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Percorso della pagina
  1. Education
  2. Single Cycle Master Degree (5 years)
  3. Scienze della Formazione Primaria [G8501R]
  4. Courses
  5. A.A. 2019-2020
  6. 1st year
  1. Basic Mathematics
  2. Summary
Insegnamento Course full name
Basic Mathematics
Course ID number
1920-1-G8501R006
Course summary SYLLABUS
MOLTO IMPORTANTE 
L'insegnamento di Istituzioni di matematiche prevede la suddivisione degli studenti nei gruppi:
  • gruppo AL (docente Daniela Bertacchi)
  • gruppo MZ (docente Pablo Spiga)
a seconda dell'iniziale del vostro cognome. Il docente del vostro gruppo è quello a cui dovete fare riferimento.

La password di iscrizione è mateal per gli studenti AL; matemz per gli studenti MZ.

Course Syllabus

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Titolo

Istituzioni di matematiche

MOLTO IMPORTANTE

L'insegnamento di Istituzioni di matematiche prevede la suddivisione degli studenti nei gruppi AL (docente Daniela Bertacchi) e MZ (docente Pablo Spiga), a seconda dell'iniziale del vostro cognome. Il docente del vostro gruppo è quello a cui dovete sempre fare riferimento.

La password di iscrizione è
mateal per gli studenti AL
matemz per gli studenti MZ.

Argomenti e articolazione del corso

Il corso intende presentare alcuni risultati di base di aritmetica. Inoltre, nel corso discuteremo insiemi numerici quali i naturali, gli interi, i razionali e i reali. Daremo inoltre un'introduzione alla teoria degli insiemi, delle funzioni e della probabilita'.

  • Teoria degli insiemi. Insiemi e operazioni fra insiemi.
  • Funzioni, funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Insiemi infiniti.
  • Relazioni binarie. Relazioni d’ordine. Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza e partizioni.
  • I numeri naturali. Introduzione assiomatica dei numeri naturali secondo Peano. Somma, prodotto e ordinamento dei naturali. Principio di induzione. Scrittura decimale e in altre basi dei naturali.
  • I numeri interi. Introduzione dei numeri interi a partire dai numeri naturali. Divisibilità nell’insieme degli interi. Esistenza e unicità di quoziente e resto. La congruenza modulo n. Classi di resto. Numeri primi; teorema fondamentale dell’aritmetica. Crivello di Eratostene. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo di due numeri interi. Algoritmo euclideo delle divisioni successive.
  • I numeri razionali. La costruzione dei numeri razionali, l'insieme dei razionali come estensione dell'insieme dei numeri interi. Operazioni fra razionali e proprietà di densità.
  • Alcuni elementi di probabilità elementare. Eventi dipendenti e eventi indipendenti, probabilita'condizionata. Calcolo elementare di probabilita'.
  • Cenni all'estensione dei numeri razionali ai numeri reali.

Obiettivi

Al completamento del corso lo studente e' in grado di fare uso consapevole dell'argomentazione ipotetico deduttiva, di alcuni elementi di logica, e di illustrare i concetti dell'aritmetica di base da un punto di vista non scolastico.

Metodologie utilizzate

Lezioni frontali 42 ore

Esercitazioni a piccoli gruppi 14 ore (per partecipare, è obbligatoria l'iscrizione ad uno dei gruppi all'inizio del corso sulla piattaforma elearning)

Piattaforma interattiva di esercizi online.

Materiali didattici (online, offline)

Libri di testo, libri consigliati (si veda bibliografia).

Online: lista di esercizi proposti per risoluzione cartacea più esercizi interattivi sulla piattaforma wims.

Programma e bibliografia per i frequentanti

PROGRAMMA

Teoria degli insiemi. Insiemi e operazioni fra insiemi.

Funzioni, funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Insiemi infiniti.

Relazioni binarie. Relazioni d’ordine. Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza e partizioni.

I numeri naturali. Introduzione assiomatica dei numeri naturali secondo Peano. Somma, prodotto e ordinamento dei naturali. Principio di induzione. Scrittura decimale e in altre basi dei naturali.

I numeri interi. Introduzione dei numeri interi a partire dai numeri naturali. Divisibilità nell’insieme degli interi. Esistenza e unicità di quoziente e resto. La congruenza modulo n. Classi di resto. Numeri primi; teorema fondamentale dell’aritmetica. Crivello di Eratostene. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo di due numeri interi. Algoritmo euclideo delle divisioni successive.

