To select the most appropriate probabilistic model among several alternatives for describing a real-world problem.
- To estimate unknown parameters based on a random sample.
- To apply statistical tests to assess hypotheses about distribution parameters and to correctly interpret the results.
Making judgements:
- To critically assess the plausibility of statistical hypotheses in relation to the context in which the data were collected.
- To discuss the theoretical and practical implications of the adopted probabilistic models.
Communication skills:
- To clearly and rigorously communicate the analyses performed, the statistical methods employed, and the conclusions drawn.
Learning skills:
- Develop the ability to independently study probabilistic and statistical issues, also in relation to data collected personally or from external sources.
- Develop a critical and reflective approach to the interpretation of random phenomena.
Contents
It is a first level course on the basic tools of descriptive and inferential statistics:
- descriptive statistics
- probability/random models
- inferential statistics: punctual and interval estimates, hypothesis testing
Detailed program
The program is the same for both attending and not attending students.
Descriptive Statistics
Data vectors, mean,variance, standard deviation. Histograms. Median, quartiles, quantiles, Boxplot. Covariance and correlation, scatterplot.
Probability
Probability of events; independence of events. Discrete random variables, density, distribution function, mean and variance of discrete random variables. Examples: discrete uniform, binomial, geometric, Poisson. Continuous random variables, density, distribution function, mean, variance. Examples: continuous uniform, exponential, Gaussian. Law of largenumbers. Central limit theorem (use of the tables of the standard normal).
Inferential Statistics
Samples, estimators, unbiased estimators. Estimator of the mean. Unbiased estimator of the variance.
Confidence intervals for the mean (with known or unknown variance).
Test of hypothesis. First and second type error. Level of a test, P-value.
Test on a mean (monolateral and two-sided with known or unknown variance). Test on two averages. Chi-squared test of adaptation and of independence.
Linear regression.
Prerequisites
Set theory; real functions; calculus (minima and maxima of functions, series and integration of real functions).
Teaching form
- 10 2-hours lessons and one 1-hour lessons, Delivered Didactics in presence (DD total 21h);
- 9 1-hour lesson, Delivered Didactics online (asynchronous DD, totale 9h);
- 5 1-hour lessons online Interactive Teaching (asynchronous IT, total 5h);
- 1 12-hours exercise activity, online Interactive Teaching (asynchronous IT).
Textbook and teaching resource
Textbooks:
- Calcolo delle probabilità e Statistica, di Marco Bramanti, Esculapio Editore.
- Esercizi di probabilità e statistica, di Bertacchi, Bramanti e Guerra, Esculapio Editore
Other material on elearning.unimib.it:
- Lecture slides
- Video of some lessons
- Video of exercises
- Multiple answer quizzes
- Interactive exercises on the platform wims.matapp,unimib.it
Semester
Second semester (March-June)
Assessment method
The assessment is based on online work and a written exam, plus an optional oral examination.
-
The written exam contains multiple choice questions (of the kind present in the e-learning platform), open-ended theoretical questions (on definitions or theoretical results highlighted in the transparency of the lessons) and exercises (of the type present on the wims platform). The written exam lasts from a minimum of 1 hour and a half, to a maximum of 2 hours and a half.
-
When technically possible, the exam is partially computerized and consists of:
- open questions (definitions/properties/theoretical results) generally on paper, plus multiple-choice questions (on a computer-based platform) always on the more theoretical aspects, for a total weight of 1/3 of the grade of the written exam. For this part it is not allowed to consult teaching materials or other tools.
- exercises (on a computer platform) on the application of what has been seen in the course, with possible open questions in which to show concrete examples of application, for a total weight of 2/3 of the grade of the written exam. For this part, the use of a handwritten form on A4 sheet (one page front and back) and a non-programmable scientific calculator is permitted.
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The oral exam is requested by the teacher and / or student (whenever the lecturer or student feel that it is needed, in particular it is mandatory for those who have a grade between 16 and 18/30 in the written exam, while those who got a vote less than 16 cannot request the oral examination, and are judged insufficient). If the oral exam is taken, its score is averaged with the one of the written exam. The oral exam may consist of a discussion on the written work; an interview on the laboratory report; an interview on the topics covered in class; an interview on the topics covered in class and on the exam texts; an interview on in-depth topics not covered in class.
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The written exam can be replaced by two intermediate tests, one scheduled in mid-term (generally in April) and the other in June. The first test focuses on the first part of the program (and is written only), the second on the second part (and can be concluded with the optional oral examination, if requested by the teacher or the student). Those who have obtained a mark of at least 14/30 in the first intermediate test are admitted to the second intermediate test. The average grade obtained in the two tests therefore replaces the vote of the written exam.
