- Area di Scienze
- Corso di Laurea Triennale
- Scienze e Tecnologie Chimiche [E2702Q]
- Insegnamenti
- A.A. 2019-2020
- 1° anno
- Matematica I
- Introduzione
Syllabus del corso
Obiettivi
fondamenti e delle tecniche di calcolo differenziale e integrale (di base) per funzioni reali di una variabile reale.
Contenuti sintetici
I numeri reali,
operazioni e loro proprietà. Funzioni elementari, proprietà e loro
grafici. Successioni numeriche, limiti di successione, proprietà e
tecniche di calcolo. Forme di indecisione. Confronto di infiniti.
Serie numeriche, criteri di convergenza. Limiti di funzione.
Continuità. La derivata, i teoremi del calcolo differenziale. Il teorema
di Taylor. Funzioni primitive e integrale
indefinito. Integrale di Riemann. Integrali generalizzati.
Programma esteso
Numeri reali. Numeri naturali N, interi relativi Z. Il campo Q di numeri razionali. I numeri reali R come numeri decimali. L'asse reale, ordinamento. Intervalli. Intorni. Valore assoluto. Insieme limitato in R. Massimo e minimo. Estremo superiore, estremo inferiore di un insieme di numeri reali. I numeri reali come campo ordinato, completo. Radici, potenze e logaritmi. Principio di induzione.
Funzioni reali di una variabile reale. Definizione.
Dominio e immagine. Grafico di una funzione. Funzioni elementari:
potenze, esponenziali, funzioni logaritmiche. La successione come una
funzione definita in N. Funzione limitata. Massimo, minimo, estremo
superiore, inferiore di una funzione. Proprietà di una funzione reale:
iniettiva, suriettiva, bijettiva, crescente, decrescente, monotona,
convessa, concava, pari, dispari. Estremanti, punti di minimo assoluto o
relativo. Riconoscimento delle definizioni date dalla lettura del
grafico. Funzione composta, funzione inversa. Funzioni periodiche,
funzioni trigonometriche e loro inverse. Risoluzione delle disequazioni
mediante inversione delle funzioni iniettive e monotone.
Numeri complessi. Il
campo C dei numeri complessi: forma algebrica, operazioni, uguaglianza.
Rappresentazione nel piano complesso. Coordinate polari, modulo e
argomento, forma trigonometrica, uguaglianza. La formula di De Moivre.
Formula delle radici n-esime di un numero complesso * (soluzioni in C
dell'equazione z ^ n = w). Il teorema fondamentale dell'algebra.
Limiti. Limiti di successione, di funzioni. Proprietà:
unicità del limite , permanenza del segno , esistenza del limite per
le funzioni monotone (dimostrato per le successioni
*). Criterio del confronto. Operazioni con limiti, forme di
indecisione. Il criterio del rapporto. Il limite e. .Limiti notevoli.
Simbolo di Landau asintotico, o piccolo. Ordine di un infinitesimo / infinito, rispetto ad un campione.
Serie numeriche.
Successione delle somme parziali. Carattere di una serie. Serie
regolare: convergente, divergente,. Serie irregolare. Serie geometrica , serie armonica, armonica generalizzata. Condizione necessaria di convergenza. Serie a termini positivi: regolarità delle serie a termini positivi.
Criteri di convergenza: confronto , confronto asintotico, criterio
della radice e del rapporto. Serie con segni alterni e criterio di
Leibniz. Convergenza semplice e assoluta.
Continuità.
Funzione continua in un punto, continua su un insieme. Classificazione
delle discontinuità. Operazioni tra funzioni continue, continuità della
funzione composta. Proprietà
delle funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato: teorema di
Weierstrass, degli zeri , di Darboux (o dei valori intermedi) .
Continuità e monotonia. Continuità della funzione inversa.
Calcolo differenziale. Derivata e sua interpretazione geometrica. Equivalenza tra derivabilità e differenziabilità per funzioni di una variabile reale. Equazione della linea tangente. Punti di non-derivabilità. Continuità e derivabilità . Regole di calcolo delle derivate. Punti stazionari. Teoremi del calcolo differenziale: Fermat , Rolle , Lagrange e suoi corollari , esempi e controesempi. I teoremi di De l'Hòpital. Derivate di ordine superiore. Approssimazione polinomiale: formula di Taylor, resto di Peano e resto di Lagrange. Le formule di McLaurin. Convessità e punti di flesso. Uso delle derivate di ordine superiore per stabilire la natura di un punto stazionario . Asintoti. Studio del grafico di una funzione. Funzioni primitive e integrale indefinito. Metodi elementari per la ricerca di un primitivo. Integrazione per parti, per sostituzione (cambio di variabile). Integrazione di funzioni razionali.
L'integrale di Riemann. Definizione e sue proprietà. Il teorema del valor medio integrale . Funzione integrale, integrazione e differenziazione . Il teorema fondamentale del calcolo. Integrali generalizzati, definizioni ed esempi. Convergenza di integali impropie.