I numeri razionali. La costruzione dei numeri razionali, l'insieme dei razionali come estensione dell'insieme dei numeri interi. Operazioni fra razionali e proprietà di densità.

Alcuni elementi di probabilità elementare. Eventi dipendenti e eventi indipendenti, probabilita'condizionata. Calcolo elementare di probabilita'.

Cenni all'estensione dei numeri razionali ai numeri reali.

Testo di riferimento
M. Cazzola, Matematica per scienze della formazione primaria

Ulteriore materiale didattico
  • S. Di Sieno - S. Levi, Aritmetica di base, McGraw-Hill, 2005
  • G. Caiati - A. Castellano, In equilibrio su una linea di numeri, Mimesis, 2007
  • A. Cerasoli, Io conto, Feltrinelli, 2010
  • A. Cerasoli, Sono il numero 1, Feltrinelli, 2008
  • P. Cereda et al, L'aritmetica del Pirata Newton, Mimesis, 2010
  • P. Cereda – G.Dimitolo, La ciurma del Pirata Newton, Mimesis, 2008
  • H. M. Enzensberger, Il mago dei numeri, Einaudi

Programma e bibliografia per i non frequentanti

Come per frequentanti

Modalità d'esame

  • Tipologia di prova

L'esame consiste in due prove informatizzate (la prima denotata come Aritmetica zero e la seconda denotata Prova d'esame) più una eventuale prova orale.

  1. Prova di Aritmetica zero: è una prova sulle capacità di calcolo aritmetico che dovrebbero essere acquisite fin dalla scuola dell'obbligo. Durante il suo svolgimento non è consentito l'uso di calcolatrici. L'iscrizione avviene tramite la piattaforma http://wims.matapp.unimib.it/ 
    Tale prova deve essere superata con esito positivo (voto maggiore o uguale a 21/30) in data antecedente a quella dell'esame scritto (o nella stessa data dell'esame scritto se in quel giorno è attivata anche una sessione di Aritmetica zero). Si invitano gli studenti a superarla quanto prima durante l'anno accademico (controllate sul portale wims le date di appello disponibili, alla voce "Questionari" dove si procede anche alla propria iscrizione).
    Il mancato superamento di Aritmetica zero prima della data della prova scritta comporta la non ammissione all'esame scritto. La prova di Aritmetica zero ha validità un anno accademico. Dunque se superata nell'anno accademico 2019/20 ha validità fino al 30/9/2020. (La regola sulla durata di validità non si applica a chi ha sostenuto la prova prima dell'1/10/2015). Maggiori informazioni sulla prova di Aritmetica zero si trovano nel sito http://wims.matapp.unimib.it/

  2. Prova d'esame: l'iscrizione avviene obbligatoriamente su s3w.si.unimib.it. L'iscrizione su s3 vale anche per la prova orale/verbalizzazione.  La prova d'esame consiste sia di esercizi simili a quelli visti a esercitazioni, sia di quesiti a contenuto più teorico. La prova è informatizzata sulla piattaforma http://wims.matapp.unimib.it/ (dove gli studenti sono invitati ad esercitarsi), più una parte di domande/esercizi da svolgere su carta. La durata della prova è di 2 ore circa e durante di essa NON è consentito l'utilizzo di libri di testo o appunti e dispense. L'uso di calcolatrici non è consentito.

  3. Prova orale/verbalizzazione: A causa della necessità di svolgere esami scritti da remoto, la prova orale diviene obbligatoria per tutti gli studenti (e dunque viene di norma calendarizzata nei giorni successivi allo scritto). 

    Per i dettagli tecnici dell'esame da remoto, gli studenti interessati sono invitati a leggere gli avvisi relativi nella pagina del corso.

    La prova orale non è obbligatoria per tutti. - La prova orale è obbligatoria per coloro che ottengano nella prova scritta una votazione compresa tra 16 e 20 (estremi inclusi).
    - La prova orale è facoltativa per chi ottenga un voto nella prova scritta maggiore o uguale a 26: questi studenti possono scegliere se accettare una votazione di 26 oppure sostenere una prova orale al fine di ottenere una votazione maggiore (fermo restando che la prova orale, se insoddisfacente, può portare ad un abbassamento della votazione finale). In pratica se uno studente ottiene 27 nella prova scritta può decidere di verbalizzare il voto senza sostenere la prova orale: in tal caso verrà registrato il voto 26. Altrimenti, lo studente può decidere di sostenere una prova orale: a seconda dell'andamento della prova orale il voto 27 può essere abbassato, confermato, o alzato.
    - La prova orale deve inoltre essere sostenuta in tutti quei casi che viene richiesta o dal docente o dallo studente (che intende migliorare il voto dello scritto), si veda anche la parte relativa alle prove parziali e il punto 7).
    - In tutti gli altri casi non è prevista alcuna prova orale.