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In the written / oral exams (as in the intermediate tests) the correctness and completeness of the answers is evaluated. In questions and exercises are evaluated, among other things, the ability to choose appropriate random models, know their characteristic properties, estimate the probabilities or parameters, discuss the properties of the model parameters by testing.
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The online work consists of quizzes and exercises on the e-learning and wims platform and in a group work (optional) in which the concepts of the course are applied to a set of data. In the online work the correctness of the answers given is evaluated (automatically). Since the questions and exercises are similar to the ones in the exams, they evaluate the same skills that are evaluated in the exam (see the previous paragraph). Group work is an analysis of a data set chosen by the students (the data set must be approved by the teacher, who eventually may propose a different data set; the teacher provides examples of data sets among which the students may choose), and delivered through the e-learning platform for correction by the teacher and tutor, which assesses the capacity for critical analysis and application of the concepts of the course to a real case (in particular the ability to extract information from data). The online and group work give a total score from 0 to 7 points (1.5 points if all the quizzes are done at least once with a score of at least 24; 2.5 points if all the wims exercises are done at least once with a score of at least 24; from -1 to 3 the evaluation of the group work).
The group work must be submitted for evaluation by the deadlines set for the various exam sessions (recall that it is not a compulsory activity). Quizzes and exercises must be completed within 24 hours of the written exam (grades taken into consideration will be those obtained within 24 hours of the exam).
More details on the online work can be found in the presentation of the course on the elearning page (accessible from the beginning of the course during the academic year).
The final grade is made up of the written grade (+ possibly oral) out of 25 points (multiply the grade by 25/30) to which is added the score of the online work. The score for the online work is not added if the written grade is less than 13.5/25 (or equivalently, 15.6/30).
The following assessment grid is applied, based on these parameters:
- Conceptual knowledge and understanding
- Ability to apply knowledge and understanding
- Communication and argumentation skills
- Learning, self-assessment, and self-regulation skills
Grade < 18
- The student identifies the characteristics of the concepts completely or partially and is unable to formulate a comprehensive and exhaustive explanation of these concepts. The connections between the concepts are absent or fragmented and poorly supported by theoretical references.
- The student identifies only a few relevant elements, unable to integrate them into a comprehensive analysis. The explanation is fragmented and lacks critical depth.
- The student develops a sparse argument, characterized by numerous expository and logical flaws, compromising the correctness and clarity of the discussion.
- The student is unable to reconstruct none or only some aspects of his or her learning path. Often fails to recognize their own errors and critical points.
Grade 18-22
- The student recognizes and reflects most of the conceptual features and is able to provide a relatively coherent explanation, albeit with some inaccuracies. The theoretical references are not rigorously contextualized.
- The student is able to recognize a certain number of elements and provide a partial explanation, while highlighting some gaps. The application of knowledge is not always systematic.
- The student constructs a basic exposition, with a minimal structure but with logical and discursive inaccuracies. The exposition, although understandable to an expert in the subject, sometimes lacks flow.
- The student demonstrates a basic awareness of their learning path. They are sometimes able to recognize their own inaccuracies.
Grade 23-27
- The student demonstrates a thorough understanding of the course topics, establishing structured and coherent connections. Explanations are well-structured and supported by the use of theoretical references.
- The student identifies and applies the essential elements of the course, successfully explaining them in a coherent and well-structured analysis. Knowledge is applied with a rigor that is not always solid.
- The student develops a coherent and well-organized argument, demonstrating mastery of language and a solid logical-argumentative structure. Communication is clear and effective.
- The student analyzes his or her learning path in a clear and structured manner, demonstrating good critical thinking skills.
Grade 28-30
- The student demonstrates mastery of concepts, articulating connections and providing comprehensive explanations. Theoretical references are used with relevance and rigor. The student is able to replicate the demonstrations of the main facts of the course.
- The student demonstrates an advanced ability to explain and apply the methods covered in the course. Knowledge is applied with methodological rigor, supported by solid and detailed argumentation.
- The student develops a solid and detailed argument, with a rigorous logical structure and a high level of textual coherence. The discourse is fluid, well-structured, and free of critical issues.
- The student demonstrates an advanced capacity for self-reflection, developing a detailed and in-depth analysis of their learning journey. The connections between the theoretical and practical aspects of their learning experience are internalized with great awareness.
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