Prerequisiti
Operazioni tra
insiemi, unione, intersezione; appartenenza e inclusione. Operazioni e
confronto tra numeri reali, ordinamento. Proprietà delle potenze.
Equazioni di secondo grado. Sviluppo binomiale. Polinomi, divisione
tra polinomi, radice di un polinomio, la regola di Ruffini.
Scomposizione in fattori. Disequazioni di primo e secondo grado,
disequazioni razionali. Coordinate cartesiane. La retta , la parabola,
il cerchio. Gradi e radianti. Elementi di trigonometria. Sistemi di
equazioni di primo grado.
Modalità didattica
In aula, insegnamento frontale con l'ausilio della lavagna.
Materiale didattico
Gli studenti possono scegliere uno di questi due libri:
--S.Salsa, C.Pagani, Matematica. Per i diplomi universitari. Zanichelli.
oppure,
--M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi matematica, Vol I, dal calcolo all’analisi, Apogeo, 2006.
Inoltre, verrano distribuite alcune note e altro materiale per diversi argomenti. Saranno disponibili sul sito e-learning del corso.
Ulteriori esercizi (extra) possono trovarsi sul libro:
--S.Salsa, A.Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, Zanichelli.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo Semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Valutazione con voto in trentesimi 18-30/30 con eventuale lode.
Nella prova scritta si valuta la conoscenza dei contenuti del corso e la capacità di applicarli alla risoluzione di problemi. Si richiede inoltre la capacità di
esporre le definizioni, gli enunciati dei teoremi, gli esempi/controesempi
e le tecniche di calcolo introdotte nel corso. La valutazione tiene conto dell'esattezza delle risposte, della completezza nonché' della chiarezza espositiva.
Esame scritto con eventuale colloquio orale.
La prova scritta si intende superata SOLO se la votazione e maggiore o uguale di 18/30.
La prova scritta e composta da esercizi (Simili agli esercizi fatti a lezione e/o proposti negli esercizi agli studenti) fino a 24 punti e fino a un massimo di 6 punti di teoria (definizioni di concetti di base e risoltati visti a lezione).
Prova orale (facoltativa )
La prova orale è facoltativa
e si terrà di norma qualche giorno dopo
la prova scritta. Si tratta di una discussione sulla prova scritta e sui
risultati e sui metodi illustrati nel corso. È possibile sostenere il
colloquio orale soltanto se il voto della prova scritta è maggiore o
uguale a 18/30.
Nel caso si decida di non sostenere la prova orale, il voto finale (verbalizzato solo se sufficiente) sarà uguale al voto della prova scritta.
In
caso di esito positivo della prova scritta, Lo studente che si ritenga
preparato, ha facolta di sostenere la prova orale. Il colloquio orale individuale e volto a verificare il livello delle conoscenze acquisite; l’autonomia di analisi e giudizio; le capacità espositive dello studente. La valutazione tiene conto dell'esattezza delle risposte, della
completezza nonché' della chiarezza espositiva.
Resta inteso che qualunque esito e possibile
nel momento in cui lo studente decida di presentarsi anche alla prova
orale. In particolare, un orale molto scarso puo abbassare il voto
della prova scritta e potrebbe risultare in un voto finale non
sufficiente (minore di 18/30).
Gli studenti che non abbiano superato la prova scritta saranno convocati alla prova orale e potranno sostenere essa SOLTANTO SE:
-hanno avuto nella prova scritta un voto uguale o maggiore a 17/30, oppure
- hanno avuto nella prova scritta un voto uguale o maggiore a 16/30 di cui al meno 4/6 nelle domande teoriche.
Prove in itinere
Durante il semestre ci saranno due prove in itinere. Il voto complessivo delle prove in itinere è la media aritmetica dei loro voti.
Il risultato delle due prove intermedie vale come sostituzione di una (e una sola) prova scritta dell'anno accademico corrispondente.
Lo svolgimento di una prova scritta annulla automaticamente la validità del risultato delle prove intermedie.
Orario di ricevimento
Il ricevimento è per appuntamento via email.
Aims
To understand the ideas and techniques of differential and integral calculus for real functions of one real variable.
Contents
Real numbers, operations and their properties. Elementary functions, properties and their graphs. Numerical sequences, limits of sequences, forms of indecision. Comparison of infinities. Numerical series, convergence tests. Absolute convergence. Function limits. Continuity. The derivative. Theorems of differential calculus. The Taylor's theorem. Primitive functions and indefinite integral.The Riemann Integral. Generalized integrals.
Detailed program
Real numbers. Natural numbers N, relative integers Z. The field Q of rational numbers. Properties and their inadequatecy: the equation x ^ 2 = 2 has no solution in Q * (demonstration "for absurd"). The real numbers field R. Decimal representation. The real axes, ordering. Intervals. Neighbourhood. Absolute value. Bounded sets in R. Maximum and minimum. Supremum and infimum, completeness. Roots, powers and logarithms. Induction principle.