    - La prova orale, ove prevista, va sostenuta nello stesso appello della prova scritta. In pratica, se uno studente intende sostenere la prova scritta al secondo appello di Febbraio, allora è tenuto a sostenere anche la (eventuale) prova orale nel secondo appello di Febbraio e non oltre. Nel caso in cui non sosterrà la prova orale in tale appello, la prova scritta viene considerata cancellata.
  4. Prove parziali: lo studente di qualsiasi anno di corso può scegliere di sostenere, al posto della prova scritta, due prove parziali (denotate come primo e secondo compitino) calendarizzate di norma il primo in novembre e il secondo in coincidenza col primo appello. Le prove parziali hanno la stessa modalità della prova d'esame. Per essere ammessi alle prove parziali è obbligatoria la frequenza dei 7 incontri di esercitazione, nell'anno accademico in corso (è consentita una assenza, si veda anche il punto sulle esercitazioni).

  5. Superamento dei compitini: è ammesso al secondo compitino chi ottiene nel primo una votazione maggiore o uguale a 14. Il secondo compitino è superato se si ottiene una votazione maggiore o uguale a 16 e la media aritmetica tra i voti del primo e del secondo compitino è maggiore o uguale a 16. Qualora la differenza di votazione fra i due compitini superi 8 punti, è obbligatoria la prova orale. In pratica se uno studente ottiene 17 al primo compitino e 24 al secondo allora la prova scritta viene considerata superata. Se uno studente ottiene 16 al primo compitino e 25 al secondo compitino allora la prova scritta viene considerata superata, ma viene richiesta obbligatoriamente una prova orale visto che la differenza 25-16=9 è maggiore di 8. Se uno studente ottiene 16 al primo compitino e 20 al secondo compitino, allora la prova scritta viene considerata superata, ma viene richiesta obbligatoriamente una prova orale visto che la media aritmetica tra 16 e 20 è 18 e 18 è compreso tra 16 e 20.

  6. Scelta fra secondo compitino e primo appello: la data del primo appello in gennaio coincide con quella del secondo compitino. Pertanto, coloro che superino il primo compitino possono decidere, autonomamente, se sostenere in tale data il secondo compitino o la prova totale del primo appello.

  7. Sessioni d'esame. Le sessioni di esame sono 3: una a gennaio-febbraio con tre appelli, una a giugno-luglio con tre appelli, e una a settembre con un appello. Nelle prime due sessioni, se uno studente consegna l'elaborato ad un appello per la correzione, ed esso risulta insufficiente, consegnando in uno qualsiasi degli altri appelli della sessione, con esito sufficiente, dovrà sostenere in ogni caso la prova orale, indipendentemente dal punteggio conseguito. La motivazione è che nelle prime due sessioni gli appelli sono molto ravvicinati, e il fallimento in una prova richiede una revisione del proprio metodo di studio e del proprio approccio alla materia, e questi due aspetti sono meglio accertati in una approfondita prova orale che nella sola prova scritta.

  8. Esercitazioni: sono istituiti turni di esercitazioni, con cadenza settimanale, per un totale di 7 incontri ciascuno. I turni hanno differenti orari e sono a numero chiuso. Tutti gli studenti interessati alla frequenza sono invitati ad iscriversi nelle date previste, tramite l'attività di scelta della pagina elearning dell'insegnamento. Le iscrizioni a ciascun turno sono aperte fino al raggiungimento del numero massimo consentito e in nessun caso è ammesso cambiare turno dopo la chiusura delle iscrizioni. La frequenza è obbligatoria per l'ammissione alle prove parziali e fortemente caldeggiata per tutti gli studenti.


  • Criteri di valutazione: vengono valutati la correttezza delle risposte, la completezza e la capacità di argomentare con chiarezza e precisione gli argomenti del corso.

Orario di ricevimento

Il ricevimento è su prenotazione tramite email al docente di riferimento:

studenti AL: Daniela Bertacchi daniela.bertacchi@unimib.it

studenti MZ: Pablo Spiga pablo.spiga@unimib.it

Durata dei programmi

I programmi valgono per l'anno accademico in corso.

Cultori della materia e Tutor

Marco Daneluzzo

Maurizio Dini

Domenico Iannizzi

Paola Riva

Claudio Vailati

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Course title

Foundations of mathematics


VERY IMPORTANT

The students of the course Istituzioni di matematiche are subdivided into groups AL (professor Daniela Bertacchi) and MZ (professor Pablo Spiga), a ccording to the initial of the surname. The professor of your group is the one you must refer to for any question.

The enrollment password is
mateal for students AL
matemz for students MZ.


Topics and course structure

This course introduces the basic results in arithmetics and in some other number fields. Moreover, we introduce some elements on sets and on functions and in probability theory.

  • Elements of set theory: operations among sets.
  • Functions, injective, surjective and bijective functions. Infinite sets.
  • Binary relations. Equivalence relations and order relations: equivalence classes and partitions.
  • The set of natural numbers. Introduction to the natural numbers via the Peano axioms. Sum, product and order in the natural numbers. Induction principle. Representation of natural numbers in base 10 and in other bases.
  • The integers. Construction of the integers from the natural numbers. Divisibility: quotient and remainder. Congruences mod n, and some modular arithmetic. Prime numbers, fundamental theorem of arithmetic. Eratostene's sieve. Greatest common divisor and minimal common multiple via Euclide's algorithm.
  • Rational numbers. Construction of the rational numbers from the integers. Elementary properties of rationals: algebraic and topological properties.
  • Basic introduction to probability theory. Independent events and conditional probability. Elementary computation of probabilities.A brief introduction to the construction of the real field from the rationals.



Objectives

At the end of the course the student is familiar with the classical mathematical deduction and with some arguments in logic. Moreover, the student is able to present the basic concept in arithmetic from a university level perspective.

Methodologies

Lectures 42 hours

Exercise classes in small groups 14 hours (to attend one of these groups, it is compulsory to enrol at the beginning of the semester)

Exercises on interacting online platform.

Online and offline teaching materials

Books (see bibliography).

Online: a list of exercises to be solved on paper, and interactive exercises on the platform wims.

Programme and references for attending students

PROGRAMME

Elements of set theory: operations among sets.

Functions, injective, surjective and bijective functions. Infinite sets.

Binary relations. Equivalence relations and order relations: equivalence classes and partitions.

The set of natural numbers. Introduction to the natural numbers via the Peano axioms. Sum, product and order in the natural numbers. Induction principle. Representation of natural numbers in base 10 and in other bases.

The integers. Construction of the integers from the natural numbers. Divisibility: quotient and remainder. Congruences mod n, and some modular arithmetic. Prime numbers, fundamental theorem of arithmetic. Eratostene's sieve. Greatest common divisor and minimal common multiple via Euclide's algorithm.

Textbook
M. Cazzola, Matematica per scienze della formazione primaria

Further material
  • S. Di Sieno - S. Levi, Aritmetica di base, McGraw-Hill, 2005
  • G. Caiati - A. Castellano, In equilibrio su una linea di numeri, Mimesis, 2007
  • A. Cerasoli, Io conto, Feltrinelli, 2010
  • A. Cerasoli, Sono il numero 1, Feltrinelli, 2008
  • P. Cereda et al, L'aritmetica del Pirata Newton, Mimesis, 2010
  • P. Cereda – G.Dimitolo, La ciurma del Pirata Newton, Mimesis, 2008
  • H. M. Enzensberger, Il mago dei numeri, Einaudi




Programme and references for non-attending students

As for attending students

Assessment methods

Office hours

Office hours by appointment (send an email to your professor):

students AL: Daniela Bertacchi daniela.bertacchi@unimib.it

students MZ: Pablo Spiga pablo.spiga@unimib.it


Programme validity

One year.

Course tutors and assistants

Marco Daneluzzo

Maurizio Dini

Domenico Iannizzi

Paola Riva

Claudio Vailati


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Key information

Field of research
MAT/02
ECTS
8
Term
First semester
Activity type
Mandatory
Course Length (Hours)
56
Degree Course Type
5-year single cycle Master Degree

Students' opinion

View previous A.Y. opinion

Bibliography

Find the books for this course in the Library

Enrolment methods

  • Manual enrolments

Staff

    Teacher

  • Daniela Bertacchi
  • Pablo Spiga
  • Assistant

  • Marco Daneluzzo
  • Maurizio Ulisse Dini
  • Domenico Roberto Iannizzi
  • Paola Riva
  • Claudio Vailati

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