Real functions of a real variable. Definition. Domain and range. Graph of a function. Elementary functions: powers, exponentials, logarithmic functions. The sequence as a function whose domain is the set N. Bounded function. Maximum, minimum, superior, inferior of a function. Properties of a real function: injectivity, increasing, decreasing, monotone, convex, concave, even, odd. Extremal points, absolute minimum or relative (extreme). Recognition of the given definitions by reading the graph. Composite function, inverse function. Periodic functions, trigonometric functions and their inverse. Solving the inequalities by inversion of injective and monotonic functions.
Complex numbers. The C field of complex numbers: algebraic form, operations, equality. Representation in the complex plane. Polar coordinates, modulo and argument, trigonometric form, equality. De Moivre's formula. Formula of the n-th roots of a complex number * (solutions in C of the equation z ^ n = w). The fundamental theorem of algebra.
Limits. Limits of sequence, of functions. Properties: uniqueness of the limit *, permanence of the sign *, existence of the limit for monotonic functions (proved for sequences *). Comparison test. The ratio test. Operations with limits, indecision forms. The limit e. Notable limits. Symbol of asymptotic Landau. Order of an infinitesimal / infinite, compared to a sample.
Numerical series. Sequence of partial sums. Convergent, divergent, irregular series. Geometric * series, Mengoli series, harmonic series. Necessary condition of convergence *. Series with positive terms: their regularity * and convergence tests: comparison *, asymptotic comparison, root * and ratio tests. Series with alternating signs and Leibniz test. Simple and absolute convergence.
Continuity. Continuous function at a point, on a set. Classification of discontinuities. Operations between continuous functions, continuity of composite function. Properties of continuous functions in a closed and bounded interval: Weierstrass theorem, existence of zeros *, Darboux (or intermediate values) *. Continuity and monotony. Continuity of the inverse function.
Differential calculus. The derivative and its geometric interpretation. Equivalence between derivability and differentiability for functions of a variable. Equation of the tangent line. Points of non-derivability. Continuity and derivability *. Calculation rules for derivatives. Stationary points. Theorems of the differential calculus: Fermat *, Rolle *, Lagrange * and its corollaries *, examples and counterexamples. The theorems of De l'Hòpital. Derivatives of higher order. Polynomial approximation: Taylor formula, Peano remainder and Lagrange remainder. McLaurin's formulas. Convexity and inflection points. Use of the derivatives of higher order to establish the nature of a stationary point *. Asymptotes. Study of the graph of a function. Primitive functions and indefinite integral. Elementary methods for the search for a primitive. Integration by parts, by substitution (change of variable). Integration of rational functions.
The Riemann integral . Definition and its properties. The integral average theorem *. Integral function, integration and differentiation*. The fundamental theorem of calculus *. Generalized integrals, definitions and examples.
Prerequisites
Sets operations, union, intersection; membership and inclusion. Operations and comparison between real numbers, sorting. Properties of powers. Second-degree equations. Binomial expansion. Polynomials, division between polynomials, root of a polynomial, Ruffini's rule. Factoring. First and second degree inequations, rational inequalities. Cartesian coordinates. The line, the parabola, the circle. Degrees and radians. Elements of trigonometry. Systems of first degree equations.
Teaching form
In the classroom, teaching on the blackboard
Textbook and teaching resource
The students can choose one of the two proposed books:
--S.Salsa, C.Pagani, Matematica. Per i diplomi universitari. Zanichelli.
or,
--M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi matematica, Vol I, dal calcolo all’analisi, Apogeo, 2006.
Notes, exercises sets and other material will be distributed. It will be available from the e-learning site.Other exercises can be found on the book
--S.Salsa, A.Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, Zanichelli.
Semester
First Semester
Assessment method
Written examination with optional oral colloquium.
The goal of the evaluation (partial, complete and oral
colloquium) is to ascertain a correct assimilation of concepts and
techniques studied during lessons and exercises sessions.
The written exam is passed ONLY if the vote is greater or equal to 18/30.
The written exam will consist of exercises (similar to those done in the classroom and/or proposed to the students in the lectures) up to 24 points. There will be a maximum of 6 points for questions relating the theory (basic definitions and theoretical results done in the lectures ).
Oral exam is not compulsory and will be done typically after a couple of days of the written exam. It is only possible to take the oral exam if the mark in the written part is greater than 18/30.
Students who got a positive grade in the written part (i.e., at least 18/30) might choose to take an oral exam to try to get a better grade if they think that their preparation is good enough. Needless to say, the oral exam can change the written grade in the positive, as well as in the negative direction. In particular, the minimal grade in the written part plus a poor oral part might end up in a failed exam.
The students who have not passed the written part, might be alla prova orale e potranno sostenere essa SOLTANTO SE:
-hanno avuto nella prova scritta un voto uguale o maggiore a 17/30, oppure
- hanno avuto nella prova scritta un voto uguale o maggiore a 16/30 di cui al meno 4/6 nelle domande teoriche.
Partial exams (optional)
During the course there will be two partial exams. The that could allow the students to Students are not committed to do them, but in case they do they are allowed to skip the final complete written examination.
Office hours
By appoinment (via email)
Scheda del corso
Staff
-
Blanca Pilar Ayuso De Dios
-
Mauro Garavello
-
Giacinto Ciappetta